数列经典例题(裂项相消法).

1、数列裂项相消求和的典型题型1已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn, a51 的前 100 项和为 ()5, S5 15, 则数列 an an11009999101A101B 101C100D 1002数列 an1, 其前 n 项之和为9 , 则在平面直角坐标系中，直线(n 1) x y n0在 y 轴上的截距n( n1)10为 ()A 10B 9C 10D 93等比数列 an 的各项均为正数，且 2a13a2 1, a329a2 a6 ( ) 求数列 an 的通项公式；( ) 设 bnlog3 a1log 3 a2log 3 an , 求数列 1 的前 n 项和bn4正项数列 an 满足

2、 an2(2n 1)an2n0( ) 求数列 an 的通项公式 a；n( ) 令 bn1, 求数列 b 的前n项和T(n1)annn5设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 S44S2 , a2 n2an 1 ( ) 求数列 an 的通项公式；( ) 设数列 bnb1b2bn11, n*, 求 bn 的前 n 项和 Tn 满足a2an2nNa16已知等差数列 an 满足： a37, a5a726 an 的前 n 项和为 Sn ( ) 求 an 及 Sn ；( ) 令 b1(nN * ), 求数列 b 的前n项和Tn1nnan27在数列 an 中 , a11,2an 1(11) 2 an

3、 n( ) 求 an 的通项公式；( ) 令 bnan 11 an , 求数列 bn 的前 n 项和 Sn ；2（）求数列 an 的前 n 项和 Tn 8已知等差数列 an 的前 3 项和为 6，前 8 项和为 4( ) 求数列 an 的通项公式；( ) 设 bn(4 an )q n 1 (q0, nN*),求数列bn 的前 n 项和 Sn 9已知数列 an 满足 a10, a22, 且对m,nN * 都有 a2m 1a2n 12am n 12(m n) 2 ( ) 求 a3 , a5 ；( ) 设 baa2 n 1(nN * ), 证明： bn 是等差数列；n2 n 1（）设 cn(an 1

4、a)q n1 (q0, n N* ), 求数列 c 的前n项和Snnn10已知数列 an 是一个公差大于0 的等差数列，且满足a3 a655, a2a7 16 ( ) 求数列 an 的通项公式；b1b2b3bn(nN*bn 的前 n 项和 Sn ( ) 数列 an 和数列 bn 满足等式 an23n), 求数列222211已知等差数列 an 的公差为 2，前 n 项和为 Sn ，且 S1 , S2 , S4 成等比数列(1) 求数列 an 的通项公式；(2) 令 b2( 1) n 14n, 求数列 bn 的前 n 项和 Tn .an an 112正项数列 an 的前 n 项和 Sn 满足： S

5、n2(n2n 1)Sn (n 2n) 0 .(1) 求数列 an 的通项公式 an ；n12 , 数列 bn 的前 n 项和为 Tn ，证明：对于nN*, 都有 Tn5(2) 令 bn2)2.(nan64答案：1A ；2B3解： ( ) 设数列a n 的公比为2222q，由 a3 =9a2a6有 a3=9a4 ， q =由条件可知各项均为正数，故q=由 2a1+3a2=1 有 2a1+3a1q=1 ， a1=故数列 a n 的通项式为an=（） bn=+=（ 1+2+n）=，故 =2（）则+=2（1） +（）+（）=，数列 的前 n 项和为4解： ( ) 由正项数列 a n 满足：（ 2n 1

6、） an 2n=0，可有（ an 2n）（ an+1）=0 an=2n ( ) an=2n ，bn=， bn=，Tn=数列 b n 的前 n 项和 Tn 为5解： ( ) 设等差数列 a n 的首项为 a1，公差为d，由 S4=4S2， a2n=2an+1 有：，解有 a1=1， d=2 an=2n 1，nN * ( ) 由已知+=1， nN * ，有：当 n=1 时，=，当 n2 时，=（1）（ 1） =， n=1 时符合 = ， nN*由（）知， an=2n 1， nN* bn=， nN* 又 T n=+ +，Tn=+，两式相减有：T n=+（+）= Tn=36解： ( ) 设等差数列 a

7、 n 的公差为 d， a3=7 ， a5+a7=26，有，解有 a1=3， d=2， an=3+2 （ n1） =2n+1；Sn=2；=n +2n( ) 由 ( ) 知 an=2n+1 ， bn=， Tn=，即数列 bn的前 n 项和 Tn=7解： ( ) 由条件有，又 n=1 时，故数列构成首项为1，公式为的等比数列，即()由有，两式相减，有：，（）由有 Tn=2Sn +2a1 2an+1=8解： ( ) 设 a n 的公差为d，由已知有解有 a1=3， d= 1故 an=3+ （ n 1）（ 1）=4 n；n1( ) 由 ( ) 的解答有， bn=n?q，于是012n 1Sn=1 ?q +

8、2 ?q +3?q + +n?q若 q1，将上式两边同乘以q，有123nqSn=1?q +2?q +3?q + +n?q上面两式相减，有n2n1n（ q 1） Sn=nq （ 1+q+q+ +q） =nq于是 Sn=若 q=1 ，则 Sn=1+2+3+ +n=， Sn =9解： ( ) 由题意，令 m=2， n=1，可有 a3=2a2 a1+2=6 再令 m=3， n=1 ，可有 a5=2a3 a1+8=20( ) 当 nN* 时，由已知（以n+2 代替 m）可有 a2n+3+a2n1=2a2n+1+8于是 a2（ n+1） +1 a2（n+1）1 （ a2n+1 a2n 1） =8即 bn+

9、1 bn=8 b n 是公差为8 的等差数列（）由 ( ) ( ) 解答可知 b n 是首项为 b1=a3 a1=6 ，公差为8 的等差数列则 bn=8n 2，即 a2n+1a2n1=8n 2另由已知（令 m=1）可有an=（ n 1）2 an+1 an= 2n+1= 2n+1=2n于是 cn=2nqn1当 q=1 时， Sn=2+4+6+2n=n （ n+1）当 q1 时， Sn012n 1=2?q +4?q +6?q + +2n?q两边同乘以 q，可有123nqSn=2?q +4?q +6?q + +2n?q 上述两式相减，有2n 1nn（ 1 q） Sn=2（ 1+q+q + +q） 2

10、nq=2? 2nq =2? Sn=2?综上所述， S =n10解： ( ) 设等差数列 a n 的公差为d，则依题意可知d 0 由 a2+a7=16 ，有， 2a1+7d=16 由 a3a6=55 ，有（ a1+2d ）（a1+5d ） =55由 联立方程求，有 d=2 ， a1=1/d= 2， a1= （排除） an=1+ （ n 1） ?2=2n 1( ) 令 cn=，则有 an=c1+c2+cnan+1=c1+c2+cn+1两式相减，有an+1 an=c n+1，由（ 1）有 a1=1 ， an+1an=2 cn+1=2 ，即 cn=2（ n2），即当 n2 时，bn=2 n+1，又当

11、n=1 时， b1=2a1=2 bn=于是 Sn 1 2 3n3 4n+1 n+2 6，n2，=b +b +b + +b =2+2 +2 + 2=22× 111 解(1)因为 S1 a1， S22a1 2× 2 2a1 2，4× 3S4 4a1× 2 4a1 12，由题意得 (2a1 2)2 a1(4a1 12)，解得 a1 1，所以 an 2n 1.(2) bn ( 1)n 14n ( 1)n 14n ( 1)n1 (11) an an12n 1 2n 12n 1 2n 1当 n 为偶数时，1111111) 112nTn (1 ) ()() (.3352n3 2n 12n 1 2n 12n 12n 1当 n 为奇数时，1111111) 112n 2Tn (1 ) () () (.3352n3 2n 12n 1 2n 12n 12n 12n 2， n为奇数，n 12n 1(或 Tn 2n 1 1所以 Tn)2n， n为偶数 .2n 12n 112 (1)解222 n)0，由 Sn (n n1)Sn( n得 Sn (n2 n) (Sn 1) 0，由于 an 是正项数列，所以Sn 1>0.所以 Sn n2 n(n N* )n 2 时， an SnSn 1 2n，n 1 时， a1 S12 适合上式 a