数列知识点总结及题型归纳.

1、数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示。用递推公式表示为a 1 a d(n 1)。n n a 2n 1 a a例：等差数列 ， n n n 1a a 1 d(n 2) 或n n一、数列的概念题型二 、等差数列的通项公式：a a1 (n 1)d ；n（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。记作a ，在数列第一个位置的项叫第 1 项（或首项） ，在第二个位置的叫n说明：等差数列（通常可称为 A P数列）的单调性： d 0 为递增数列， d 0 为常数列， d 0 为递减数列。例：1. 已知等差数列 an 中， a7 a9 16

2、，a4 1，则a12 等于（ ）第 2 项，, ，序号为 n 的项叫第 n项（也叫通项）记作a ；nA15 B 30 C 31 D 64数列的一般形式：a ， a2 ， a3 ，, ， an ，, ，简记作 an 。1例：判断下列各组元素能否构成数列2. a 是首项 a1 1，公差 d 3的等差数列，如果 an 2005，则序号 n等于n（1）a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9;(2)2010 年各省参加高考的考生人数。（A 667 B 668 C 669 D 670 ） （ ） （ ） （ ）3. 等差数列 a 2n 1,b 2n 1，则n na 为 bn 为 （填“递增数列”

3、或“递减n（2）通项公式的定义：如果数列 a 的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个n数列”） 题型三 、等差中项的概念：数列的通项公式。例如： 1 ，2 ，3 ，4， 5 ，,： 1 1 1 11， , 2 3 4 5数列的通项公式是a = n（ n 7，n N ），na b定义：如果 a， A，b 成等差数列，那么 A叫做 a 与b 的等差中项。其中A2 a bA 即： 2an 1 an an 2 （2an an m an m ） 2a， A， b 成等差数列数列的通项公式是a =n1n（ n N ）。例：1（06 全国 I ）设a 是公差为正数的等差数列，

4、若 a1 a2 a3 15，a1a2a3 80，则 a11 a12 a13 （ ）nA120 B 105 C 90 D 75说明：a 表示数列， an 表示数列中的第 n项， an = f n 表示数列的通项公式；n2. 设数列 an 是单调递增的等差数列，前三项的和为 12，前三项的积为 48，则它的首项是（ ） 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，a = ( 1)n =n1,n 2k 11,n 2k(k Z)；A1 B.2 C.4 D.8题型四 、等差数列的性质：不是每个数列都有通项公式。例如， 1，1.4 ，1.41 ，1.414 ，,（1）在等差数列a 中，从第 2 项起，每一

5、项是它相邻二项的等差中项；n（3）数列的函数特征与图象表示：（2）在等差数列a 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列；n序号： 1 2 3 4 5 6项 ：4 5 6 7 8 9上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。 从函数观点看， 数列实质上（3）在等差数列a 中，对任意 m ，n N ， an am (n m)d ，nda an mn m(m n) ；是定义域为正整数集 N （或它的有限子集）的函数 f (n) 当自变量 n 从 1 开始依次取值时对应的一系列函数值（4）在等差数列a 中，若 m， n， p ， q N 且 m n p q ，则na a

6、a a ；m n p qf f f , ， f (n) ，, 通常用 an 来代替 f n ，其图象是一群孤立点。(1), (2), (3),例：画出数列 an 2n 1的图像 .题型五 、等差数列的前 n和的求和公式：n(a a ) n(n 1) 1 d1 n 2S na d a ）nn （n 1 12 2 2 2。（4）数列分类：按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项之间的大小关系分：2 Bn A B为常数( Sn ( , ) an 是等差数列 )An单调数列（递增数列、递减数列） 、常数列和摆动数列。例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？（1）

7、1，2，3，4，5，6，, (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, ,(3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, , (4)a, a, a, a, a, ,递推公式：Sn(a1 a n (a a ( 1) )n) m n mm n mn2 2（5）数列 a 的前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系：nanS (n 1)1S S (n2)n n 1例：1. a 如果等差数列 中， na a a 12 ，那么 3 4 5 .1 2 7a a a（A）14 （B）21 （C）28 （D）352例：已知数列 a 的前 n 项和 s 2n 3，求数列 a 的通项公式n n n2. （2009 湖南

8、卷文）设 Sn 是等差数列 an 的前 n 项和，已知 a2 3，a6 11，则 S7 等于( )A13 B 35 C 49 D 63 二、等差数列题型一 、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列3. （2009 全国卷理） 设等差数列 an 的前 n项和为 Sn ，若 S9 72, 则 a2 a4 a9 =4. （2010 重庆文）（2）在等差数列a 中， a1 a9 10，则 a5 的值为（ ）n4. 设S 为等差数列 an 的前 n项和， S4 14，S10 S7 30，则S9 =n（A）5 （B）6 （C）8 （D）10S5（

9、06 全国 II ）设 Sn 是等差数列 an的前 n项和，若 3S613，则S6S125. 若一个等差数列前 3 项的和为 34，最后 3 项的和为 146，且所有项的和为 390，则这个数列有（ ）A.13 项 B.12 项 C.11 项 D.10 项A310B13C 18D196. 已知等差数列a 的前 n项和为 Sn ，若 S12 21，则a2 a5 a8 a11n题型八 判断或证明一个数列是等差数列的方法： 定义法：7. （2009 全国卷理）设等差数列a 的前 n项和为 Sn ，若 a5 5a3 则nS9S5an 1 an d(常数）（n N an 是等差数列）中项法： 8（98

10、全国）已知数列 bn是等差数列， b1=1，b1+b2+, +b10=100.（）求数列 bn的通项 bn；2an 1 an an 2 （n N an 是等差数列)通项公式法：9. 已知a 数列是等差数列， a10 10 ，其前 10 项的和 S10 70，则其公差 d 等于( )nan kn b (k, b为常数) an 是等差数列2 11323A B C.D.3 310. （2009 陕西卷文）设等差数列 an 的前 n 项和为sn, 若 a6 s3 12, 则an前 n项和公式法：2 Bn A B为常数Sn An ( , ) an 是等差数列例：1. 已知数列 a 满足 an an 1

11、2，则数列 an 为 （ ）n11（00 全国）设 an为等差数列， Sn 为数列 an的前 n 项和，已知 S77，S1575，Tn 为数列项和，求 Tn。Sn 的前 nnA. 等差数列 B. 等比数列 C. 既不是等差数列也不是等比数列 D. 无法判断2. 已知数列 a 的通项为 an 2n 5 ，则数列 an 为 （ ）nA. 等差数列 B. 等比数列 C. 既不是等差数列也不是等比数列 D. 无法判断2 a s 2n 4 a 已知一个数列 n ，则数列 的前 项和 为（ ） n n n12. 等差数列a 的前 n项和记为 Sn ，已知 a10 30，a20 50nA. 等差数列 B.

12、等比数列 C. 既不是等差数列也不是等比数列 D. 无法判断4. 已知一个数列 a 的前 n 项和n2sn 2n ，则数列 an 为（ ）求通项a ；若 Sn =242，求 nnA. 等差数列 B. 等比数列 C. 既不是等差数列也不是等比数列 D. 无法判断13. 在等差数列 a 中，（1）已知 S8 48,S12 168,求a1和d ；（2）已知 a6 10, S5 5,求a8和S8 ；(3) 已知na3 a15 40,求S175. 已知一个数列 an 满足 an 2 2an 1 an 0，则数列 an 为（ ）A. 等差数列 B. 等比数列 C. 既不是等差数列也不是等比数列 D. 无法

13、判断6. 数列a 满足 a1 =8，a4 2，且an 2an an 0 （ n N ）n 2 1题型六 . 对于一个等差数列：（1 ）若项数为偶数，设共有 项，则 偶 奇 ； 2n S S ndS a奇nS a偶n1；求数列a 的通项公式；n（2）若项数为奇数，设共有 2n 1项，则 S 奇 S偶a a中 ；nS n奇S n偶1。7（01 天津理， 2）设 Sn是数列 an 的前 n 项和，且 Sn=n n 是（ ） 2，则 a2，则 aA. 等比数列，但不是等差数列 B. 等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列 D. 既非等比数列又非等差数列题型九 . 数列最值题型七 . 对

14、与一个等差数列，Sn ,S2 S ,S3 S2 仍成等差数列。n n n n（1）a1 0， d 0 时， Sn 有最大值； a1 0， d 0时， Sn 有最小值；例：1. 等差数列 an的前 m项和为 30，前 2m项和为 100，则它的前 3m项和为（ ）A.130 B.170 C.210 D.260（2）S 最值的求法：若已知 Sn ， Sn 的最值可求二次函数n2S an bn的最值；n2. 一个等差数列前 n项的和为 48，前 2 n项的和为 60，则前 3n 项的和为 。可用二次函数最值的求法（ n N ）；或者求出a 中的正、负分界项，即：n3已知等差数列a 的前 10 项和为

15、 100，前 100 项和为 10，则前 110 项和为n若已知a ，则 Sn 最值时 n的值（ n N ）可如下确定nanan10或0anan10。0例： 1等差数列a 中， a1 0，S9 S12 ，则前 项的和最大。n5. （2010 安徽文）设数列 a 的前 n 项和n2S n ，则 a8 的值为（ ）n2 设等差数列 an 的前 n项和为 Sn ，已知（A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）64a ， 0，3 12 S S12 130等比数列等比数列定义 求出公差 d 的范围，一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这

16、指出S1，S ， ，S 中哪一个值最大，并说明理由。2 12个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母 q 表示 (q 0) ，即： an 1： an q(q 0) 。一、递推关系与通项公式3（02 上海） 设an（nN n 是其前 n 项的和， 且 S5S6，S6S7S8，则下列结论错误的是 （ ） *）是等差数列， S*）是等差数列， SA. d0 B. a70 C.S9S5 D. S6 与 S7均为 Sn 的最大值递推关系：通项公式：anan1 a qna1nq14已知数列a 的通项nnn9899（n N ），则数列 an 的前 30 项中最大项和最小项分别是推广：aanm1 在等比数列n

17、mqa 中, a1 4,q 2，则 ann2 在等比数列a 中,n3a7 12, q 2 , 则a19 _.5. 已知a 是等差数列，其中 a1 31，公差 d 8。n3. （07 重庆文）在等比数列 an 中，a28，a164，则公比 q 为（ ）（A）2 （B）3 （C）4 （D）8（1）数列 a 从哪一项开始小于 0？n4. 在等比数列 an 中， a2 2 ， a5 54，则 a8 =（2）求数列 a 前 n项和的最大值，并求出对应 n的值n5. 在各项都为正数的等比数列 a 中，首项na ，前三项和为 21，则1 3a a a （ ）3 4 56. 已知a 是各项不为零的等差数列，其

18、中 a1 0，公差 d 0 ，若 S10 0 , 求数列 an 前 n项和的最大值nA 33 B 72 C 84 D 1897. 在等差数列 a 中，na ，1 25S S ，求17 9S 的最大值n2二、等比中项：若三个数 a,b, c成等比数列，则称 b 为 a与c 的等比中项，且为 b ac b ac，注： 是成等比数列的必要而不充分条件 .题型十 . 利用anS (n 1)1S S (n 2)n n 1求通项例： 1. 2 3 和2 3 的等比中项为 ( )( A)1 (B) 1 (C) 1 ( D )21. 数列 a 的前 n项和n2 1S n （1）试写出数列的前 5 项；（2）数

19、列 a 是等差数列吗？（ 3）你能写出数列 a n n n的通项公式吗？2. （2009 重庆卷文）设a 是公差不为 0 的等差数列， a1 2且 a1,a3 ,a6 成等比数列，则 an 的前 n项和 Sn =n（ ）2 n2已知数列a 的前 n项和 Sn n 4 1，则n23. 设数列 a 的前 n 项和为 S ，求数列 a 的通项公式；n=2nn n2 7n nA4 4三、等比数列的基本性质，B2 5n n3 3C2 3n n2 4D2n n14. 已知数列 an 中， a1 3，前 n和 n (n 1)( a 1) 1Sn2求证：数列a 是等差数列n1. （1）若 (其中m, n, p

20、,q N )m n p q，则am a a an p qan n ，m 2 a a n N（2）q n n m n m ( )aam求数列a 的通项公式n（3） an 为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列 .（4）a 既是等差数列又是等比数列 an 是各项不为零的常数列 .n例： 1在等比数列a 中, a1 和 a10 是方程n22x 5x 1 0的两个根 , 则 a4 a7 ( )S6S9例：1. （2009 辽宁卷理）设等比数列 an 的前 n 项和为Sn，若S =3 ，则3S6=(A)52(B)22(C )12(D)127 8A. 2 B.3 C. 3 D.32. 在等比数列

21、an ，已知 a1 5， a9a10 100，则 a18 =2. 一个等比数列前 n项的和为 48，前 2 n项的和为 60，则前 3 n项的和为（ ）3. 在等比数列a 中， a1 a6 33，a3a4 3 2，an an 1nA83 B 108 C 75 D 633. 已知数列 an 是等比数列，且 Sm 10，S2m 30，则S3m求an若Tn lg a1 lg a2 lg a ,求Tn n4. 等比数列的判定法4. 等比数列 a 的各项为正数，且 a5a6 a4a7 18,则log3 a1 log3 a2 log3 a10 （ ）nan 1（1）定义法： q（常数）ana 为等比数列；

22、nA 12 B 10 C 8 D 2+ log3 52（2）中项法： an a a 2 (a 0) an 为等比数列；1 n n n5. （2009 广东卷理）已知等比数列 an满足 a 0,n 1, 2,n，且2na5 a2 5 2 (n 3)，则当 n 1时，nn（3）通项公式法： an k q (k, q为常数） an 为等比数列；log a log a log a n2 1 2 3 2 2 1（ ）n（4）前 n项和法： S k q （k q为常数）n (1 ) , an 为等比数列。A. n(2n 1) B.2(n 1) C.2n D.2(n 1)nSn k kq （k, q为常数）

23、 an 为等比数列。四、等比数列的前 n 项和，例：1. 已知数列 an 的通项为na 2 ，则数列 an 为 （ ）nna (q 1)1nS a (1 q ) a anqn 1 1(q 1)A. 等差数列 B. 等比数列 C. 既不是等差数列也不是等比数列 D. 无法判断22. 已知数列 a 满足 a ( 0) ，则数列 an 为 （ ）n a a an 1 n n 2 n1 q1q例： 1. 已知等比数列 a 的首相 a1 5，公比 q 2 ，则其前 n 项和 SnnA. 等差数列 B. 等比数列 C. 既不是等差数列也不是等比数列 D. 无法判断3. 已知一个数列 a 的前 n 项和nn

24、 1s 2 2 ，则数列 an 为（ ）nA. 等差数列 B. 等比数列 C. 既不是等差数列也不是等比数列 D. 无法判断2. 已知等比数列 a 的首相 a1 5，公比n1q ，当项数 n 趋近与无穷大时，其前 n 项2和Sn3. 设等比数列 a 的前 n 项和为 Sn ，已 a2 6, 6a1 a3 30，求 an 和 Snn4（2006 年北京卷）设4 7 10 3n 10f (n) 2 2 2 2 2 (n N) ，则 f (n) 等于（ ）5. 利用anS (n 1)1S S (n 2)n n 1求通项22 2 2n B n 1 C n 3 D 4nA (8 1) (8 1) (8

25、1) (8 1)77 7 75（1996 全国文， 21）设等比数列 an的前 n 项和为 Sn，若 S3 S62S9，求数列的公比 q；1例：1. （2005 北京卷）数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 a1=1， a 1 S ，n=1，2，3，, ，求 a2，a3，a4 的值及数n n3列 an 的通项公式6设等比数列 an 的公比为 q，前 n 项和为 S n，若 Sn+1,S n，Sn+2 成等差数列，则 q的值为 .2. （2005 山东卷） 已知数列a 的首项na1 5,前 n项和为 Sn ，且*S S n n N ，证明数列 a 1n n n1 5( )是等比数列五. 等比数

26、列的前 n 项和的性质若数列a 是等比数列， Sn 是其前 n 项的和，n*k N ，那么 Sk ， S2k Sk ， S3k S2k 成等比数列 .四、求数列通项公式方法（1） 公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项例：1 已知等差数列 a 满足： a3 7, a5 a7 26， 求an ；n2. 已知数列 an 满足 an 1 an 2n 1，a1 1，求数列 an 的通项公式。2. 已知数列 a 满足 a1 2, an an 1 1(n 1) ，求数列 an 的通项公式；n3. 已知数列 a 满足nna a ，a ，求数列 a 的通项公式。1 2 3 1 1 3n n n4.

27、 设数列 a 满足 a1 2，n2n 1an 1 a 3 2 ，求数列 an 的通项公式n3. 数列a 满足 a1 =8， a4 2，且an 2 2an 1 an 0 （ n N ），求数列 an 的通项公式；n（3）累乘法适用于：a 1 f (n) an n24. 等比数列 a 的各项均为正数，且 2a1 3a2 1， a3 9a2 a6 ，求数列 an 的通项公式na若 n 1 ( )f nan，则a a a2 3 n 1f (1)， f (2)， ， f (n)a a a1 2 n5. 已知数列 a 满足 a1 2, an 3an 1 (n 1) ，求数列 an 的通项公式；na两边分别

28、相乘得， n 1a1na f (k)1k16. 已知数列 an 满足2a1 2，a 4且an an an （n N ），求数列 an 的通项公式；2 2 1n例：1. 已知数列 a 满足 a 1 2(n 1)5 a ，a1 3，求数列 an 的通项公式。n n n7. 已知数列 a 满足 a1 2，且nn 1 na 1 5 2(a 5 ) （ n N ），求数列 an 的通项公式；n n2. 已知数列 an 满足2 na ，an 1 an ，求 an 。13 n 18. 已知数列 an 满足 a1 2，且n 1 na 1 5 2 2 3(a 5 2 2)（ n N ），求数列 an 的通项公式

29、；n n 3n 1已知 a1 3， an 1 an (n 1) ，求 an 。 3n 212. 数列已知数列1a 满足 a1 a a 1 n 则数列 an 的通项公式 =, 4 1( 1).n n n2（4）待定系数法（2） 累加法适用于a qa f n1 ( )n n1、累加法 适用于： an 1 an f (n)解题基本步骤：a a f2 1(1)1、确定 f (n)若a 1 a f (n) (n 2) ，则n na a f3 2(2)a a f ( n)n 1 n2、设等比数列 an 1 f ( n) ，公比为n3、列出关系式 an 1 1 f (n 1) 2 an 2 f (n)两边分

30、别相加得 1 1a a f (n)nk 1例： 1.已知数列 a 满足n1 1a , n n ，求数列 a a a 的通项公式。1 12 n2 4n 14、比较系数求 1， 25、解得数列 an 1 f (n) 的通项公式6、解得数列 an 的通项公式例：1. 已知数列 a 中，na1 1, an 2an 1 1(n 2)，求数列a 的通项公式。nn(a a ) n(n1 nS nan 2121)dna (q 1)1nSn a (1 q ) 公比含字母时一定要讨论1 (q 1)1 q2. （2006，重庆 ,文,14）在数列 an 中，若 a1 1, an 1 2an 3(n 1)，则该数列的

31、通项 an _( 理) 无穷递缩等比数列时，S1a1q3.（2006. 福建.理 22.本小题满分 14 分）已知数列 an 满足*a1 1, an 1 2an 1(n N ).求数列 an 的通项公式；例：1. 已知等差数列 a 满足 a1 1, a2 3，求前 n项和 Sn n2. 等差数列 an 中， a1=1, a3+a5=14，其前 n 项和 Sn=100, 则 n=（ ）A9 B 10 C 11 D 123. 已知等比数列 a 满足 a1 1, a2 3，求前 n项和 Snn（5）递推公式中既有 Sn4. 设4 7 10 3n 10f (n) 2 2 2 2 2 (n N) ，则

32、f (n) 等于（ ）分析：把已知关系通过anS ,n 11S S ,n 2n n 1转化为数列a 或 Sn 的递推关系，然后采用相应的方法求解。nA.27n(8 1)B.27n 1(8 1)C.27n 3(8 1)D.27n 4(8 1)1. （2005 北京卷） 数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 a1=1，1a S ，n=1，2，3，, ， 求 a2，a3，a4 的值及数列 ann 1 n3的通项公式2错位相减法求和：如： , , .an b a b a b a b等差等比 求 1 的和 n 1 2 2 n n2. （2005 山东卷）已知数列 an 的首项 a1 5,前 n项和为 Sn ，且