数学归纳法经典例题及答案.-数学归纳法习题_第1页
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文档简介

1、数学归纳法（2016.4.21）一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：（ 1）证明当 n 取第一个值 n0 （如 n01 或 2 等）时结论正确；（ 2）假设当 nk( kN , kn0 ) 时结论正确，证明nk1时结论也正确综合（ 1）、（ 2），注意：数学归纳法使用要点：两步骤 ,一结论。二、题型归纳：题型 1.证明代数恒等式例 1用数学归纳法证明：1111n1335572n12n12n11111证明： n=1 时，左边3，右边21313假设 n=k 时，等式成立，即：，左边 =右边，等式成立1111k1335572k1 2k12k1当 n=k+1 时111111335572k 1

2、 2k 12k 1 2k 3k12k12k1 2k 32k 23k12k1k12k1 2k32k12k3k1k12k32 k11这就说明，当n=k+1 时，等式亦成立，由、可知，对一切自然数n 等式成立题型 2.证明不等式例 2证明不等式111n(n N) 1322n证明：当 n=1 时，左边 =1，右边 =2左边 <右边，不等式成立假设 n=k 时，不等式成立，即111k 1322k那么当 n=k+1 时，111113kk 122k12 kk11k1k1kk112 k12k 1k1k1这就是说，当n=k+1 时，不等式成立由、可知，原不等式对任意自然数n 都成立说明：这里要注意，当n=

3、k+1 时，要证的目标是111113k2 k 1 ，当代入归纳假设后，就是要证明：2k 12 k12 k1 k1认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标题型 3.证明数列问题例 3 ( x1) na0 a1(x1) a2(x 1)2 a3(x 1)3 an( x1)n (n 2， n N* ) (1)当 n 5 时，求 a0 a1 a2 a3 a4a5 的值(2) 设 bn a2 b3 b4 bn.试用数学归纳法证明：当n 2 时， Tn 2n 3， Tn b2n(n1)(n1)3.解：(1)当 n 5 时，原等式变为 (x 1)5 a0 a1(x 1) a2(

4、x 1)2 a3( x 1)3 a4(x 1)4 a5(x 1)5令 x 2 得 a0 a1 a2 a3 a4 a5 35 243.(2)因为 (x 1)n 2 (x 1)n，所以 a2 Cn 2·2n 2a22bn 2n3 2Cn n(n 1)(n 2) 当 n 2 时左边 T2 b2 2，2(2 1)(2 1)右边 2，左边右边，等式成立 假设当 n k(k 2，k N* ) 时，等式成立，即 Tk k(k 1)(k 1)成立 3那么，当 n k1 时，左边 T b k(k1)(k1)(k1)( k 1) 1k(k 1)(k 1) k(k 1)kk 133 k(k 1) k 1 1 k(k 1)(k 2)33 (k 1)

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