数理统计之统计量及其分布(习题)

1、计算题、证明题1 设( x 1 , x2， ， xn )及（ u1 ， u2， ， un ）为两组子样观测值，它们有如下关系ui xia（ b0,a 都为常数）求子样平均值u 与 x ，子样方差 su2与 sx2之间的关系b解 :u1nui12xia11xiax an2nbbnbi111xia21 22uiu2x aSunnbbb2 sx .2 若子样观测值 x1, x2 , , xm 的频数分别为 n1 , n2, ， nm ，试写出计算子样平均值x 和子样方差 sn2的公式(这里 n = n1 + n2 + + nm ).解 :x1mmn jx jmf j x jn j xjnn j 1j

2、 1j 1S21nxx 2mn j xx 2fxx 2njjjjjnj 1n其中 f jn j，j1,2, m 是 x j出现的频率。n3利用契贝晓夫不等式求钱币需抛多少次才能使子样均值落在 0.4 到 0.6之间的概率至少为0.9 ? 如何才能更精确的计算使概率接近0.9 所需抛的次数 ?是多少 ?解 :设需抛钱币 n 次 ,第 i 次抛钱币结果为第次抛出正面i1ii1,2, n ， 则i 独立同分布 .且有分布 Pix1 , x0,1第i次抛出反面02从而 E i1, Di1。2411 , D1设i是子样均值.则E.由契贝晓夫不等式n24nP 0.40.6P0.10.50.1PE0.11D

3、211000.9.0.14nn100250， 即需抛 250 次钱币可保证 P 0.40.60.90.4为更精确计算n 值 ,可利用中心极限定理最新可编辑word 文档P 0.40.6P0.40.50.5 0.60.52 0.2n1 0.9.1114n4n4n0.2 n 1.645n 68 .其中x 是 N 0,1的分布函数 .4. 若一母体的方差2是容量为 100 的子样的均值 . 分别利用契夫晓夫不等式和极限定理=4, 而求出一个界限 ,使得-(为母体的数学期望 E) 夹在这界线之间的概率为0.9.解 : 设此界限为. 由 P1D0.9 由此20.1 224D.0.4 0.6325.n10

4、0由中心极限定理 , PPD210.9.DD0.95.1.645.1.64540.329.D100D5假定 1和 2分别是取自正态母体N (2) 的容量为 n 的两个子样 (11 , 12 , 1n ),和,( 21,22 ,2 n ) 的均值 ,确定 n 使得两个子样均值之差超过的概率大约为 0.01.解 :i N,2i 1,2. 且相互独立 .，所以12 N0,2 2nn于是 PP122 1n12220.01222nnn0.005.n2.582. n14.26设母体N(,4 )，（ 1, 2, n ）是取自此母体的一个子样,为子样均值 ,试问：子样容量 n应取多大 ,才能使(1)E (2)

5、 0.1;(2) E()0.1;(3)P （0.1)0.95.最新可编辑word 文档240.1. n4解: (1) ED40.n0.1x 212 4(2)Exendx22n224=e 6 du0.1.n255.2 n2 n(3)P0.1Pn0.1n0.95.220.1n1.96.n1537.27.设母体 b 1, p(两点分布 ),（1,2 ,n ）是取自此母体的一个子样,为子样均值 ,若 P0.2,子样容量 n 应取多大 ,才能使(1)Pp0.10.75;(2)E ( 丨p 丨 2 )0.01.若 P0.1 为未知数 ,则对每个p ,子样容量 n 应取多大才能使E ( 丨p 丨 2)0.0

6、1.解:(1) 要P0.20.1P 0.10.30.75.n当 n10时,i服从二项项分布b k,10,0.2 . 查二项分布表知i110P 0.10.3P 1i30.87910.10740.77170.75.i 1所以 n 应取 10.(2)EP. Dp 1pp0.2 时n当E2D0.160.01.n16.pnp 1p(3)当 P未知时 ,E2D0.01pn由此知 ,n 100 p 1p ,要对一切 p0,1此时均成立 .只要求 p 值使 p 1p最大 ,显然当 p1, p 1p1最大 ,.所以当 n 100125时 ,对一切 p 的不等式均能成立 .2448的 k 阶原点矩和中心矩分别为v

7、k =Ek,k = Ek设母体，最新可编辑word 文档k , ,，k和 mk 分别为容量 n 的子样 k 阶原点矩和中心矩 ,求证 :134332(1) E3;(2)242.11n2n2n 3解:31n31n32EEE31 +1i11i1jn i1n3i1ij+Ei1j1k1注意到1 ,2 ,n独立 ,且 Ei1110i1,2, n.所以 E313.1n 2414 44322EE43E i1i1i1j11j1ni 1ijij6 E i2E i1j1k11j1k1l1i jkij kl1n n1323232242.=4n2nn3n349.设母体N,2, 子样方差 Sn2=1n们分别为2124+

8、1+n和n.nn222, 求 E Sn,D Sn并证明当 n 增大时 , 它ii 1解 :由于 nSn222 n 1 .所以 E 2 n 1n1.DX 2 n 1 2 n 122n 1 212EnSn20ESnn2nn 2DSn24nSn 22 n 14241n2 D2n2n0n2 .10.设1 , 2为取自正态母体N,2的一个子样 ,试证:1+ 2,1-2 是相互独立的 .cov证：E12 , 12E22E 1E121212E12E122E12 .最新可编辑word 文档由于1,2 N,2， 所以.2E2,E 1E 2E 12即 cov12 ,120又12 N 2,2 2， 12N0.22

9、.所以由两个变量不相关就推出它们独立.11设母体的分布函数为Fx, 1 ,2 ,n 是取自此母体的一个子样, 若 F x的二阶矩存在 ,为子样均值 ,试证 1-j -=1j , i , j1,2, n.与的相关系数, in1证由于的二阶矩存在 ,不妨设 E.D2covi,jEij, ijDDiiDiDi1nnn 121n 12n 1 2 n 1 2 .iD iD jn2i 1n2n 2j inE iE i jE iE jE 222 En22jijnnj12 222E i 22 22222n 1 22nE i E jnnnjin2n1.n1n21n12.设和 Sn2分别是子样1 ,2 ,n的子样

10、均值和子样方差,现又获得第 n +1个观测值 ,试证 :(1)n+1=n+1(n+1-n);n1(2)S2n1=nSn212.n1nn1n11n111证(1)n 1innn 1nn 1nn1 inn 11121n121n12(2)Sn1n 1 iin1n1 iinnn 1111n112n1 i1inn1n 1n最新可编辑word 文档1 nnn1n2i22n1i 1n1n12n1nn1 2n 1nnSn2n2=n12n 1n.n1ninn 1ni113.从装有一个白球、两个黑球的罐子里有放回地取球, 令=0 表示取到白球 ,=1表示取到黑球 .求容量为5 的子样1 , 5的和的分布 ,并求子样

11、均值和子样方差 Sn2的期望值 .b 1;2, Ei =2.2i1,2,5解:i 相互独立都服从二点分布33Di.9所以 E2 , ESn2n 1 2 8 .3n9452. 其分布列125 服从二项分布 b 5;352k15kpk. k0,1,2,5.k3314.设母体服从参数为的普哇松分布 ,1,2 ,n是取自此母体的一个子样,求：(1)子样的联合概率分布列 :(2)子样均值的分布列、 E、 D2、和 E Sn。nkixien.ki0,1解 :(1)p1k1, 2k2 ,nknenni1kiki !i1n(2)i服 从参 数为n的 普 哇松分布 ,所以的 分 布列 为i1pknke n. k

12、0,1,2E,Dn. ESn2n1 .nk!n15.设子样1,2 ,n取自自由度为 m 的2m母体 ,试求子样均值的分布密度函数 .由于 x2ni 服从 x 21解 :m 分布具有可加性,所以nm 分布 .i1nni 的分布密度函数为:i 1最新可编辑word 文档1nf xnm 2 2mnnmnx2 1x 2 e 2 , x 00, x016.设母体服从,分布 ,其密度函数为fxx1e x, x00,x0,1, 2, nn为大于 0的常数 ,为取自此母体的一个子样,试求子样和i 的分布函数 .i1,n解 :利用分布的可加性 ,知i 的分布密度为i 1ny nx1ey , yxp yn0F x

13、p y dy .0, y0017.设母体服从指数分布 ,其密度函数为f xaex , x0 ,a为常数 ，求子样均值的0,x0分布 .n解 :由于服从指数分布, 也就是服从1,分布 :由分布的可加性, 知子样和i 服从i 1nnn,. 因而的分布密度为 Fyy n 1e ny , y0。n1 !0, y0.2k和 vn18. 若 1,2 ,n 是 取 自 正 态 母 体 N,的 子 样 , 求 uii ,i 1ir0 k r n 的联合分布 .解 :由于1, 2,n 相互独立 ,又0krn, 所以 u 和 v 相互独立 , u N k , k2 ,v N n r 1 , n r 12， 所 以

14、u, v的联合分布是二维正态分布N k , n r 1 ,k 2 , n r 12,0 .1 ,N 1,2 ,2,2,1, , n 是取自此母体的一个子样19.设母体212 , 求子1样均值1 , 2nn 11i ,i1nn2i的分布密度函数.i1最新可编辑word 文档nn解 :二维正态变量的和1i ,2i 仍为二维正态变量 ,其五个参数分别为i 1i1nnE1in 1 ,E2in 2i 1i 1n2n2D1inD2in12i1i1nnnE1in12in 2E 1i12i212i 1i 1i1nn2n2n12n1222因此1,2服从N1, 2,1,2,.nn1 21 21,k=1,2, N.

15、现进行不返回抽样，为子样 1, 2, n20. 设母体的分布列为 P(k )=N的均值,试求 E 和D( 表示成 N 的函数 ).解 : 由于 N 有限 ,而抽样不返回 ,所以 1 ,2 , ,n 不是简单随机子样 ,i 的分布列与母体相同 ,但不相互独立 ,NE ik 1k 1N 1. i 1,2 N .N2N22D ik 21N 11NN 12N 1N 1k1N26N41N 21 . i1,2N .12kl2covi ,jE ijE iEjN 1NN 12k l11 kklN1 2.i jN .N Nl4N2N因为kk 2klk 1k 1klklN 12N2NN12N1 NN146N 13

16、N 2.k l12最新可编辑word 文档cov,NN1N13N2N12N 1j1,2N.ij12N N1412.iE1nE iN1.n i 121n1nDDiD icov i ,jn2n2i1i1kl1nn n 1 N 1N 1 N n .D in2i11212n21.设母体N0,1,1,2 ,3为取自此母体的一个子样,在子样空间中求子样点到原点距离小于 1的概率 .解:设1,2 ,3样本点到原点0,0,0的距离为则222123p1 p22212221123p 123iN0,1.- 所以122232 2 3查2分布表 ,可求得近似值 p0.20.22.设 1 ,2 ,n 为取自正态母体N,2

17、2为子样方差 ,分别求满足下列各式的最小 n的子样 , Sn的值 .(1)PSn21.50.95;(2)P22120.8.2Sn2解 :由于nSn22n 1 .2(1)pSn21.5nSn22p21.5n 0.05.2查- 分布表知最小的 n 值为 21.2223nnSn222pSn2p3n(2). p Sn22220.0822而最新可编辑word 文档p2 n 13 nP2 n 1 n2p2 n 13 n 1 p2 n 1n0.2.2222查- 分布表知 ,最小的 n 值为 13.23. 设随机变量2 2n ,求 :(1)的分布密度函数;(2) 求的分布密度函数 ;(3)求随机变量的数学期望

18、 E和方差D .n解: (1)2服从2n分布,称0 服从2 n分布, 且1y 2n 11y 2f ye2y22yyn122nne . y 0n1n2 22 222(2)n的密度函数n z2nnz 21n1n2为 f znzn 1e 2 .z 0.n z e2n 1nn 1n2 22 2221 1xn11nx2xnx23 EExx 21e 2 dx2e 2 d2.nn2202 2n0n222n12E 2EnDE 2E2n 22.n224. 设i 为相互独立的连续型随机变量,i 的分布函数为Fi xi, i1,2, n.试证 : 随机变量n2 2n 分布 .2 ln Fii服从i1证 :令 iFii . i1,2n.则i 服从 R 0,1分布 .ni2 ln Fi ii