上海市各地市2011年高考数学最新联考试题分类大汇编(9)直线与圆

1、用心 爱心 专心 -1 - 上海市各地市2011年高考数学最新联考试题分类大汇编第 9部分:直 线与圆 一、 选择题： 17.（上海市黄浦区2011年4月高若二模试題理科）已知直线A axby = lt点P（a, b）在 圆C： F +/ = 1外，则貢线/与圆C的位宣关系 是 _ 答（A ） A 相交 B 相切 E 相离 D不能确定 1二（上海市黄浦区2011年4戸高肴二模试題文科）已知直线人处十二 X 点P（a, b）在 圆C： H +/ = 1外，则直线/与圆C的位苴关系是 _ 答（A ） A .相交. 区相切. C .相离. D.不能确定. 15.（上海市五校2011年联令教学调研理科

2、a=3是直线as+2y+3a=0与直线3x+（a-l）y=a-7 平行的 （C ） （对充分非必要条件 （B）必要非充分条件（C）充要条件（D）非充分非必要条件 二、 填空题： 7 7.（上海市黄浦区 20112011 年 4 4 月高考二模试题理科）直线I1： 3x-y1=o, l2: x5 = o，则 直线l1与丨2的夹角为= _ . p 6_ 7 7.（上海市黄浦区 20112011 年 4 4 月高考二模试题文科）直线I： 3x - y 1 = 0 , l2： x 0，则 直线丨1与丨2的夹角为= _ . P 6 13.13. （上海市十校 20102010- -20112011 学年

3、第二学期高三第二次联考理科 ）平面上三条直线 X -2y 1 = 0,x -1 = 0, X ky = 0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数 k的 取值集合为 _ .0,-1,-21 3 3、（上海市虹口区 20102010- -20112011 学年第二学期高三教学质量测试理科 ）直线x-y，5 = 0被圆 2 2 x y -2x-4y-4=0所截得的弦长等于一2 _ 9 9.（上海市十三校 20112011 年高三第二次联考理科）设圆x2 y4的一条切线与 x x 轴、y轴分 别交于点A、B，则|AB|的最小值为_4_4_。 用心 爱心 专心 -2 - 7 7.（上海市闵行区 20

4、112011 届高三下学期质量调研文科 ）经过点A（1,0）且法向量为d=（2,-1）的 直线l的方程为 . . 2x 一 y 一2 = 0 1313、 （上海市奉贤区 20112011 年 4 4 月高三调研测试）（理）在平面直角坐标系中，设点 P（x, y）, 定义OP =| x | | y |，其中O为坐标原点. 对于以下结论：符合OP =1=1 的点P的轨迹围成的图形的面积为 2 2； 设P为直线.5x 2y 一2 =0上任意一点，则OP的最小值为1; 设P为直线y =kx b（k,b R）上的任意一点，则“使0P最小的点P有无数个”的必 要不充分条件是“ k=1”；其中正确的结论有

5、_ （填上你认为正确的所有结论的序号 ） 1414、 （上海市奉贤区 20112011 年 4 4 月高三调研测试）（理）在空间直角坐标系 O-xyz中，满足条 件lx I - i - f _1的点（x, y, z）构成的空间区域12的体积为V2 （x 1, ly 1, l.zl分别表示 不大于x, y,z的最大整数），则V2= = 1 _1 _ 14.14.（上海市奉贤区 20112011 年 4 4 月高三调研测试）（文）在平面直角坐标系中，设点 P（x, y）, 定义OP =1 x I |y |，其中0为坐标原点. 对于以下结论：符合OP =1的点P的轨迹围成的图形的面积为 2 2； 设

6、P为直线、.5x 2y - 2二0上任意一点，则OP的最小值为1; 设P为直线y =kx b（k,b R）上的任意一点，则“使OP最小的点P有无数个”的必 要不充分条件是“ k=1”；其中正确的结论有 _ （填上你认为正确的所有结论的序号 ） 8 8、（上海市徐汇区 20112011 年 4 4 月高三学习诊断文科）已知直线l经过点（r0）且方向向量为 （2, -1），则原点O到直线I的距离为 _ 。 1212、（上海市徐汇区 20112011 年 4 4 月高三学习诊断文科）在平面直角坐标系 xOy中，O为坐标原 点。定义P（X1,yJ、Q（X2,y2）两点之间的“直角距离”为 d（P,Q）

7、 = %-x2 + % y2 已知B（1,0），点M为直线x - y 2 = 0上的动点，贝U d（B,M ）的最小值为 _ 3 3_ 。 三、解答题： 2323.（上海市黄浦区 20112011 年 4 4 月高考二模试题理科）（）（本题满分 1818 分）本题共有 3 3 个小题，第 1 1 小题满分 4 4 分，第 2 2 小题满分 6 6 分，第 3 3 小题满分 8 8 分. 已知点P是直角坐标平面内的动点， 点P到直线l1： x = 2的距离为d1，到点F（-1,0）的用心 爱心 专心 -3 - 距离为d2，且d2 2 d1 2 （1 1） 求动点P所在曲线C的方程； （2 2）

8、直线|过点F且与曲线C交于不同两点 A、耳点A或B不在x轴上），分别过A、B点作 直线h：x - -2的垂线，对应的垂足分别为 M、N，试判断点F与以线段MN为直径的圆的位 置关系（指在圆内、圆上、圆外等情况 ）； （3 3） 记Si = S FAM ， S2 - S FMN ， S3 = S FBN （A、B M、N是 中的点），冋是否存在实 数，使S|二SiS3成立.若存在，求出-的值；若不存在，请说明理由. a2 进一步思考问题：若上述问题中直线 |1 : x 、点F（-c,O）、曲线C： c 2 2 _ 笃笃=1=1（a b a b 0, 0, c c.厂产）,则使等式S；SS3成立的

9、的值仍保持不变.请给出你 a ba b 的判断 （ 填写“不正确”或“正确”）（）（限于时间，这里不需要举反例，或证明 ）. 2323.（本题满分 1818 分）本题共有 3 3 个小题，第 1 1 小题满分 4 4 分，第 2 2 小题满分 6 6 分，第 3 3 小题 满分 8 8 分. 解（1 1）设动点为P（x，y）， 1 1 分 依据题意，有 （X 1）2 / /，化简得 Cy2=1. 3 3 |x 2| 2 2 分 2 因此，动点P所在曲线C的方程是： y2 =1. 4 4 分 2 点F在以MN为直径的圆的外部. 理由：由题意可知，当过点 F F 的直线I的斜率为 0 0 时，不合

10、题意，故可设直线1 : x二my -1，如图所 示. 5 5 / / 2 2 分 联立方程组 y =1，可化为(2 m2)y2 -2my1 = 0， x =my T x2 用心 爱心 专心 -4 - 则点 A(xn %)、B(X2, y2)的坐标满足 y1 y2 = 2 m2 I 1 y#2 2 、 2 +m 又 AM _ l1、BN _h，可得点 M(_2, yj、N(-2, y2). 点与圆的位置关系，可以比较点到圆心的距离与半径的大小来判断，也可以计算点与直 径形成的张角是锐角、直角、钝角来加以判断. 因 FM =（_1, yj , FN =（一 1, y2），贝V FM FN =(-1

11、, yj (-1, y2)=1 0 9分 2 +m 4 依据可算出x1 x2 = m(yi y2) -2 2， 2+ m 2 2 2 泌厂血宀叫-“汗, 1 1 则 S1S3 =2(X 2)1 %丨 2(X2 2)1 _4 1 m2 2 (2 m2)2， 韵心丨1）2 1 2 （%财丫必 4 对进一步思考问题的判断：正 确. 2222、（上海市虹口区 20102010- -20112011 学年2m 曰 ZMFN为锐角，即点 F F 在以MN为直径的圆的外部. 疋, 1010 1 尸2 2任X2) 4 =2 (2 1 m2 m2)2 1414 即存在实数 =4使得结论成立. 1515 1818

12、 2 X 椭圆飞 a 用心 爱心 专心 -5 - 第二学期高三教学质量测试理科 ）（本题满分 1616 分）已知: 2 +与=1（ abnO），过点A（ a, 0），B（0, b）的直线倾斜角为一，原点到该 b 6用心 爱心 专心 -6 - 直线的距离为上2 2 (1) 求椭圆的方程； (2) 斜率大于零的直线过 D(_1, 0)与椭圆交于E , F两点，若ED二2DF ,求直线EF的 方程； (3) 是否存在实数 k，直线y =kx 2交椭圆于P，Q两点，以PQ为直径的圆过点 D(-1, 0) ?若存在，求出k的值; 若不存在，请说明理由. 2222、( 16 16 分)(1 1 )由 b

13、a .3 3 h 1 3 b 二 - - 2 2 .a2 h2 ，得 3 , h = 1, 2 所以椭圆方程是： 3 2 =1 X2 (2(2)设 EFEF： x 二 my-1 ( m 0)代入 y 3 2 -1 I 得(m2 3)y2 _ 2my - 2 = 0， 设 E(X1， yj , F(X2, y2)，由 ED =2DF , 得yi -2y2 出 丄 2m 2 由 y1 y2 二 -丫2 2 ，y2 二-萄2 m +3 1 -2 m2 3 得(-壬)2 m 3 -,.m = 1, m - -1 (舍去)，(没舍去扣 1 1 分) m2 3 直线EF的方程为：x = y-1即x-y，1

14、=0 1010 分 用心 爱心 专心 -7 - (3)将y二kx 2代入 2 y1，得(3k2 1)x2 12kx 9 = 0 (* *) 3 记 P(x yj , Qg, y2), PQPQ 为直径的圆过 D(-1, 0)，则PD _ QD , (冷 1, yj(X2 y2)=(X1 1)(x2 1) y2 =0,又 y1 =kx1 2, y2 二 kx2 2, _ 12k 14 得(k2 1)X1X2 (2k 1)(X1 X2) 5 二 3k2 . 0 . 解得k = 7，此时(* *)方程:0 ,-存在k=-，满足题设条件. 6 6 23 23 ( (上海市十三校 20112011 年高

15、三第二次联考理科) )(本题满分 1818 分，第 1 1 小题满分 4 4 分，第 2 2 小题满分 8 8分，第 3 3 小题满分 6 6 分) 1414 分 1616 分 2 7 =1 (a b 0)的左、右顶点分别 b2 为A、B，椭圆C的右焦点为F ,过F作一条垂直于x轴的直线与椭圆相交于 R、S ,若线段RS 2 Y Y 在平面直角坐标系中，已知焦距为 4 4 的椭圆C : a2 x 用心 爱心 专心 -8 - (1,0)。 的长为I0。 3 求椭圆C的方程； 设Q(t,m)是直线x=9上的点，直线 QA、QB与椭圆C分别交于点 M、N，求证：直线 (1) (2) MN (3) 必

16、过x轴上的一定点，并求出此定点的坐标； 实际上，第(2 2)小题的结论可以推广到任意的椭圆、双曲线以及抛物线，请你对抛物 2 线y =2px (p .0)写出一个更一般的结论，并加以证明。 2323. ( 1 1)依题意，椭圆过点(2,5)，故 3 a2 9b=1，解得 a2b2 4 a2 =9 b2 -5 3 3 分) 椭圆C的方程为 2 2 x y 1。 . 9 5 4 4 分) 设Q(9,m)， 直2 2 A 4八 n”( 、血 r 9m -720 240-3m z _ 八、 设 M (q , y1)，贝U -3X1 2 X1 2 ，(7 7 分) m2 +80 m2 +80 2 m m

17、 240 -3m 40m y1 (X1 3) ( 2 3) 2 ，故点M的坐标为 12 12 m2 80 m2 80 2 / 240 -3m2 40m、 (2 )。 m 80 m 80 (8 分) 同理，直线QB的方程为y =m(x_3)，代入椭圆方程，得(20 m2) x -6x - 9m2 _180=0 , 6 2 2 9m -180 3m 60 设 N(X2，y2)，贝U 3X2 2 X2 厂 m2 +20 m2 +20 m . y2 (X2 3) ( 6 - 可得点 (3m2 -60 2 _、 m 3m 60 20m 2 3) = - 2 6 m2 20 m2 20 N的坐标为 20m

18、 )。 m2 20 2 若240 -3m 2 10 10 分) 2 =迟-60= m2 =40时，直线MN的方程为x=1，与x轴交于(1,0)点; m2 20 若m2尸40，直线MN的方程为y - 20m 2 m2 20 2 10m 3m2 -60 2 (x 2 ), 2 2 令y =0，解得x =1。综上所述，直线 MN 必过x轴上的定点 M (6(6 分 N O 用心 爱心 专心 -9 - (3)结论：已知抛物线 y2=2px(p .0)的顶点为 点P作x轴的平行线与抛物线交于点 M，直线OP与抛物线交于点N，则直线MN必(12 (12 分) O , P为直线X - -q (q =0)上一

19、动点，过 过定点(q , 0)。 (14 (14 分) 用心 爱心 专心 -10 - 2 证明：设P（ _q , m），则M （巴，m）, 2p 直线OP的方程为y ，代入y2 =2px，得y2 细y =o ,可求得 q m （16 16 分） 2pq m 2 2 直线MN的方程为y_m 2 J（x 旦）二 严（x_m）, m2 2pq2 2pm2 -2 pq 2p 2p m2 2 2 令y =0，得x m 一術=q，即直线MN必过定点（q , 0）。 2 p 2 p （上海市闵行区 20112011 届高三下学期质量调研文科 ） 22.22. （本题满分 1616 分）本题共有 3 3 个小

20、题, 第 1 1 小题满分 4 4 分，第 2 2 小题满分 5 5 分、第 3 3 小题 满分 7 7 分. 2 已知椭圆 y1中心为O,右顶点为M，过定点D（t,0）（t =二2）作直线I交椭圆于 4 A、B两点 （1 1） 若直线l与x轴垂直，求三角形 OAB面积的最大值； （2 2） 若t二，直线I的斜率为1，求证： AMB二9（f ； 5 （3 3） 直线AM和BM的斜率的乘积是否为非零常数？请说明理由 22.22.解：设直线I与椭圆的交点坐标为 A（ x-i, y1） B（x2, y2）. . （1）把 x=t 代入y2 = 1 可得：y= 1 Xt2 , 4 2 （2 2 则 S

21、 OAB =OD AD 冷 4 -，当且仅t （4 4 iy*5 2 （2）由 2 得 125x -240 x 44 = 0, x-|x2 , x1 x2 125 二48 （ 分） 25 x x2 -I 所以 kAMkBM - X1-2 X2-2 为-2 X2-2 F + 卄 36 X1X2 x, X2 5 25 X1X2 _ 21. X1 X2 .1 N（ 用心 爱心 专心 当直线I与x轴不垂直时，可设直线方程为： y = k（x -t）， y =k(x-t) 消去 y整理得(4k2+1)x2 -8k2tx+4k2t2 -4=0 =1 .：0 （1 1）求证：F F ：0;0; 的值； （3

22、 3）设四边形 ABCD的一条边CD的中点为G，OH _ AB且垂足 为H试用平面解析几何的研44 6 48 36 _ 64 = 1二.AMB =90。 64 (9(9 分) (3)直线AM和BM的斜率的乘积是一个非零常数 (11 (11 分) 8k2t 4k2 1 4k2t2 4 x1 x2 2 4k2 1 则x1+x2 又 y1=k(X1t) “2 =心t) (13 (13 分) 所以kAM kBM 2 2 k(X1X2 t(X1 +X2) +t ) _ t+2 (常数) (% -2)(% -2) %x2 -2(為 x2) 4 4(t -2) (15 (15 分) 当直线I与X轴垂直时，由

23、 I I 4 x =t 2 x 2 y =1得两交点視门厲冷皿2）， t+2 显然kAM kBM 1 1 . .所以直线AM 4(t -2) 和BM的斜率的乘积是一个非零常数 （ 1616 分） 22.22.（上海市普陀区 20112011 年 4 4 月高三质量调研）（本题满分 1616 分） （文）如图，在平面直角坐标系中，方程为 2 2 x2 y2 ABCD的对角线AC和BD互相垂直，且 AC和BD分别在x轴和y轴上. . （2 2）若四边形 ABCD的面积为 8 8，对角线 AC的长为 2 2，且AB AD =0,求 D2 E2 -4F 用心 爱心 专心 -12 - 究方法判断点 O、

24、G、H是否共线， 并说明理由. . 解；（文科） （1 1）证法一：由题意，原点 O必定在圆M内， 2 2 即点（0,0）代入方程x y Dx Ey 0的左边后的值小于 于是有F 0，即证. .M 0 0， O H 用心 爱心 专心 -13 - 证法二：由题意，不难发现 A、C两点分别在x轴正负半轴上. .设两点坐标分别为 A a,0 ， C c,0，则有 ac ： 0. . 对于圆方程x2 y2 Dx Ey 0，当y =0时，可得x2 Dx 0，其中方程 的两根分别为点 A和点C的横坐标，于是有 xAxC = ac = F . . 因为 ac ： 0 ,故 F : 0. . AC I BD

25、（2 2）不难发现，对角线互相垂直的四边形 ABCD面积S= - 一，因为S = 8，AC =2， 2 可得BD|=8. . T 又因为AB AD =0，所以.A为直角，而因为四边形是圆 M的内接四边形，故 BD =2r =8n r = 4. . 对于方程x2 y2 Dx Ey F =0所表示的圆，可知 2 2 2 D E 4F =4r =64. . （3 3）证：设四边形四个顶点的坐标分别为 A a,0，B 0,b，C c,0，D 0,d . . 则可得点G的坐标为 -,d ，即OG二c,d . . 12 2丿 （2 2丿 当y = 0时可得x2 Dx F =0，其中方程的两根分别为点 A和

26、点C的横坐标, 于是有 xAxC = ac = F . . 同理，当x = 0时，可得y2 Ey 0，其中方程的两根分别为点 B和点D的纵坐标, 于是有 yB yD 二 bd 二 F . . bd - ac 所以，AB OG 0，即 AB_OG. . 2 故O、G、H必定三点共线. . ，所以 ha,b，且 AB _OH，故要使 G、O、 H三点共线，只需证 I I AB OG = 0 即可. . OG bdac 且对于圆M的一般方程x2 y2 Dx Ey 0， 用心 爱心 专心 -14 - 23.23.（上海市普陀区 20112011 年 4 4 月高三质量调研）（本题满分 1 18 8 分

27、） （文理）如图 1 1,已知半径为r的圆M的内接四边形 ABCD的对角线 AC和BD相互垂直且用心 爱心 专心 -15 - 交点为P . . 第 2323 题图- -1 1 第 2323 题图- -2 2 （1 1） 若四边形ABCD中的一条对角线 AC的长度为d （ 0dc2r），试求：四边形ABCD 面积的最大值； （2 2） 试探究：当点P运动到什么位置时， 四边形ABCD的面积取得最大值， 最大值为多少？ （3 3） 对于之前小题的研究结论， 我们可以将其类比到椭圆的情形 . .如图 2 2，设平面直角坐标系 2 2 中，已知椭圆-:2 2 每-1 （ a b 0）的内接四边形 AB

28、CD的对角线AC和BD相互垂 a b 直且交于点P. .试提出一个由类比获得的猜想， 并尝试给予证明或反例否定 【本小题将根据 你所提出的猜想的质量和证明的完整性给予不同的评分】 23.23.（本题满分 18 18 分） AC BD （理科）解:（ 1 1）因为对角线互相垂直的四边形 ABCD面积 S=S= - - ，而由于 AC=d 2 为定长，则当BD最大时，四边形ABCD面积S取得最大值. .由圆的性质，垂直于AC的弦 中，直径最长，故当且仅当BD过圆心M时，四边形ABCD面积S取得最大值，最大值为dr. . （2 2）解法一：由题意，不难发现，当点 P运动到与圆心 M重合时，对角线 A

29、C和BD的长 同时取得最大值|AC| =|BD| =2r，所以此时四边形 ABCD面积S取得最大值，最大值为 2r2. . 解法二：设圆心 M到弦AC的距离为d1，到弦BD的距离为d2，MP的距离为d . .则 AC|=2&2 -d/，|BD| = 2&2 -d22，且 d2=dj+d；.可得 SABCD =2 . r2-dj ；r2-d22 = 2 , r4 - (dj d?22 yQ2 M P *y x 用心 爱心 专心 -16 - 又 djd22 &+d； 2 当且仅当 dd2时等号成立. . 用心 爱心 专心 -17 - 又因为点P在圆内运动，所以当点 P和圆心

30、M重合时d = 0 ,此时di =d2，故此时四 边形的面积最大，最大值为 Smax =2r2. .不难发现，此时该四边形是圆内接正方形，对角线交 点P与圆心重合. . （3 3）类比猜想 1 1：若对角线互相垂直的椭圆内接四边形 ABCD中的一条对角线长确定时，当 且仅当另一条对角线通过椭圆中心时，该椭圆内接四边形面积最大 类比猜想 2 2：当点P在椭圆中心时，对角线互相垂直的椭圆内接四边形 ABCD的面积最大 以上两个均为正确的猜想，要证明以上两个猜想，都需先证：椭圆内的平行弦中，过椭 圆中心的弦长最大. . 2 2 证：设椭圆的方程为 笃+爲=1（aAb0），平行弦MN的方程为y = k

31、x + m， a b 联立可得 b2x2 a2(kx m)2 -a2b2 = 0 = b2 a2k2 x2 2kma2x m2a2 - a2b2 二 0 不妨设 M x1, y1、N x2, y2，则 MN | , 1 k2 % - x2 由于平行弦的斜率 k保持不变，故可知当且仅当 m=0时，即当直线经过原点时， MN 1 k2 取得最大值 MN|=2ab . - （ * *）. .特别地，当斜率不存在时，此结论也成立 Vb2 +a2k2 由以上结论可知，类比猜想一正确。又对于椭圆内任意一点 P构造的对角线互相垂直的 椭圆内接四边形，我们都可以将对角线平移到交点与椭圆中心 0重合的椭圆内接四

32、边形 A1B1C1D1, ,而其中|AC|EIAC|BD|兰血。，所以必有SABCD兰 Sg.Sg.即证明了猜想二也 是正确的 类比猜想 3 3 :当点P在椭圆中心，且椭圆内接四边形的两条互相垂直的对角线恰为椭圆 长轴和短轴时，四边形面积取得最大值 2ab. . 要证明此猜想，也需先证“椭圆内的平行弦中，过椭圆中心的弦长最大 . .”在此基础上， 可参考以下两种续证方法 卜d2r2 +匚 =2 2 d2 r - / 2 ，当且仅当dd2时等号成立 -2kma2 ,b2 +a2k2 -4 2 2 22 m a -a b 2 2 2 b a k .1 k2 b2 a2k2 .4k2m2a4_4 m

33、2a2 _ a2b2 b2 a2k2 1k2 b2 a2k2 所以SABCD乞2 用心 爱心 专心 -18 - 证法一：当点P在椭圆中心时，不妨设对角线 AC所在直线的斜率为 k. .用心 爱心 专心 -19 - （i ）当k =0时，AC即为椭圆长轴，又 AC _ BD，故BD是椭圆的短轴所以此时椭圆 内接四边形 ABCD的面积为 SABCD =2ab. . 1 （ii ii ）当k = 0= 0 时，对角线BD的斜率为. .由此前证明过程中的（* *）可知, k J1 + k2 1 AC =2ab - - 若将-一代换式中的k，则可得弦BD的长度, Jb2 +a2k2 k 综上（i i ）

34、和（ii ii ）,故可证明猜想三正确. . 证法二：如图，四边形对角线交点 P与椭圆中心重合. . BD 2a2b2(k2 1) 22 2222 22 ,a (k 1)-(a -b )b (k 1) (a -b ) 2 2 2a b 2 Z2 2 .2 2 a b 2 a b、 (a -2 (b ：2 ) k +1 k +1 2 2 2a b a2b2 (d一 (k211)2 由k2 则 SABCD 2 2 2a b d2)2.1 厂; 1 1=0： 21 ： 1 二 k2 +1 (21 -11 -1,。， k2 1 2 4 IL 4 = 2ab， an*1厂片：2 2a2b2 用心 爱心 专心 -20 - 卓 B D 用心 爱心 专心 -21 - 由对称性，不妨设椭圆上的点 A的坐标为 a cos ,b