泛函分析基础刘培德科学出版社

1、2012泛函分析复习资料课后习题p1解答：当p兰0时，d(x,y)=|xy不满足正定性，R在d下不是度量空间，p当p =1时，d(x,y)=|xy满足正定性，对称性，不满足三角不等式， 故R在d 下不是度量空间，p当0 c p兰1时，d (x, y) = x y满足正定性，对称性和三角不等式，故R在d下是度量空间，若令xy -d(x,y)，仅当p =1时，| |满足范数的正定性， 正齐次性和三角不等 式，故此时R在卄下是赋范空间。2 证明：Part 1:(X , d )是度量空间，.- x,y X,d(x, y)=mi n( d (x, y),1)亠 0 且d (x, y) =0当且仅当d (

2、x, y)二0 ,当且仅当x二y , . d '满足正定性；- x, y X ,d (x, y)二 min( d (x, y),1) = mi n( d(y,x),1) = d (y, x)，d 满足对称性；一x, y, z X , d (x, y) = m in( d (x, y),1) - m in( d (x,z) d ( z, y),1)< mi n(d(x,z),1) mi n( d ( z, y),1) d (x, z) d (z,y).d 满足三角不等式，综上(X,d )是度量空间。Part2:由(X,d)是度量空间，.x, y X,d (x,y)二 d(x,y)

3、。且 d(x,y) +1d”(x,y)=0当且仅当d(x, y)=0，当且仅当x=y，d 满足正定性；_x, y X , d (x, y) = d (x, y) = d (y, x) = d ( y, x)， - d 满足对称性； d(x,y)+1d(y,x)+1- -、，“，d(x,y) 八“，d(x,z)+d( z, y)一 d (x, z)丄 d (z, y)_x,y,z X ,d (x,y)d (x,y)d(x,y)+1d(x,z)+d( z, y)+1d (x, z) +1 d( z, y)+1PF. PF二 d (x, z) d (z, y) d 满足三角不等式，综上(X , d

4、)是度量空间。4 证明：设 x=(x1,x2，xn)EQn，Xk =(x；,x：,，x：)EQn，"N先证必要性，即当 Lk 1收敛于x时，k ?依坐标收敛于x。设 % f在n中收敛于x，即d (xk, x) 0, w hen k由 d(xk, x)=无(x； _x )2，故对 i =1,2,.n , x； 一 x' < d (xk, x),x； _x t 0, when kT «，即卩x； 依坐标收敛于 x ;充分性，设x； 依坐标收敛于x，即任意i =1,2，.n , x； x't 0, when kT閃壮 d (x；, x)=(x； _x丫兰扁m

5、ax x； _x' ，二 d (x；, x) t 0, w hen k t °o， x； 收 Y1空敛于x综上所述，:x；在:.：n中收敛于x等价于X； ?依坐标收敛于x。5(1)证明：设E :三.；是线性空间X中任意的凸集族，则任取x,r E,及0，则- - x 三 E ,由 E ,是凸集，.rx (1 一 r) y 三 E ,， rx (1 - r) y E ,， E ,是 """磁"闹V "凸集，即任意多个凸集之交是凸集。x yxy证明：任取x,y kE，及0r岂1，则一， E，由于E是凸集，.r (1 一 r) Ek

6、kkk.rx (1 -r)y kE，故；E 也是凸集。设E是凸集，任取x, y X。- E及0乞r < 1，由于x - x° E , y - x° E， E是凸集，-r x x0 * (1 ij(y x0) E，即 rx ，(1 r)y x。 E， rx (1 r)y x。 E，故凸集E经平移x°后得到的集合x0 E也是凸集。(4)仅证E， Eo暂不证明。任取x, y 二E =E E ，及0辽r乞1，若 x, y E，由 E 是凸集，.rx (1 r) y EE若 x, y E :贝 U存在 1xn f, !yn ；二 E, xn > x,yn y ,

7、由 E 是凸集，rx. ' (1 - r) y. E由 rx n (1 - r) yn r rx ，(1 - r) y,. rx (1 - r) y ：= E E若 x E, y E ,则存在"n ；二 E, yn ； y，由 E 是凸集，.rx (r)y E由 rx (1r)ynrx ，(1 r)y,. rx - (1r)y 三 E 二 E综上当E是凸集时，E也是凸集。R在一般度量下，两凸子集 (0,1)和(1,2)的并集(0,1)(1,2)不是R的凸集。6 (1)证明：任取 y1, 丫2 T (A)则存在 X1 ,X2 A,TX! = y! ,TX2 = y2由 T 是线

8、性映射，T rx1 (1 _r)x2 ；=rTx1 (1 _r)Tx2 二 y (1-r)y2对任意0 _ r _ 1，由A是凸集，rx<, (1-r)x2三A，ry1(1 -r)y2 =T rx1(1 -风 T (A)，. T (A)是凸集。1 证明：任取 x1，x2 T -(B)则存在 y2 B,Tx1 = y_Tx2 = y2由 T 是线性映射， T rx1 (1 - r)x2(1 r )Tx2 = ry,，(1-r)y2对任意0 _ r _ 1，由B是凸集，.ry t (1 _ r) y2三B ，1 1.rx1(1 -r)x2 T -(B)，T (B)是凸集。由P29线性算子T是

9、一一的当且仅当 N T二，故只需证N T二当且仅当对 X 中每个线性无关集 E，T(E)是丫中的线性无关集。必要性：由N T =0?，及X的某个线性无关集 E，假如T (E)不是丫中的线性无关集， 则存在E中的线性无关序列：xn ?，:T ( xn)线性相关，即存在不全为零的：:，( )送 OtnTXn =0，由 T 是线性算子，T 瓦 OtnXn 1 =瓦 5TXn =0，因 N (T )=5， nI n丿 n二瓦C(nXn = 0 ,这与Xn 是线性无关序列矛盾，故假设不成立；n充分性，假若N(T) =0,贝U存在x-0,x< N (T),. Tx, =0 ,此时鼻/是 X中线性无关

10、 集，Tx1 1 =0是X中线性相关集，这与X中每个线性无关集的像是 丫中线性无关集矛盾， 故假设不成立，得证。7(1)证明：左 =A B =(A A ) ' (B B )，右二(A B) (A B)任取z左，z=x，y,x A,yB，则有以下几种情况若x三A, y三B，贝U z=x、y三A亠B：_右；若x A , y B ，则A中存在:Xn "攵敛于x , B中存在1收敛于y ,故XnU A B ,且Xn亠y n收敛于xy，故z=x、y三(A亠B)， 右；若xwA；yB，则A中存在；xn /收敛于x，故xn y A B，且xn y收敛于x y ,故 z =x y .二(A

11、B)二右；若x三A, y三B ，证法同上，易得 z = x：卜y三(A：AB)二右综上，左二右得证。(2) CD x0亠A是开集：=A是开集证明：=)任取x三A，则x0 x三x0 A ,由于x0 - A是开集，故存在r . 0, O(x0 - x,r) x0 A，故O(x, r)二A，即A也是开集=)任取x0 x x0 A，则x A，由于A是开集，故存在r . 0,O(x, r)二A ,故O(x0 x,r)二x0 A，即x0 A是开集，得证。或证： x0 - A 是开集 = 任取 x0 x x0 A，存在 r . 0,O(x0 x, r) ：_ x0 A= 任取x A，存在r 0,0 (x,

12、r)二A ：= A是开集C x0亠A是闭集二A是闭集证明：x0 A是闭集二任取点列x0xx0A，且x0xn ；x0 x，则x0 x A二任取点列Xn A，且Xn ； x，则X A = A是闭集证明：不妨设A是开集，由知-厂B,y A也是开集，ABy B(y A)由于任意开集的并集仍然是开集，故A B是开集。证明：；A° _ ,. x A° ,由 x A° , . =Jr 0, O(x, r)二 A由 A-A=x-y|x A, y A , 0(0, r) =O(x, r) - x二 A x二 A - A-0 (A _ A)°，得证。8(1)证明：任一集合

13、A ,若A =,由空集既开且闭，故 A是开集若 A -，则有 -x 三 A, Tr =1,O(x, r)二 x ：_ A , A 是开集由上知任一集合是开集，故A的补集是开集，由 A的补集是开集知 A是闭集综上，任一集合 A既是开集也是闭集。若 Xn X ,Xn X，则 一；0, N ,当 n N 时，d(Xn,X)：；故对 p =1, n°,当 n _ n° 时，d(Xn,x) ： 1,0Xn二 X由 d(Xn, X)=，故 d (Xn , X)= 0, . Xn = XI1Xn-X2 2 2 213证明：由内积空间中具有平行四边形公式x - y Txy 2：. |x亠|

14、 y ，-x, y2 2 2 1/2故 Xn yn = 2 xn' yJ ； | xn ' yn2 1/2再由 |Xn = yn L，Xn y2，故 X. - y. =：4 - X.申n ； 018完备度量空间的每个闭子空间是完备子空间。证明：设X是一个完备度量空间，E是它的任一闭子空间。任取E的一个Cauchy列:x/f, 由E二X , x f也是X的Cauchy列，由X完备，故-lx X , xk r x由E是闭集，故x E , . E完备。度量空间的每个完备子空间是闭子空间。证明：设X是一个度量空间，E是它的任一完备子空间，往证E是闭集。任取E的一个点列xj，且xk &g

15、t; x由于E完备，故x E，二E是闭集。19证明：不妨设仪是X的可数无穷Hamel基，令e-jj-，则en是X的单位可数无 Nn穷Hamel基，令yn1Tek，贝V込n 1是X的Cauchy列(显然易证),52012泛函分析复习资料#2012泛函分析复习资料汇1y ye' X (由Hamel基的定义)，故X不完备。k仝220证明：；A是有界集, zM A 0, Px A,| x 兰 M#2012泛函分析复习资料#2012泛函分析复习资料匸 Z an £°°,几送 an T 0(mT «)n#nzzmQOoOcd迟 anXn<EanII x

16、j <M zanT 0( m T 旳)n Hn zmn0.迟anxn是收敛级数。n 土21(1)X具有Baire性质(2) X中可数多个无处稠密闭集之并其内点是空集(3) X中每个非空开集是第二纲的(4) X中每个第一纲集合的余集在X中稠密注： E在X中稠密若E = XoE在X中无处稠密指若E YE是第一纲集指E可以写成至多可数多个无处稠密集的并。X具有Baire性质指若X中可数多个稠密开集之交仍在X中稠密。 命题：无处稠密闭集的补集是稠密开集。稠密开集的补集是无处稠密闭集。 证明：开集和闭集互为补集是显然的。A是X中的无处稠密闭集o c cA -A_ A _= A。AA。- - X,

17、A® =ACA 是 X 中的稠密开a° =集证明：(1) = (2):设 Bn是X中可数个无处稠密闭集族，则 B：是X中可数个稠密开集族,(Bn)CBC由(1)知它是可数个稠密开集之交,n去n比由Baire性质它在X中稠密,62012泛函分析复习资料#2012泛函分析复习资料 ( Bn)C=X,. ( Bn/'，即(Bnfn 士n 士n 4A不是第二纲集，是第一纲集，则存在(2)= (3)反证法，假设 X中存在一个非空开集中至多可数稠密集 An，A二An，An无处稠密即A：=、，显然An是X的无处稠密闭集，n由知，(An)° - 一 ，. A。=( An)

18、=(Anf V 而由A是非空开集知nnno二=A - A，这与前面的结论矛盾，故假设不成立。(3) = (4)设A是X的任一第一纲集，则由(3) A° =Q,； A = A上，Ac- - X即A的补 集在X中稠密。(4) = 设An是X的可数个稠密开集，则 An =x,； An =A：oC,. A； 7An是开集，.它的补集是闭集， A：二A：,.,即A：是X的无处稠密集，OaOQOA：是X的第一纲集，由 知它的余集在X中稠密，即 An=( A：)c在X中稠密。n去n龄n T证毕。24证明：已知T : X 丫连续二Y中任一闭(开)集的原像是X中的闭(开)集。故只需证Y中任一闭集的原像是 X中的闭集二 每个A X ,T(A) T(A)必要性：=)-A二X ,T(A)是Y中的闭集，故其原像