测度与概率(严士健刘秀芳)第八章答案

1、第1题证明：任取£ > 0,因为刀霊几V 8,所以日no e Z,使得Vn > m, 4 < e.下面证 V n > n0?有U爲 Wn+皿) >ec unJ(A+1,A) > 6k (1).任取 3 Ui</(/+, A) > £,则存在 V > 1,使得 d(/n+v,/n) > £.若" 禺> 4,则 3 e ngum+bAX 几,即 d(fk+iifk) < 4, v >n-则 d(fn+v,fn) < 刀蔦一口(几+1,几)< Er1 < H <

2、; £,得到矛盾. 于是 3 e U£nd(A+i,/fc) > <M，即(1)得证.所以v n > no,M(UlWn+.,/n)>e)< M(U2in(A+l>/fc) 3 <M)oc< K“(d(Zt+l，人)> 4).k=n因为上式右端当71 T OC时，收敛到0.故而“(U髭d(几+u ,九)> £) T 0.因为 /n, n N a.e.相互收敛，则存在 N 6 Q, s.t. “(N) = 0. Vw Nc, /n(W)nN是E中基本列.如果(E,d)完备.则limnToe/n(3)存在，记

3、畑)：= lim“->oo 人(3),则 fn T f a.e.第3题证明:由于X有限，则limTO_ooP(|X|>n) = 0.于是Vs > 0,存在N > 0,S.t.P(|X|M) V£/4.(1)因Xn芳X,则P(C迄1 U忍 |X“-X|>1) V£/4,于是存在 N2 > o, s.t. P(ULN2Xn -X>1)< £/4,所以可得P(U笔N2Xn| > 1 + M)< P(U JV2|Xn| > 1 + M, |X| < M) + PN2Xn > 1 + M, |X|

4、 > NJ< P(u詮mIX“ - X| > 1) + P(X > M) V £/2.对 T- V A- < iV2,存在 W S.t. P(Xk > Mk) < 為.于是，若取 Af(e):= maxM + 1, Mi,Mjv2,则P(SUP|Xn| < Af(e) = P(n xflXnl < M(e)=1 P(U詮i|XS "(£)N2> 1 - 刀卩(氐| > A/(e) - P(ULN2Xn < W) fc=l2 1 -爲 XN2-£/2=l£第5题反例:取 Q

5、= (0,8), T = 3(0,oo), p 为(0,oo)上的Lebesgue 测度. fn(x) = (% + g)2, f(x) = a:2,则 fn(x)->f(x) a.s.取 <5 = 1, V J7, s.t. “(4f) < 1.则“(令)=8所以1 2xsup d(fn(x)J(x) = sup (-2 + ) = oo.x£Asn n习题8.21.如果 X” X,YnY,那么 XnYn 4 XV.证明：因为Xn 4 x和匕厶r,所以x, y儿乎处处有限.于是对于任意 的 7/ > 0,存在 Ml > 0 使得 P(X > A/

6、1) < n 和 P(Y > Ml) < ?/.于是对于任 意的 M2 > Ml, £ > 0,P(XnYn - XY > e)< -K|>|) + P(Xn - X|y| > |)< 纠蠢)+ HIXnl > A/2)+ P(Xn 一 XI击)+ P(|/| > Ml)< P(Yn - Y| > 蟲)+ P(Xn > M2, |X| > Ml) + P(Xn-X> M2 - Ml) +P(|X X|>) + P(Y|>Mi)£ £<2；/ +

7、P(Yn - Y > 班)+ P(Xn -X> M2 - MJ + P(Xn -X|>). 因为Xn 4 X和耳4 y,所以上式两端令72TOO,可得IH兀TOO P(XnYtl-> £)< 2m 由 T)的任意性,可得 limwooPQXn耳 一 XY >£) = 0,即 XnYn 4 XY 得证.习题8.2 2.证叽因为f(x) 一致连续，所以对丁任意的£ > 0,存在8 > 0,使得 对于任意的切，当血一叼| V 6时，|/(xi) - f(x2) V £所以/(“) ->ec |Xn(Q -

8、X(3)| > 6.因为X“ 4 X,所以当“too时，上式右端收敛到0.所以limn_>oo|/(Xrl)- /(X(s)| > £ = 0.即/(Xn(w) 4 f(X). 乂因为f是有界函数，所以由推论 8.2.6 有 Ef(Xn)Ef(X).3.证明:因为XnlX.所以0<Xi-Xnt于是由单调收敛定理lilgTOoE(Xi- Xn) = E(X1 - X),因为 X1 可积，所以 EX 有限，丁是 lininoo E(Xn) = E(X).注：单是对丁本题的结论，条件illfn EXn > -oo多余，当然耍用控制收敛 定理來证明本题的话需耍.

9、§8.3证明HOklcr不等式和Minkowski不等式. 证明H6klcr不等式.+1-p， o >- g p9 o >- 6a V先证HJYounger不等式:ab S芳+罟, 因为f(x) =是凸函数，所以lna+1 lnbIna+ -eb =qab一 + P(l3即得a眾+ 用心取代上面的a,6即得所证. 下面我们来证H61deT不等式.由Younger不等式,EXpp EY两边取期电可得一岂空_r < t Holder不等式得证. EXppEY (2)证明Minkowski不尊r = 1时显然.r > 1 时，EX + Yr < EX + YT

10、-i|X| + EX + 丫厂1厅|< EX + YrEXr7 + EX + YrEYri< EX + Yr(EXr + EYr所以EX + Yri < EXr7 + EYrk习题第2题证明定理8.3.18中(2) => (1).先证明:|a + 6|r <(2r-1Vl)(|ar-F|6|r) (*).当0 V r V 1时，考查函数E + (l_0)r,它在0,1上的最小值在“ = 0,1 处取得，即是xr + (l-x)r>l.用悬代替上而式子中的«,可得(*)当r > 1时，函数xr是凸函数，所以扣+款1-叩> (；a+敖l-a

11、)=(|)r, 用鹅代替上面式子中的a,可得(*).因为 EXr < (2-1 V l(EXn - Xr + EXnr) V oo因为 Xn £ X,即是 E|X“-X| JO,所以对于任意的£>0,存在N > 0,当n> N时,EXn-Xr < e. 于是当当 n > N 时,EXnr < (2-1 V l)(EXn 一 Xr + EXr) < (2-】V 1)(£ + EXr),所以 supnE|X|r <mEXkr: l<k< N,(2rx V + EXr) <因为V ooM =EXr

12、< oo,所以由可积函数的绝对连续性,对于任意的£0,存在<5>0,使得可测集4,只要P(A) < d,就有EXkr. A < £“ = 1,N, E|X|,M v £.当 n>N 时，E|X|r,4 < (21-1 V l)(E|Xn - Xr.A + EXr,A) < (2i V 1)(£ + £).所以 supn EXnr,A < 2(2r1 V 1)£,所 以Xnrn>l积分一致绝对连续，所以由引理8.3.16可得Xnrn>l 一致可积.习题3题目中需再加一条件

13、EXnr < oo, Xfn > 1.由定理8.3.18直接可得.习题5首先存在Xnn>l的子列使得皿_X|因为Un A u, xn A x,所以分別存在见空1和Xg空1的子列U叫心 和X叭“使得当i->oo时,U叭X叭tX a.s.,由习题5.4第2题知,当 loo 时 J |X叫 _X|tO,于是蕊 fXn-X = hm J |Xn,-X| = ,lim / |Xnjbi- X| = o.所以 lim f Xn - X| = 0.习题&5第1题证明：设Fn 5 F,且Fn 5 G.则由淡收敛的定义有凡(h)tF(叭 VewC(F),Fn(x)G(x), xe

14、C(G).丁是由数列极限的唯一性有F(x) = G(x). Va：C(F)nC(G).由单调函数的不 连续点至多可数，可知(C(F)nC(G)c至多可数，丁是对丁任意© 6 (C(F) n C(G)C,存在xnn> e C(F) n C(G),使得xnlx,由分布函数的右连续性知, F(x) = limnooF(xn) = limn-ooG(xn) = G(x).可得 F(x) = G(x)即淡收敛的 极限是唯一的.补充题求证：若Xn号X,则Xn 4 X.证：设Fn, F分别是Xn、X的分布函数.5 G,有X < y = X < Xn < arUX <

15、y, Xn > x C Xn < arU|Xn-X| > x-y,所以 F(y) < Fn(x) + P(Xn -X>x-y).令 n->oo,由 Xn 厶 X,知 F(y) <同理 < z,有Iimn->ooFn(ir) < F(z).若 z C(F),则 limzF F(z) = F(x) = limyF F(y),于是 F(x) < lim,一Fn(x) < limnooJk(x) < F(x).所以 F(x) = limooFn(x)y Px e C(F).又凡(+8)= 1, Fn(-oo)= 0, Vn

16、>1,R F(+oo) = 1, F(-oo) = 0.所以 凡(+oo)tF(+oo), Fn(-oc)->F(-oo). 所以Xn出X.习题&5习题2证明：定义&5.5 =>定义8.5.1:由定义8.5.5知，对于任意的/ e Cb,有 f fdp.n > J fdp,于是对于任意 f Co,有 J* fd/in T f fdfjLy 这样，由定理8.5.4 可知，“淡收敛于“特别地，取/ = 1,则由定义8.5.5知Mn(R) T m(R).于是 可得定义8.5.1的要求满足.定义8.5.1 =>定义8.5.5:役Fn是如的分布函数，F是&q

17、uot;的分布函数，因 为F的不连续点至多可数，所以对丁任意的£>0,存在厶> 0,使得F(-L) <1 - F(L) < £.对于上述的 £>0 因为凡(ZJtF(D, Fn(-L) -> F(-£),所以 存在 N > 0,使得Fu-L) <2£, 1-F(L) < 2° 任取 f e Cb，设 |/| < AA 有I /如-/蚀I< I fdFn +1 fdF +1 fdFn - fdFJ(-oo,-LU(L,oo)7(-oo,-LU(L,oo)7(-L£

18、;< 4仏 + I / fdFn - / fdFJ(-L,LJ(-L,L用定理8.5.4 (1)的证明部分可得当n T x时，上式中最后一部分收敛到0,也就 是说 Iim I J fd/Ln - J fd < 4M£,由 E 的任意性可得 j /血” T f fd/L.习题4证明：设Fq对应的概率测度是如.因为欣是完备可分的，所以由定理 8.5.12知,“相对紧等价丁胎紧.下面我们来证明:仏胎紧的充要条件是 Fa对a 一致收敛.必耍性：因为仏訂胎紧，所以对丁任意£ > 0,存在紧集K使得，对于 任意的a,心(")< £.因为K是R中的紧集，故而有界，所以存在M > 0 使得K C -M,M|. 丁是恋(_M,Mjc)< £.所以对于