自动控制原理 线性系统的数学模型传递函数

1、第第2 2章章 线性系统的数学模型线性系统的数学模型 在下，线性定常系统输出量的拉普拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换之比，定义为线性定常系统的。 即：)()()(sRsCsG若已知线性定常系统的微分方程为： )()()()()()()()(1111011110trbdttdrbdttrdbdttrdbtcadttdcadttcdadttcdammmmmmnnnnnn式中c(t)为输出量，r(t)为输入量 。 ，对上式取拉氏变换，得： )()()()(11101110sRbsbsbsbsCasasasammmmnnnn则系统的传递函数为： nnnnmmmmasasasabsbsbsbsRsCsG1

2、1101110)()()()()()()()(sNsMsRsCsG或写为： 传递函数与输入、输出之间的关系，可用框图表示。 G(s)R(s)C(s) (1)作为一种数学模型，传递函数只适用于线性只适用于线性定常系统定常系统，这是由于传递函数是经拉普拉斯变换导出的，而拉氏变换是一种线性积分运算拉氏变换是一种线性积分运算。 (2)传递函数是以系统本身的参数描述的线性定常系统输入量与输出量的关系式，它表达了系表达了系统内在的固有特性统内在的固有特性，只与系统的结构只与系统的结构、参数有参数有关关，而与输入量或输入函数的形式无关。 (3)传递函数可以是无量纲的，也可以是有量纲的，传递函数可以是无量纲的

3、，也可以是有量纲的，视系统的输入、输出量而定视系统的输入、输出量而定，它包含着联系输入量与输出量所必须的单位，它不能表明系统的物理特不能表明系统的物理特性和物理结构性和物理结构。(4)传递函数只表示单输入和单输出传递函数只表示单输入和单输出(SISO)之间的关之间的关系，对多输入多输出系，对多输入多输出(MIMO)系统，可用传递函数系统，可用传递函数阵表示阵表示。 (5)传递函数分母多项式的阶次传递函数分母多项式的阶次大于或等于分子大于或等于分子多项式的阶次，即多项式的阶次，即nm。这是由于实际这是由于实际所造成的。系数为实数。所造成的。系数为实数。 7/47(6)传递函数与微分方程有相通性。

4、把微分方程中的 用s代替就可以得到对应的传递函数。dtd(7)传递函数G(s)的拉氏反变换是脉冲响应g(t)。(8)传递函数分母多项式称为特征多项式，记为而D(s)=0称为。nnnnasasasasD1110)(9)传递函数式可表示成 )()()()()(2121nmpspspszszszsKgsG式中p1，p2pn为分母多项式的根，称为传递函数的；z1、z2、 zn为分子多项式的根，称为传递函数的； Kg称为传递系传递系数或增益数或增益。9/47某系统的传递函数为： )2)(1() 3(6)()()(ssssRsCsG有两个极点和一个零点：p1=-1, p2=-2, z1=-3有两个模态：e

5、-t和e-2t在输入信号为 时，系统的零初始条件响应为： terrtr521)(ttterrerrerrsGsRLtc521125211)23()123(9)()()( 控制系统由许多元件组合而成，这些元件的物理结构和作用原理是多种多样的，但抛开具体结构和物理特点，从传递函数的数学模型来看，可以划分成几种典型环节，常用的典型环节有、等。 环节输出量与输入量成正比，不失真也无时间滞后的环节称为，也称。输入量与输出量之间的表达式为：c(t)=Kr(t) 比例环节的传递函数为： KsRsCsG)()()(式中K为常数，称为比例环节的放大系数或增益。 2. 惯性环节惯性环节(非周期环节非周期环节) 惯

6、性环节的动态方程是一个一阶微分方程： )()()(tKrtcdttdcT其传递函数为： 1)()()(TsKsRsCsG式中 T 惯性环节的时间常数 K 惯性环节的增益或放大系数 当输入为单位阶跃函数时，其单位阶跃响应为： )1 (11)()(11TteKsTsKLsCLtc单位阶跃响应曲线 11/11)()()(TsKRsLRRLssUsIsG 惯性环节实例很多，如图所示的R-L网络，输入为电压u，输出为电感电流i，其传递函数式中 RLT RK13. 积分环节积分环节 输出量正比于输入量的积分的环节称为积分环节，其动态特性方程： dttrTtcti0)(1)(其传递函数： sTsRsCsGi

7、1)()()(式中Ti为积分时间常数为积分时间常数。 积分环节的单位阶跃响应为： tTtCi1)(它随时间直线增长，当输入突然消失，积分停止，输出维持不变，故积分环节具有记忆功能，如图所示。 上图为运算放大器构成的积分环节，输入ui(t)，输出u0(t)，其传递函数为 sTRCssUsUsGii11)()()(0式中Ti = RC 4. 微分环节微分环节 理想微分环节的特征输出量正比于输入量的微分，其动态方程 dttdrTtcd)()(其传递函数 sTsRsCsGd)()()(式中 它的单位阶跃响应曲线 )()(tTtcd如图所示，理想微分环节实际上难以实现，因此我们常采用带有惯性的微分环节，

8、其传递函数 1)(sTsKTsGdd其单位阶跃响应为 dTtKetc)( 曲线如下图所示，实际微分环节的阶跃响应是按指数规律下降，若K值很大而Td值很小时，实际微分环节就愈接近于理想微分环节。 5. 二阶振荡环节二阶振荡环节(二阶惯性环节二阶惯性环节) 二阶振荡环节的动态方程为 ：)()()(2)(222tKrtcdttdcTdttcdT其传递函数： 12)()()(22TssTKsRsCsG2222)(nnnssKsG式中 为无阻尼自然振荡角频率，为无阻尼自然振荡角频率，为阻尼比为阻尼比。 Tn1 图中所示为RLC网络，输入为ui(t)、输出u0(t)，其动态特性方程： )()()()(00

9、202tutudttduRCdttudLCi其传递函数： 222022 11)()()(nninssRCsLCstUtUsG式中 LCn1LCR26. 延迟环节延迟环节(时滞环节时滞环节) 延迟环节是输入信号加入后，输出信号要延迟一段时间后才重现输入信号，其动态方程为： )()(trtc其传递函数是一个超越函数超越函数： sesRsCsG)()()(式中称纯延迟时间称纯延迟时间。 需要指出，在实际生产中，有很多场合是存在迟延的，比如皮带或管道输送过程、管道反应和管道混合过程，多个设备串联以及测量装置系统等。迟延过大往往会使控制效果恶化，甚至使系统失去稳定。 在控制工程中，为了便于对系统进行分析

10、和设计，常将各元件在系统中的功能及各部分之间的联系用图形来表示，即和。 方框图方框图也称方块图方块图或结构图结构图，具有形象和直观的特点。是系统中各元件功能和信号流向的图解，它清楚地表明了系统中各个环节间的相互关系。构成方框图的基本符号有四种，即、。 2.4.22.4.2系统方框图的绘制系统方框图的绘制 对于一个系统在清楚系统工作原理及信号传递情况下，可按方框图的基本连接形式，把各个环节的方框图，连接成系统方框图。 例2-5 图中为一无源RC网络。选取变量如图所示，根据电路定律，写出其微分方程组为 dttiCtudttiCtutititiRtututiRtututi)(1)()(1)()()(

11、)()()()()()()(22231021322021011)(1)()(1)()()()()()()()()()(22231021322021011sIsCsUsIsCsUsIsIsIRsUsUsIRsUsUsI零初始条件取拉氏变换 RC网络方框图 各环节方框图 例2-6 图中为电枢电压控制的直流他励电动机,描述其运动方程为 LDaMDeaaaaaaadtdJtictctetetiRdttdiLtuMMM)()()()()()()(零初始条件下，对式中两边取拉氏变换 )()()()()()()()()()()(ssJssscsscssEsIsLRsULDaMDeaaaaaaMMIME 将同

12、一变量的信号线连接起来，将输入Ua(s)放在左端，输出(s)放在图形右端，得系统方框图如图所示。 2.4.3 2.4.3 环节间的连接环节间的连接 环节的连接有环节的连接有串联串联、并联并联和和反馈反馈三种基本形式三种基本形式。 （1）串联）串联 :在单向的信号传递中，若前一个环节的输出就是后一个环节的输入，并依次串接如图2-32所示，这种联接方式称为串联串联。 n个环节串联后总的传递函数 :)()()( )()()()()()()()()(211121sGsGsGsXsCsXsXsRsXsRsCsGnn环节串联后总的传递函数等于串联的各个环节传递函数的乘积。 环节的串联RC网络（2）并联并联

13、 :若各个环节接受同一输入信号而输出信号又汇合在一点时，称为并联。如图2-34所示。由图可知 )()()()(21sCsCsCsCn)()()( )()()()()()(2211sRsGsCsRsGsCsRsGsCnn总的传递函数为 )()()( )()()()()()()(2121sGsGsGsRsCsCsCsRsCsGnn环节的并联：若将系统或环节的输出信号反馈到输入端，与输入信号相比较，就构成了反馈连接，如图所示。如果反馈信号与给定信号极性相反，则称连接。反之，则为正反馈连接，若反馈环节H(s)=1称为。 反馈连接 反馈连接后，信号的传递形成了闭合回路。通常把由信号输入点到信号输出点的通

14、道称为前向通道前向通道；把输出信号反馈到输入点的通道称为反馈通道反馈通道。 对于负反馈连接，给定信号r(t)和反馈信号b(t)之差，称为偏差信号偏差信号e(t) 即: )()()()()()(sBsRsEtbtrte通常将反馈信号B(s)与误差信号E(s)之比，定义为，即: 开环传递函数= )()()()(sHsGsEsB输出信号C(s)与偏差信号E(s)之比，称为前向通前向通道传递函数道传递函数，即 前向通道传递函数 = )()()(sGsEsC而系统输出信号C(s)与输入信号R(s)之比称为闭闭环传递函数环传递函数，记为(s)或GB(s)。 )()()()()()()()()(sCsHsR

15、sBsRsEsEsGsC得闭环传递函数为： )()(1)()()()(sHsGsGsRsCs对于负反馈连接，闭环传递函数为： )()(1)()()()(sHsGsGsRsCs对于正反馈连接，则闭环传递函数为： )()(1)()()()(sHsGsGsRsCs 除了前面介绍的串联串联、并联并联和反馈连接反馈连接可以简化为一个等效环节外，还有信号引出点信号引出点及比较比较点前后移动点前后移动的规则。 有了系统的方框图以后，为了对系统进行进一步的分析研究，需要对方框图作一定的变换，以便求出系统的闭环传递函数。所谓，即对方框图的任一部分进行变换时，变换前、后输入输出总的数学关系式应保持不变。例例2-7化简图(a)所示系统方框图，并求系统传递函数 )()()(sRsCsG)()(