排列、组合、二项式定理_5

1、排列、组合、二项式定理排列、组合、二项式定理 -基本原理排列、组合、二项式定理 - 基 本原理第一步从 a 村到 b 村有 3 种走法 ,第二步从 b 村到 c 村有 2 种 走法 ,共有 n=3 2=6 种不同走法 .题2 中的合数是 4,6,8,9,10 这五个,其中 6 既含有因数 2,也含有 因数 3;10 既含有因数 2,也含有因数 5.题中的分析是错误的 .从 a 村到 c 村总时数不超过 12 时的走法共有 5 种 .题 2 中从 a 村走北路到 b 村后再到 c 村 ,只有南路这一种走法 .（此时给出题 1和题 2的目的是为了引导学生找出应用两个基本 原理的注重事项 ,这样安排

2、 ,不但可以使学生对两个基本原理的理解更 深刻 ,而且还可以培养学生的学习能力 ）进行分类时 ,要求各类办法彼此之间是相互排斥的 ,不论哪一类 办法中的哪一种方法 ,都能单独完成这件事 .只有满足这个条件 ,才能 直接用加法原理 ,否则不可以 .假如完成一件事需要分成几个步骤 ,各步骤都不可缺少 ,需要依 次完成所有步骤才能完成这件事 ,而各步要求相互独立 ,即相对于前一 步的每一种方法 ,下一步都有 m 种不同的方法 ,那么计算完成这件事 的方法数时 ,就可以直接应用乘法原理 .也就是说 :类类互斥 ,步步独立 .(在学生对问题的分析不是很清楚时 ,教师及时地归纳小结 ,能使 学生在应用两个

3、基本原理时 ,思路进一步清楚和明确 ,不再简单地认为 什么样的分类都可以直接用加法 ,只要分步而不管是否相互联系就用 乘法 .从而深入理解两个基本原理中分类、分步的真正含义和实质 )(三)应用举例现在我们已经有了两个基本原理 ,我们可以用它们来解决一些 简单问题了 .例 1 书架上放有 3 本不同的数学书 ,5 本不同的语文书 ,6 本不同 的英语书.(1) 若从这些书中任取一本 ,有多少种不同的取法 ?(2) 若从这些书中 ,取数学书、语文书、英语书各一本 ,有多少种 不同的取法 ?(3) 若从这些书中取不同的科目的书两本 ,有多少种不同的取法 ?(让学生思考 ,要求依据两个基本原理写出这

4、3 个问题的答案及 理由 ,教师巡视指导 ,并适时口述解法 )(1) 从书架上任取一本书 ,可以有 3 类办法 :第一类办法是从 3 本 不同数学书中任取 1本,有3种方法;第二类办法是从 5 本不同的语文 书中任取 1 本,有5种方法;第三类办法是从 6 本不同的英语书中任取 一本,有 6 种方法 .根据加法原理 ,得到的取法种数是n=m1+m2+m3=3+5+6=14. 故从书架上任取一本书的不同取法有 14 种 .(2) 从书架上任取数学书、 语文书、英语书各 1 本,需要分成三个 步骤完成,第一步取 1本数学书,有3种方法;第二步取 1本语文书 ,有5 种方法;第三步取 1本英语书,有6种方法.根据乘法原理 ,得到不同的取 法种数是 n=m1 m2 m3=3 56=90. 故,从书架上取数学书、 语文 书、英语书各 1 本 ,有 90 种不同的方法 .(3) 从书架上任取不同科目的书两本 ,可以有 3 类办法 :第一类办 法是数学书、语文书各取 1 本,需要分两个步骤 ,有 35 种方法 ;第二 类办法是数学书、英语书各取 1 本,需要分两个步骤 ,有 36 种方法 ; 第三类办法是语文书、 英语书各取 1