【课件】6.2.1向量的加法运算高一下学期人教A版2019必修第二册课件

1、6.2平面向量的运算6.2.1向量的加法运算必备知识必备知识自主学习自主学习1.1.向量加法的定义向量加法的定义求求_的运算的运算, ,叫做向量的加法叫做向量的加法. .导思导思1.1.向量加法的定义是什么向量加法的定义是什么? ?2.2.向量加法的运算法则有哪些向量加法的运算法则有哪些? ?两个向量和两个向量和2.2.求向量和的方法求向量和的方法(1)(1)三角形法则与平行四边形法则三角形法则与平行四边形法则(2)(2)本质本质: :向量加法运算结果仍是向量向量加法运算结果仍是向量, ,此向量的方向和大小可以此向量的方向和大小可以用三角形法则和平行四边形法则作出用三角形法则和平行四边形法则作

2、出. .三角形法则的物理模型是三角形法则的物理模型是位移的合成位移的合成. .平行四边形法则的物理模型是力的合成平行四边形法则的物理模型是力的合成. .(3)(3)应用应用: :两个非零向量的和两个非零向量的和; ;为学习向量的其他运算奠定基为学习向量的其他运算奠定基础础. .【思考】【思考】向量加法的三角形法则和平行四边形法则的使用条件有什么不同向量加法的三角形法则和平行四边形法则的使用条件有什么不同? ?两者有何联系两者有何联系? ?提示提示: :(1)(1)三角形法则适用于任意两个非零向量求和三角形法则适用于任意两个非零向量求和, ,平行四边形法平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和

3、则只适用于两个不共线的向量求和. .(2)(2)当两个向量不共线时当两个向量不共线时, ,两个法则是一致的两个法则是一致的. .如图所示如图所示, (, (平行四边形法则平行四边形法则),),又因为又因为 所以所以 ( (三角形法则三角形法则).).ACABAD BCAD ，ACABBC 3.|3.|a+ +b|,|,|a|,|,|b| |之间的关系之间的关系一般地一般地, ,我们有我们有| |a+ +b|_,|_,当且仅当当且仅当a, ,b_时等号成立时等号成立. .4.4.向量加法的运算律向量加法的运算律交换律交换律结合律结合律a+ +b=_=_( (a+ +b)+)+c=_=_| |a|

4、+|+|b| |方向相同方向相同b+ +aa+(+(b+ +c) )【基础小测】【基础小测】1.1.辨析记忆辨析记忆( (对的打对的打“”,”,错的打错的打“”)”)(1)(1)存在向量存在向量a, ,b, ,使得使得a+ +b是一个实数是一个实数. .( () )(2)(2)在平行四边形在平行四边形ABCDABCD中中, (, () )(3) (3) ( () )(4)(4)a+(+(b+ +c)=)=c+(+(a+ +b).).( () )BABCBD ABBDDCAC. 提示提示: :(1)(1). .两个向量的和仍是一个向量两个向量的和仍是一个向量. .(2).(2).由向量加法的平行

5、四边形法则可知由向量加法的平行四边形法则可知. .(3). (3). (4).(4).由向量加法的交换律、结合律知由向量加法的交换律、结合律知, ,a+(+(b+ +c)=()=(a+ +b)+)+c= =c+(+(a+ +b).).ABBDDC ADDC AC. 2.2.下列各式不一定成立的是下列各式不一定成立的是( () ) A.A.a+ +b= =b+ +aB.B.0+ +a= =aC. C. D.|D.|a+ +b|=|=|a|+|+|b| |【解析解析】A A成立成立, ,为向量加法交换律为向量加法交换律;B;B成立成立, ,这是规定这是规定;C;C成立成立, ,即三角形法则即三角形

6、法则;D;D不不一定成立一定成立, ,只有只有a, ,b同向或有一者为零向量时同向或有一者为零向量时, ,才有才有| |a+ +b|=|=|a|+|+|b|.|.ACCBAB D D3.(3.(习题改编习题改编) )若若a表示表示“向东走向东走8 km”,8 km”,b表示表示“向北走向北走8 km”,8 km”,则则| |a+ +b|=|=, ,a+ +b的方向是的方向是.【解析】【解析】如图所示如图所示, ,作作 = =a, =, =b, ,则则a+ +b= = 所以所以| |a+ +b|=| |=| | 因为因为AOB=45AOB=45, ,所以所以a+ +b的方向是东北方向的方向是东北

7、方向. .答案答案: :8 km8 km东北方向东北方向OAAB OAABOB. OB 22888 2 km（），2关键能力关键能力合作学习合作学习类型一三角形法则与平行四边形法则的应用类型一三角形法则与平行四边形法则的应用( (直观想象直观想象) ) 例例1 1. .下列等式错误的是下列等式错误的是 ( () )A.ABBCACB.ABBAC.CAACMNNPPMD.ABCDDADCDB 在中，00A A2.2.如图所示的方格纸中有定点如图所示的方格纸中有定点O,P,Q,E,F,G,H,O,P,Q,E,F,G,H,则则 = (= () )OPOQ A.OHB.OGC.FOD.EO 3.3.如

8、图如图, ,已知向量已知向量a, ,b. . (1)(1)用平行四边形法则作出向量用平行四边形法则作出向量a+ +b; ;(2)(2)用三角形法则作出向量用三角形法则作出向量a+ +b. .【解析】【解析】1.1.选选A.A.由向量加法可知由向量加法可知 2.2.选选C.C.设设a= ,= ,利用平行四边形法则作出向量利用平行四边形法则作出向量 再平移即发现再平移即发现a= = ABBCACACAC. OPOQ OPOQ ，FO. 3.(1)3.(1)如图如图, ,在平面内任取一点在平面内任取一点O,O,作作 = =a, =, =b, ,以以OA,OBOA,OB为邻边作为邻边作 OACB,OA

9、CB,连接连接OC,OC,则则 = =a+ +b. .(2)(2)如图如图, ,在平面内任取一点在平面内任取一点O,O,作作 = =a, =, =b, ,连接连接OE,OE,则则 = =a+ +b. .OAOB OCOAOB O D DE O E【解题策略】【解题策略】1.1.应用三角形法则应注意的问题应用三角形法则应注意的问题使用三角形法则求两个向量的和时使用三角形法则求两个向量的和时, ,应注意应注意“首尾相连首尾相连, ,起点指终点起点指终点”, ,即即首尾相连的两个向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第二个向首尾相连的两个向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点量的

10、终点. .2.2.应用平行四边形法则应注意的问题应用平行四边形法则应注意的问题(1)(1)平行四边形法则只适用于求不共线的两个向量的和平行四边形法则只适用于求不共线的两个向量的和. .(2)(2)基本步骤可简述为基本步骤可简述为: :共起点共起点, ,两向量所在线段为邻边作平行四边形两向量所在线段为邻边作平行四边形, ,找找共起点的对角线对应的向量共起点的对角线对应的向量. .【变式训练】【变式训练】1.1.在矩形在矩形ABCDABCD中中,| |=4,| |=2,| |=4,| |=2,则向量则向量 的长度等于的长度等于 ( ( ) )A.2 A.2 B.4 B.4 C.12C.12D.6D

11、.6【解析】【解析】因为因为 所以所以 的长度为的长度为 的模的的模的2 2倍倍, ,即为即为4 .4 .AB BC ABADAC ABADAC ，ABADAC AC 555B B2.2.如图如图, ,已知已知 ABCD,OABCD,O是两条对角线的交点是两条对角线的交点,E,E是是CDCD的一个三等分点的一个三等分点, ,求作求作: : 1 AOAC2 DEBA. （ ）；（ ）【解析】【解析】(1)(1)延长延长AC,AC,在延长线上截取在延长线上截取CF=AO,CF=AO,则向量则向量 即为所求即为所求. .(2)(2)在在ABAB上取点上取点G,G,使使AG= AB,AG= AB,则向

12、量则向量 即为所求即为所求. .AF 13BG 【拓展延伸】【拓展延伸】向量加法的多边形法则向量加法的多边形法则向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则, ,即把每即把每个向量平移个向量平移, ,使这些向量首尾相连使这些向量首尾相连, ,则由第一个向量的起点指向最后一个则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量就是这些向量的和向量向量终点的向量就是这些向量的和向量. .122334n 1n1n1223n 1nn1A AA AA AAAA A .A AA AAAA A. 即：或0这是一个极其简单却非常有用的结论这是一个极其简

13、单却非常有用的结论( (如图如图).). 利用向量加法的多边形法则化简多个向量的和有时非常有效利用向量加法的多边形法则化简多个向量的和有时非常有效. .【拓展训练】【拓展训练】已知已知 = =a , =, =b, =, =c, =, =d, =, =e, ,则则a+ +b+ +c+ +d= =.【解析】【解析】a+ +b+ +c+ +d= = AB BC CD DE AE ABBCCDDEAE. ee【变式训练】【变式训练】如图如图, ,已知三个向量已知三个向量a, ,b, ,c, ,试用三角形法则和平行四边形试用三角形法则和平行四边形法则分别作向量法则分别作向量a+ +b+ +c. .【解析

14、】【解析】利用三角形法则作利用三角形法则作a+ +b+ +c, ,如图如图所示所示, ,作作 = =a, ,以以A A为起点为起点, ,作作 = =b, ,再以再以B B为起点为起点, ,作作 = =c, ,则则 = =a+ +b+ +c. .利用平行四边形法则作利用平行四边形法则作a+ +b+ +c, ,如图如图所示所示, ,作作 = =a, =, =b, =, =c, ,以以 为邻边作为邻边作 OADB,OADB,则则 = =a+ +b, ,再以再以 为邻边作为邻边作 ODEC,ODEC,则则 = =a+ +b+ +c. .OAAB BC OCOBBCOAABBC OAOB OC OA O

15、B ，OD OD OC ，OEODOC 类型二向量加法的性质和运算律的应用类型二向量加法的性质和运算律的应用( (数学运算数学运算) )【例【例2 2】1.1.设设| |a|=8,|=8,|b|=12,|=12,则则| |a+ +b| |的最大值与最小值分别为的最大值与最小值分别为、.2.2.化简化简: :【思路导引】【思路导引】1.1.利用向量加法的几何意义利用向量加法的几何意义, ,及及| |a+ +b|a|+|+|b| |解答解答. .2.2.综合利用向量加法的运算律和三角形法则解答综合利用向量加法的运算律和三角形法则解答. .1 DB CD BC2 AB DF CD BC FA. （）

16、；（ ）【解析】1.当a,b共线同向时,|a+b|=|a|+|b|=8+12=20,当a,b共线反向时,|a+b|=|a|-|b|=4.当a,b不共线时,|a|-|b|a+b|a|+|b|,即4|a+b|20,综上知,4|a+b|20,所以最大值为20,最小值为4.答案:2042.1 DB CD BCBC CD DBBC CDDBBD DB.2 AB DF CD BC FAAB BC CD DF FAAC CD DF FAAD DF （ ）（）（ ）0FAAF FA. 0【解题策略】【解题策略】1.1.向量向量a+ +b与非零向量与非零向量a, ,b的模及方向的联系的模及方向的联系(1)(1)

17、当向量当向量a与与b不共线时不共线时, ,向量向量a+ +b的方向与的方向与a, ,b都不相同都不相同, ,且且| |a+ +b|b| |时时, ,则则a+ +b的方向与的方向与a相同相同, ,且且| |a+ +b|=|=|a|-|-|b|;|;若若| |a|=|=|b| |时时, ,则则a+ +b= =0; ;若若| |a|b| |时时, ,则则a+ +b的方向与的方向与b相同相同, ,且且| |a+ +b|=|=|b|-|-|a|.|.2.2.向量加法运算律的意义和应用原则向量加法运算律的意义和应用原则(1)(1)意义意义: :向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据向量加法的运算律为向

18、量加法提供了变形的依据, ,实现恰当利实现恰当利用向量加法法则运算的目的用向量加法法则运算的目的. .实际上实际上, ,由于向量的加法满足交换律和结由于向量的加法满足交换律和结合律合律, ,故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行. .(2)(2)应用原则应用原则: :利用代数方法通过向量加法的交换律利用代数方法通过向量加法的交换律, ,使各向量使各向量“首尾相首尾相连连”, ,通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序. .【跟踪训练】【跟踪训练】设设E E是平行四边形是平行四边形ABC

19、DABCD外一点外一点, ,如图所示如图所示, ,化简下列各式化简下列各式: :(1) =(1) =;(2) =(2) =;(3) =(3) =;(4) =(4) =.答案答案: : DEEA BEABEA DECBEC BADBECAE 1 DA23 DB 4 DC （ ）（ ） （ ） （ ）0【变式训练】【变式训练】在平行四边形在平行四边形ABCDABCD中中( (如图如图),),对角线对角线AC,BDAC,BD交于点交于点O,O,则则 = =. = =. = =. = =.ADAB CDACDO ABADCD ACBADA 【解析】【解析】答案答案: : 0ADABAC. CDACDO

20、COACAO.ABADCDACCDAD.ACBADADAACBADCBAABBA. 0AC AO AD 类型三向量加法的应用类型三向量加法的应用( (逻辑推理、直观想象逻辑推理、直观想象) )角度角度1 1与平面几何知识综合应用与平面几何知识综合应用【例【例3 3】已知四边形已知四边形ABCDABCD的对角线的对角线ACAC与与BDBD相交于点相交于点O,O,且且 求证求证: :四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形. .【思路导引】【思路导引】利用向量加法结合题目条件推证利用向量加法结合题目条件推证 AOOC DOOB. ，ABDC. 【证明】【证明】如图如图, , 又因为又因

21、为 所以所以 . .所以所以AB=DCAB=DC且且ABDC.ABDC.所以四边形所以四边形ABCDABCD为平行四边形为平行四边形. .ABAOOBDCDOOC ，AOOCOBDO ，ABDC 【变式探究】【变式探究】若将本例改为若将本例改为: :四边形四边形ABCDABCD中中, , ,且且 求证四边形求证四边形ABCDABCD为矩形为矩形. .ABDC |BCBA| |BCAB| ，【证明】【证明】因为四边形因为四边形ABCDABCD中中, , 所以四边形所以四边形ABCDABCD为平行四边形为平行四边形, ,如图如图. .所以所以 因为因为 所以所以 , ,即平行四边形对角线相等即平行

22、四边形对角线相等, ,故四边形故四边形ABCDABCD为矩形为矩形. .ABDC ，BCBABD, BCABABBCAC ，|BCBA| |BCAB| ，|BD| |AC| 角度角度2 2与物理知识综合应用与物理知识综合应用【例【例4 4】一艘船以一艘船以5 km/h5 km/h的速度向垂直于对岸方向行驶的速度向垂直于对岸方向行驶, ,航船实际航行航船实际航行方向与水流方向成方向与水流方向成3030角角, ,求水流速度和船实际速度求水流速度和船实际速度. .【思路导引】【思路导引】画出示意图画出示意图, ,根据向量加法的几何意义分析水流速度、根据向量加法的几何意义分析水流速度、船垂直于对岸的方

23、向行驶的速度和船实际航行的速度之间的关系船垂直于对岸的方向行驶的速度和船实际航行的速度之间的关系, ,解解直角三角形求有关线段和角的大小直角三角形求有关线段和角的大小. .【解析】【解析】如图所示如图所示, , 表示水流速度表示水流速度, , 表示船垂直于对岸的方向行驶的速表示船垂直于对岸的方向行驶的速度度, , 表示船实际航行的速度表示船实际航行的速度,AOC=30,AOC=30,| |=5.,| |=5. 因为四边形因为四边形OACBOACB为矩形为矩形, ,所以所以| |= =5 ,| |= =10.| |= =5 ,| |= =10.所以水流速度大小为所以水流速度大小为5 km/h,5

24、 km/h,船实际速度为船实际速度为10 km/h.10 km/h.OAOB OC OB OC OA33|AC|tan 30 |OB|sin 30 【解题策略】【解题策略】1.1.利用向量解决几何问题的方法利用向量解决几何问题的方法用向量法证明几何问题的关键是把几何中的线段转化为向量用向量法证明几何问题的关键是把几何中的线段转化为向量, ,通过向量通过向量的运算得到结论的运算得到结论, ,然后把向量问题还原为几何问题然后把向量问题还原为几何问题. .2.2.利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤【题组训练】【题组训练】1.1.已知点已知点G G是是ABCA

25、BC的重心的重心, ,则则 = =.【解析】【解析】如图所示如图所示, ,连接连接AGAG并延长交并延长交BCBC于于E E点点, ,点点E E为为BCBC的中点的中点, ,延长延长AEAE到到D D点点, ,使使GE=ED,GE=ED,则则 = =0, ,所以所以 = =0. .GAGBGC GBGCGD GDGA ，GAGBGC 0 02.2.一架直升飞机从一架直升飞机从A A地沿北偏东地沿北偏东6060方向飞行了方向飞行了40 km40 km到到B B地地, ,再由再由B B地沿正北方向飞行地沿正北方向飞行40 km40 km到达到达C C地地, ,求此时直升飞机与求此时直升飞机与A A

26、地的相对位置地的相对位置. .【解析】【解析】如图所示如图所示, , 设设 分别是直升飞机两次位移分别是直升飞机两次位移, ,则则 表示两次位移的合位移表示两次位移的合位移, ,即即 在在RtRtABDABD中中,| |=20 km,| |=20 km,| |=20 km,| |=20 km,在在RtRtACDACD中中,| |= (km),CAD=60,| |= (km),CAD=60, ,即此时直即此时直升升飞机位于飞机位于A A地北偏东地北偏东3030, ,且距离且距离A A地地40 km40 km处处. .ABBC ，ACABBC. DB AD 3AC AC 22|AD|DC|40 3

27、 3【变式训练】【变式训练】如图所示如图所示,P,Q,P,Q是是ABCABC的边的边BCBC上两点上两点, ,且且 = =0. .求证求证: : BPCQ APAQABAC. 【证明】【证明】因为因为 所以所以 又因为又因为 = =0, ,所以所以 APABBP ，AQACCQ ，APAQABACBPCQ. BPCQ APAQABAC. 向量的加法向量的加法运算运算1.向量加法的概念. 2.三角形法则和平行四边形法则.3.交换律和结合律.1.三角形法则:两向量“首尾相接”第一个向量的起点为起点，第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和2.平行四边形法则:两个向量共起点,作平行四边形, 与

28、两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和.1.向量的三角形法则：首尾相接，连首尾.2.平行四边形法则:同一起点,对角线.1.数学抽象：向量加法概念.2.逻辑推理：利用向量加法证明几何问题.3.直观想象：向量加法运算.4.数学建模：从实际问题抽象出数学模型，运用向量加法 解决实际问题.方法总结方法总结核心知识核心知识易错提醒易错提醒核心素养核心素养课堂检测课堂检测素养达标素养达标1.1.若若C C是线段是线段ABAB的中点的中点, ,则则 等于等于( () ) A. A. B. B. C.C.0D.D.以上均不正确以上均不正确【解析】【解析】选选C. C. 模相等而方向相反模相等而方向相反, ,因此因此 = =0. .ACBC AB BA ACBC 与ACBC