深圳市南山区2013届高三上学期期末考试数学试题(理科)

1、深圳市南山区2013届高二下学期期末考试(理科) 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分1、已知全集U=xN*|x<6，A=1，3，B=3，5，则U(AB)等于 A. 1，4 B. 1，5 C.2，4 D.2，5第3题图主视图左视图俯视图2、设命题：函数的最小正周期为；命题：函数是偶函数则下列判断正确的是A为真B为真 C为真D为真3、如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，第4题图2-2yOAB1那么这个几何体的全面积为A.4 B. 2C.3 D. 4、如右图所示为函数f(x)=2sin(x+)(>0，)的部分图像，其中A，

2、B开 始S=1，i=1i<输出S结 束是否S=S+2ii=i+1第5题图两点之间的距离为5，那么f(1)=A.2 B. C. D.25、阅读右侧程序框图，为使输出的数据为31，则处应填写的数字为A.5 B.4 C.6 D.76、点P(2，1)为圆(x1)2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为A. x+y1=0 B. 2x+y3=0 C.2xy5=0 D. xy3=0 7、将一枚骰子抛掷两次，所得向上点数分别为m和m，则函数在1，+)上为增函数的概率是A. B. C. D.8、定义运算，则为A.奇函数 B.偶函数 C.常函数 D.非奇非偶函数二、填空题：9、经过圆的圆心且与直线平

3、行的直线方程是 . 10、已知等差数列an的公差d0，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是 . 11、已知双曲线 (a>0，b>0)的一条渐近线方程为x+2y=0，则离心率e的值为_.12、已知函数f(x)、g(x)分别有下表给出：x123 f(x)133 x123g(x)321则fg(1)的值为 ；满足的fg(x)>gf(x)的值是_. 13、若实数x，y满足约束条件，且x0，则xy的最大值是_.14、如图2，平行四边形中，是的中点，是的中点，若，则_. 15、若直线与曲线相切，则常数_.三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明或演算步

4、骤.16、(本小题满分12分)已知函数，a为常数，aR，且是方程f(x)=0的解.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)当x0，求函数f(x)的值域.17、(本小题满分12分)已知向量，函数求函数在区间上的最大值；若的角、所对的边分别为、，求的值.18、(本小题满分14分)如图，已知四棱柱P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB/CD，ABC=450，DC=1，A B=2，PA平面ABCD，PA=1.(1) 求证：AB/平面PCD； (2)求证：BC平面PAC； ABCDP(3)求二面角A-PC-D的平面角的正弦值.19、(本小题满分14分)设函数(x>0且x1).(1)若f(x0

5、)=0，求x0的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)已知对任意x(0，1)成立，求实数x的取值范围.20、(本小题满分14分)已知椭圆C： (a>b>0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求AOB面积的最大值.21、1.某班几位同学组成研究性学习小组，从25，55岁的人群随机抽取人进行了一次日常生活中是否具有环保意识的调查若生活习惯具有较强环保意识的称为“环保族”，否则称为“非环保族”。得到如下统计表：组数分组环保族人数占本组的频率本组占样本的频率第一组25，30)1200.60.

6、2第二组30，35)195第三组35，40) 1000.50.2第四组40，45)0.40.15第五组45，50)300.30.1第六组50，55)150.30.05求、的值；从年龄段在40，50)的“环保族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外环保活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在 40，45)的概率.2. 已知数列中，（）求证：数列为等差数列；设（），数列的前项和为，求满足的最小正整数3 已知函数，其中若是的极值点，求的值；若，恒成立，求的取值范围深圳南山数学(理)参考答案及评分标准 2013.01.16一、选择题：(10×5=50)题 号12345678答

7、 案BDDCC DDA1、解：U=xN*|x<6=1，2，3，4，5，若A=1，3，B=3，5，则AB=1，3，5，所以U(AB)= 2，4，故选择B.2、解：复数，故选择A.3、解：一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体是底面直径为1，高为1的圆柱，其全面积为，第4题图2-2xyOAB1C故选择D.4、解：如右图所示为函数f(x)=2sin(x+)(>0，)的部分图像，其中|AB|=5，|AC|=4，则|BC|=3，所以A(1，2)，f(x)的最小正周期为6，则，所以，开 始S=1，i=1i<输出S结 束是否S=S+2i

8、i=i+1第5题图把点A(1，2)代入上式，得，()，所以，那么，故选择C.5、解：阅读右侧程序框图，S=1，i=1S=3，i=2S=7，i=3S=15，i=4S=31，i=5.为使输出的数据为31，则处应填写的数字为5，故选择C.6、解：由题意知，点P (2，1)，圆心C(1，0)，则kPC=1，所以kAB=1，故直线AB的方程为y(1)=1×(x2)，即xy3=0，故选择C.7、解：函数，则y=2mx2n，而函数在1，+)上为增函数，等价于在1，+)上y=2mx2n0恒成立，等价于2mn(1m，n6，m，nN*).将一枚骰子抛掷两次，所有事件的基本情况(m，n)：(1，1)，(1

9、，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共有36种.其中2mn有：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)， (3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，

10、(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共有30种，设事件“函数在1，+)上为增函数”为M，则满足条件的概率是，故选择D.8、解：由题意知，则，其函数f(x)的定义域为， 所以x|2x2且x0，即定义域关于原点成中心对称.而，所以，所以f(x)为奇函数，故选择A.二、填空题：(4×5=20) 9、解：令3r5=4，则r=3，所以展开式中x4的系数是(1)2C53=10.10、解：已知等差数列an的公差d0，它的第1、5、1

11、7项顺次成等比数列，则a52=a1·a16，即(a1+4d)2=a1·(a1+16d)，整理得a1=2d，而这个等比数列的公比是.11、解：由题意知，双曲线的一条渐近线方程为x+2y=0，即，则双曲线的离心率为：.12、解：已知函数f(x)、g(x)分别有下表给出：x123 f(x)131 x123g(x)321fg(1)= f(3)=1；当x=1时，fg(1)=3，gf(1)=3，fg(x)>gf(x)不成立；xyOA(1，1)x+2y3=0x+2y3=0xy=0当x=2时，fg(2)=3，gf(2)=1，fg(x)>gf(x)成立；当x=3时，fg(3)=1

12、，gf(3)=1，fg(x)>gf(x)不成立.故fg(1)的值为1；满足的fg(x)>gf(x)的值是2.13、解：实数x，y满足约束条件，且x0，其平面区域如图所示，设目标函数z=xy，当目标函数线经过点A(1，1)时，则xy的最大值是11=0.14、. 15、.三、解答题：(80)16、解：(1) ，则，解得a=2. 3分所以，则， 5分所以函数f(x)的最小正周期为2. 6分(2)由x0，得，则， 10分则，则函数f(x)的值域为. 12分17、解：依题意，2分，3分，则，4分，所以，函数在区间上的最大值为5分由得6分，由得7分，从而8分，因为，所以9分，由正弦定理得11分

13、，所以，12分 12分ABCDPE18、解：(1)证明：AB/CD，CD Ì平面PDC，AB平面PDC，AB/平面PDC.3分(2)证明：在是直角梯形ABCD中，过点C作CEAB于点E，则四边形ADCE为矩形，AE=DC=1，又AB=2，BE=1，在RtBEC中，ABC=450，CE=BE=1，4分 AD=CE=1，则，AC2+BC2=AB2，BCAC. 6分又PA平面ABCD，BC Ì平面ABCD，BCPA， 7分而PAAC=A，BC平面PAC； 8分(3)方法1 PA平面ABCD， CDÌ平面ABCD，CDPA，又CDAD，而PAAD=A，CD平面PAD，PD

14、Ì平面PAD，CDPD.又PA=AD=1， 10分点D到PC的距离， 11分在三棱锥P-ACD中，ABCDPzyxVP-ACD=VD-PAC，点D到PAC的距离，13分. 14分方法2如图，分别以AD，AB，AP 为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则由题设可知，A(0，0，0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(1，0，0)， 9分，设为平面PAC的一个法向量，则，即，设a=1，则b=1， 10分同理设为平面PCD的一个法向量，求得，11分， 13分. 14分19、解：(1)函数(x>0且x1)，则， 2分若f(x0)=0，可求得. 4分(2)列表如下：x(1，+)f

15、(x)0f(x)单调递增极大值单调递减单调递减8分故单调递增区间是，单调递减区间是和(1，+).(3)在两边取对数，得， 10分由于0<x<1，所以(*)， 11分由(*)的结果可知，当x(0，1)时， 13分为使(1)式对所有x(0，1)成立，当且仅当，即a>eln2. 14分20、解：(1)设椭圆的半焦距为c，依题意， 2分解得，b=1， 3分 ， 4分所求椭圆C的方程为：. 5分(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当ABx轴时，； 6分当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m， 7分由已知，得， 8分把y=kx+m代入椭圆方程，整理得(3k2+1)x

16、2+6kmx+3m23=0， 9分(k0) ， 11分当且仅当，即时等号成立. 12分当k=0时，综上可知，|AB|max=2， 13分当|AB|最大时，AOB面积的最大值为.21、(1)解：第二组的频率为：2分，第一组的人数为，第一组的频率为0.2，所以4分，第二组人数为，所以6分，第四组人数，所以8分，40，45)年龄段“环保族”与45，50)年龄段“环保族”人数比值为6030=21，采用分层抽样法从中抽取6人，40，45)年龄段有4人，45，50)年龄段有2人9分；设40，45)年龄段的4人为a、b、c、d，45，50)年龄段的2人为m、n，则选取2人作为领队的有（a,b）、(a,c)、(a,d)、(a,m)、(a,n)、(b,c)、(b,d)、(b,m) 、(b,n)、(c,d)、(c,m)、(c,n)、(d,m)、(d,n)、(m,n)，共15种11分；其中恰有1人年龄在45，50)的有(a,m)、(a,n)、(b,m)、(b,n)、(c,m)、(c,n)、(d,m)、(d,n)，共8种13分；所以选取的2名领队中恰有1人年龄在40，45)的概率为14分2由与得1分，3分，所以，为常数，为等差数列5分由得7分8分所以9分，10分，11分，由即得