电路分析-周期性激励下电路稳态响应

1、14.1 周期性非正弦电流周期性非正弦电流 本章重点本章重点 14.2 周期函数的谐波分析周期函数的谐波分析 傅里叶级数傅里叶级数 14.3 周期电流的有效值、电路的平均功率周期电流的有效值、电路的平均功率 14.4 周期性非正弦电流电路的计算周期性非正弦电流电路的计算 14.5 周期性激励下的三相电路周期性激励下的三相电路 本章重点本章重点 定性判断周期性非正弦电流（电压）的谐波分量。定性判断周期性非正弦电流（电压）的谐波分量。 周期性非正弦电流（电压）的有效值、电路的平均功率。周期性非正弦电流（电压）的有效值、电路的平均功率。 周期性非正弦电流电路的谐波分析法。周期性非正弦电流电路的谐波分

2、析法。 返回目录返回目录 14.1 14.1 周期性非正弦电流周期性非正弦电流 一、周期性非正弦激励（一、周期性非正弦激励（nonsinusoidal periodic excitation） 和信号（和信号（signal）举例）举例 1. 发电机（发电机（generator）发出的电压波形，不可能是完全）发出的电压波形，不可能是完全 正弦的。正弦的。tu(t)2. 当电路中存在非线性元件时也会产生非正弦电压、电流。当电路中存在非线性元件时也会产生非正弦电压、电流。 二极管整流电路二极管整流电路 非线性电感（非线性电感（nonlinear inductance）电路）电路 isu+DR2uSu

3、+_ t0Suu2t0uSi3. 大量脉冲信号均为周期性非正弦信号大量脉冲信号均为周期性非正弦信号 二、周期性非正弦电流电路的分析方法二、周期性非正弦电流电路的分析方法 谐波（谐波（harmonic）分析法）分析法 周期性非正弦电源周期性非正弦电源分解成傅里叶级数（分解成傅里叶级数（Fourier series） 利用叠加定理分别计算各次谐波电源单独作用利用叠加定理分别计算各次谐波电源单独作用在电路上产生的响应。在电路上产生的响应。将各次谐波电源在电路中产生的响应进行相加。将各次谐波电源在电路中产生的响应进行相加。 返回目录返回目录t尖脉冲尖脉冲f(t)0t方波方波0f(t)t锯齿波锯齿波f(

4、t)0狄里赫利条件狄里赫利条件: 一、周期函数分解为傅里叶级数一、周期函数分解为傅里叶级数 14.2 14.2 周期函数的谐波分析周期函数的谐波分析傅里叶级数傅里叶级数 式中式中T为周期，为周期，k = 0, 1, 2, 3 （k为正整数）为正整数） )()(kTtftf T2 （1）函数在一周期内极大值与极小值为有限个。）函数在一周期内极大值与极小值为有限个。 （2）函数在一周期内间断点为有限个。）函数在一周期内间断点为有限个。 （3）在一周期内函数绝对值积分为有限值）在一周期内函数绝对值积分为有限值 。 dttfT0)(即即 任何满足狄里赫利条件的周期函数任何满足狄里赫利条件的周期函数f(

5、t)可展开成傅里叶级数可展开成傅里叶级数 )sin( )sin( )2sin()sin()(1022110kkkkktkcctkctctcctf sincos )2sin2cos()sincos()(1022110tkbtkaatbtatbtaatfkkk 周期函数傅里叶级数展开式为周期函数傅里叶级数展开式为 还可表示成下式还可表示成下式 将同频率将同频率 与与 合并，合并，)(tfcossinkkkkkkcbca cossin 或或即即f(t)在一周期内平均值在一周期内平均值 求傅里叶系数（求傅里叶系数（Fourier coefficient）的公式：）的公式： kkkkkkbabac ta

6、n22两种表示式中系数间的关系：两种表示式中系数间的关系： kakbk kc 2200d)(1d)(1TTTttfTttfTa 0)(dcos)(1dcos)(2ttktfttktfTaTk 0)(dsin)(1dsin)(2ttktfttktfTbTk 00ac )sin( )sin( )2sin()sin()(1022110kKkkktkcctkctctcctf 直流分量直流分量 谐波分量谐波分量 基波基波 二次谐波二次谐波 高次谐波（高次谐波（higher harmonic） k 2次的次的谐波谐波 奇次谐波（奇次谐波（odd harmonic） k为奇为奇次的次的谐波谐波 偶次谐波（偶

7、次谐波（even harmonic） k为偶为偶次的次的谐波谐波 k次谐波次谐波 0)2)()02(1 dd1d)(122000 TTETETtEtETttfTaTTTT一个周期内的表达式一个周期内的表达式 TtTETtEtf220)(求周期函数求周期函数f(t)的傅里叶级数展开式。的傅里叶级数展开式。 例例 )(tft 2TEE 0 )(dcos)()(dcos1 )(dcos)(12020ttkEttkEttktfak 0)sin2(sin0sinsinsinsin120 kkkkEtkkEtkkE 20)(dsin)(1ttktfbk 为为偶偶数数为为奇奇数数kkkEkkEkkkkEtk

8、tkkEttkEttkE04)cos1(2cos2cos)0cos(coscoscos)(dsin)()(dsin12020)5sin513sin31(sin4 5sin543sin34sin4)( tttEtEtEtEtf则则 解毕！解毕！ 奇函数，波形对称于原点奇函数，波形对称于原点 )sin(sinxx 正弦函数是奇函数正弦函数是奇函数)()(tftf (a)1. 根据函数奇偶性来判断根据函数奇偶性来判断 二、二、 波形的对称性（波形的对称性（symmetry）与傅里叶系数的关系）与傅里叶系数的关系 此类函数的傅里叶级数展开式只包含正弦函数项，不此类函数的傅里叶级数展开式只包含正弦函数项

9、，不 包含余弦函数项和常数项。包含余弦函数项和常数项。f(t)0tT-Tf(t)0tT-T(b) )()(tftf 偶函数，波形对称于纵轴偶函数，波形对称于纵轴。 余弦函数是偶函数余弦函数是偶函数)cos(cosxx 此类函数的傅里叶级数展开式只包含余弦函数项，不此类函数的傅里叶级数展开式只包含余弦函数项，不 包含正弦函数项，可能有常数项。包含正弦函数项，可能有常数项。f(t)0tT-Tf(t)0tT-T)2()(Ttftf (a) 半波对称横轴半波对称横轴 2. 根据半波对称性质判断根据半波对称性质判断 此类函数的傅里叶级数展开式只包含奇次函数项，不此类函数的傅里叶级数展开式只包含奇次函数项

10、，不 包含偶次函数项，没有常数项。包含偶次函数项，没有常数项。f(t)0tT-T)2(Ttf 3. 平移纵轴（改变时间起点），可以改变函数的奇偶性，但平移纵轴（改变时间起点），可以改变函数的奇偶性，但 不能改变半波对称性质。不能改变半波对称性质。)(tftT0-T返回目录返回目录14.3 14.3 周期电流的有效值、电路的平均功率周期电流的有效值、电路的平均功率 一、非正弦周期电流、电压的有效值一、非正弦周期电流、电压的有效值 设设)sin(1m0kkktkIIi 根据周期函数有效值定义根据周期函数有效值定义 TtiTI02d1将将 i 代入，得代入，得 ttkIITITkkkd)sin(12

11、01m0 （1） I02直流分量平方直流分量平方 200. 20d1ItITT 上式积分号中上式积分号中 i2项展开后有四种类型：项展开后有四种类型： 直流分量与各直流分量与各 次谐波乘积次谐波乘积22m202m2d)(sin1kkkTkIIttkIT 0d)sin(211m00 ttkIITkkkT 0d)sin()sin(21m0m ttqItkITqqkTk（不同频率各次（不同频率各次 谐波两两相乘）谐波两两相乘）（2）), 3 , 2 , 1()(sin22m ktkIkk 各次谐波分量平方各次谐波分量平方 （3）), 3 , 2 , 1()sin(2m0 ktkIIkk ), 2 ,

12、 1,3 , 2 , 1(qkqk （4）)sin()sin(mmqqpptqItpI 由此可得由此可得 2221201220IIIIIIkk其中，其中，I1、I2 ， 分别为各次谐波电流（正弦电流）的有效值。分别为各次谐波电流（正弦电流）的有效值。 同理，非正弦周期电压可分解为同理，非正弦周期电压可分解为 )sin(1m0kkktkUUu 222120UUU其有效值其有效值 1220kkUUU （2） 有效值相同的周期性非正弦电压（或电流）其有效值相同的周期性非正弦电压（或电流）其 波波形不一定相同。形不一定相同。)()()(31tititi 注意注意 ： （1）周期性非正弦电流（或电压）有

13、效值与最大值）周期性非正弦电流（或电压）有效值与最大值 一一 般无般无 倍关系。倍关系。2例例 )()()(31tititi t0i1(t)i3(t)t0i1(t)i3(t)i (t)i (t)2321III 2321III =二、周期性非正弦电流电路的平均功率二、周期性非正弦电流电路的平均功率 平均功率定义公式与正弦电流相同平均功率定义公式与正弦电流相同。 )sin()sin(1m01m0kikkkkuktkIIitkUUu 若若 TTtuiTtpTP00d1d1uip 瞬时功率瞬时功率 平均功率平均功率 则则ttkIItkUUTPkkikTkkukd)sin()sin(11m001m0 u

14、i 相乘之积分也可分为四种类型相乘之积分也可分为四种类型 （1）tIUTTd1000 （3）ttkItkUTkikkuTkkd)sin()sin(1m01m 11coskkkkkkPIU 同频电压、电流分量同频电压、电流分量 乘积之和的积分乘积之和的积分直流分量与各次谐波直流分量与各次谐波 分量乘积之和的积分分量乘积之和的积分直流分量乘积之积分直流分量乘积之积分 000PIU （2）ttkUITkukkTd)sin(11m00 ttkIUTkikkTd)sin(11m00 =0=0kikuk 其中其中 kkUUm21 kkIIm21 （4）ttqItpUTqiqqpuTppd)sin()sin

15、(11m01m )(qp TuidtTP01 21022211100cos.cosPPPIUIUIU 则平均功率则平均功率 周期性非正弦电流电路平均功率等于直流分量产生的功周期性非正弦电流电路平均功率等于直流分量产生的功率和各次谐波各自产生的平均功率之和。（同频率电压电流率和各次谐波各自产生的平均功率之和。（同频率电压电流相乘才形成平均功率）。相乘才形成平均功率）。不同频电压、电流分量不同频电压、电流分量 乘积之和的积分乘积之和的积分=03210PPPPP W9 .1125. 166. 82060cos25130cos221012 有效值有效值 A87. 15 . 02121221V28. 8

16、5 .6825 .12504222521022222222 IU例例 已知：已知：)602sin()30sin(213sin22sin5sin102 ttitttu 求：电路吸收的平均功率和电压、电流的有效值。求：电路吸收的平均功率和电压、电流的有效值。+-ui返回目录返回目录解解 14.4 14.4 周期性非正弦电流电路的计算周期性非正弦电流电路的计算 采用谐波分析法的步骤如下：采用谐波分析法的步骤如下： （2）根据叠加定理，分别计算直流分量和各次谐波激励根据叠加定理，分别计算直流分量和各次谐波激励 单独单独作用时产生的响应。作用时产生的响应。 （b） 各次谐波单独作用时均为正弦稳态电路，可

17、采用相各次谐波单独作用时均为正弦稳态电路，可采用相 量法量法计算。要注意电感和电容的阻抗随频率计算。要注意电感和电容的阻抗随频率 的变化而变化的变化而变化。 （1）将将周期性周期性非正弦电源，分解为傅里叶级数，根据要非正弦电源，分解为傅里叶级数，根据要 求取求取有限项。有限项。 （a）直流分量单独作用相当于解直流电路。（直流分量单独作用相当于解直流电路。（L短路、短路、C 开路）开路） （3）将计算结果以瞬时值形式相加（各次谐波激励所产生将计算结果以瞬时值形式相加（各次谐波激励所产生 的相的相量形式的响应不能进行相加，因其频率不同）。量形式的响应不能进行相加，因其频率不同）。例例 图示电路为全

18、波整流滤波电路图示电路为全波整流滤波电路。其中其中Um=157V。L=5H, C =10 F, R=2000 ， =314rad/s。加在滤波器上的全波整流电压加在滤波器上的全波整流电压 u 如图所示。如图所示。求：求：（1 1）电阻）电阻R上电压上电压uR及其有效值及其有效值UR 。 （2）电阻电阻R消耗的的平均功率。消耗的的平均功率。uLCRuRmU2 t0u解解 （1） 上述上述周期性周期性非正弦电压分解成付氏级数为非正弦电压分解成付氏级数为: )4cos1512cos3121(4m ttUuV4cos33.132cos7 .66100tt 取到四取到四 次谐波次谐波（2） 计算各次谐波

19、分量单独作用时产生的响应计算各次谐波分量单独作用时产生的响应 （a）100V直流电源单独作用。（直流电源单独作用。（L短路、短路、C开路）开路） V100 RUW52000100220 RUPRuRuR 159 1010314212131405314226CXLXCL 单独作用（用相量法）单独作用（用相量法） （b）二次谐波）二次谐波V2cos7 .662tu jXLRURUjXCV)1752cos(55. 3o2 tuR W1015. 32000255. 332222 RUPRV17555. 3 46.855 .15876.89298207 .66j)j (oooom2m2 CCRXRXRZ

20、UU o76.892982 2982j55.12 158j55.123140j 159j2000)159j(20003140jj)j (jCCLXRXRXZ5 .79j2000)5 .79j(20006280j Z 9062016201j16. 33 .79j16. 36280jV)178171. 0( 72.874.79 906201 033.13m4 RUV)1784cos(171. 0o4 tuR 5 .791010314414162805314446CXLXCL （c） 四次谐波单独作用四次谐波单独作用 V4cos33.134tu W1031. 720002171. 0624 PjXL

21、RURUjXC420PPPP W003. 51031. 71015. 3563 420RRRRuuuu V)1784cos(171. 0)1752cos(55. 3100 tt 则则 V1000146. 03 . 610000 2171. 0255. 3100222 RU返回目录返回目录14.5 14.5 周期性激励下的三相电路周期性激励下的三相电路 对称三相电源对称三相电源 )32()3()(CBATtfeTtfetfe 傅立叶级数分解傅立叶级数分解)sin(1mAkkktkEe )120(sino1mBkkktkEe )120(sino1mCkkktkEe kkktkTtkTtk )120

22、()3()3(o各相之间的相位差各相之间的相位差 k 120ok=1 时时 120o k=2 时时 240o k=3 时时 360o 正序正序 负序负序 零序零序 k = 1 , 4 , 7, k = 2 , 5 , 8 , k = 3 , 6 , 9 , 讨论奇谐波函数讨论奇谐波函数 k = 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , 正序正序 零序零序 负序负序 NA UBN UCN Uk = 1 , 7 , 13 正序正序 NA UBN UCN Uk = 3 , 9 , 15 零序零序NA UBN UCN Uk = 5 , 11 , 17 负序负序有有 有有 有有 有有 零零 有有

23、 有有 有有 有有零零 无无 无无 无无 无无 有有 有有 有有 有有 正序正序 零序零序 负序负序 线电流线电流 电源端电源端 负载端负载端 线电压线电压 线电压线电压 相电压相电压 相电压相电压 中点电压中点电压 一一 、YY（负载对称）（负载对称） 1 . 无中线无中线 +_+NnZZZ- - -eAeCeB线电流：无零序线电流：无零序 272521llllIIII电源端电源端 相电压：有正序、负序、零序相电压：有正序、负序、零序 252321EEEUp线电压：无零序线电压：无零序 272521333EEEUlplUU3 负载端负载端 相电压：无零序相电压：无零序 272521EEEUp线电压：无零序线电压：无零序 272521333EEEUlplUU3 中点电压：只有零序中点电压：只有零序 2152923EEEUnN有有 有有 有有 有有 零零 有有 有有 有有 有有 零零 有有 无无 有有 无无 有有 有有 有有 有有 正序正序 零序零序 负序负序 线