数学分析第三章 极限与函数的连续性ppt课件

1、一、一、 引例引例sin.xxx 观察函数当时的变化趋势3 3 函数的极限函数的极限sin.nnn 联想到数列当时的变化趋势sinsinlim00 ().nnxnnx ，猜测通过上面演示实验的观察:问题问题: :如何用数学语言刻划函数“无限接近于A”.当x无限增大时， sin( )xfxx无限接近于0二二. . 函数极限函数极限Axfxx)(lim0不成立？不成立？考虑：如何叙述考虑：如何叙述00,0,0,( ).xxf xA对于任意存在使恒有Axfxx)(lim0简记为( )(0).f xAMM也可用形式：几何意义几何意义)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo.宽为2的带形区域内A为中心

2、线,图形完全落在以直线yf(x)函数y的去心邻域时,当x在x0例2. 证明例3. 证明lim(0)xaxa a311lim31xxx三、函数极限的四则运算三、函数极限的四则运算定理定理3.13.1假设假设,)(lim0Axfxx则,)(lim0Bxgxx,)(lim)(lim)()(lim000BAxgxfxgxfxxxxxx（1）（这里（这里,为常数）。为常数）。（2）。ABxgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim)()(lim000（3）。)0()(lim)(lim)()(lim000BBAxgxfxgxfxxxxxx定理定理3.23.2（局部有界性（局部有界性) ),)(lim0

3、Axfxx那么，0)(xf使得在0000(,)(,)xxxx上有界。四、函数极限的性质四、函数极限的性质假设定理定理3.3(局部保号性局部保号性)0lim( )0 xxf xA那么，000|xx( )02Af x 当时，有假设推论推论3.4 设设那么，000|xx( )0.2Af x 当假设0lim( ).xxf xA0,A) i那么，000|xx当时，有( )0;2Af x )ii假设0,A 时，有定理定理3.13.1的证明见课本的证明见课本5555页）页）下面证明下面证明 定理定理3.1(iii)3.1(iii)定理定理3.43.40lim( )0 xxf x，且，0( )g x在上有界(

4、局部有界)。那么0lim( ) ( )0.xxf x g x假设0000(,)(,)xxxx定理定理3.5(3.5(局部保序性局部保序性) ),)(lim0Axfxx那么，00lim( ),xxg xBAB且).()(xgxf假设00|xx当时 ，有定理定理 3.6 ( 3.6 (极限不等式极限不等式) )定理定理3.73.7（极限唯一性）（极限唯一性）,)(lim0Axfxx假设，00lim( )xxg xB，( )( )f xg x，有那么.AB且00|xx当时 ，若极限存在，则极限是唯一的.0lim( )xxf x定理定理3.83.8（夹迫性）（夹迫性）假设()()()gxfxhx有，0

5、lim().xxfxA则0 ，00|-|xx00lim( )lim( ),xxxxg xh xA且当时,定理定理3.10 (3.10 (函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系) ) 0lim( )xxf xA对任意以0 x为极限的数列 nx,且0(1,2,),nxx n都有lim().nnf xA注：此定理又称海涅注：此定理又称海涅HeineHeine定理定理定理3.10不仅可以用来证明某些函数的极限存在，还可用它来证明某些函数极限不存在.01limsinxx例4 证明 不存在.定理定理3.11 3.11 设设 在在 点附近点附近 有定义，有定义，且且 ，而，而 在在 点附近点附近

6、有有定义，定义， 且且 ，那么，那么( )f u0u0()uu0lim( )uuf uA( )ug x0 x0()xx0( )g xu00lim( )xxg xu0lim( ( ).xxf g xA4011limxxx例例5. 5. 求极限求极限五、单侧极限五、单侧极限0000( )(,)(0)0,0,f xxxBxxx设在有定义，如，对使当时，有0( )Bf xx则称 为在的左极限定义定义,)( Bxf0000lim( )()()(0).xxf xf xfxf xB,)(Cxf设 在 有定义 ，如 ，对 使当 时，有( )f x00(,)xx(0)C0,0 00 xxx记为0000lim(

7、)()()(0).xxf xf xfxf xC则称 C为 在 的右极限，记为( )f x0 x定理定理 ( (左、右极限与极限的关系左、右极限与极限的关系 ) )Axfxx)(lim0.)(lim)(lim00Axfxfxxxx例例6.21sin,0( )1,0 xxf xxxx定理定理3.12 假设假设 在在 上单调上升有上界，上单调上升有上界， 那么那么 存在存在证明：Page 60( )f x( , )a blim( )xbf x推论推论3.5 （1） 在在 上单调上升有下界，那么上单调上升有下界，那么 存在；存在；（2） 在在 上单调上升，则对任意上单调上升，则对任意 ，有，有 和和

8、都存在但不一定相等）都存在但不一定相等）( )f x( , )a blim( )xaf x( )f x( , )a b0( , )xa b0lim( )xxf x0lim( )xxf x六种趋势下的极限的表示形式：六种趋势下的极限的表示形式：0lim( );xxf x 0lim( );xxf x 0lim( );xxf x lim( );xf xAlim( );xf xAlim( );xf xA例例9.01limnxxx 例例10.设000,0,abm n是非负整数，那么101101limnnnmmxma xa xab xb xb1010limnnn mxmmaaaxxxbbbxx00,0,a

9、nmbnmnm1sinlim0 xxx六、两个重要极限六、两个重要极限1、ACxoBD02,xOAOBx不妨设如图，单位圆圆心角p=sin,tanxBDxAC于是有作单位圆的切线，得.ACO,OABx扇形的圆心角为的高为,OABBD证明：证明： 扇形又 ,OABOACOABSSS111sintan.222xxx即11sin22OABSOA BDx21111(),tan2222OABOACSOAxx SOA ACx扇形,tansinxxx , 1sincos xxx即即上式对于0也成立.2x当0时,2xxxcos11cos0 2sin22x 2)2(2x ,22x , 02lim20 xx, 0)cos1(lim0 xx, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又. 1sinlim0 xxxexxx )11(lim2、1lim(1)2.71828nnen证明：证明： 前章我们已经证明了当1时,x 1,xxx有111(1)(1)(1) 1 xxxe 1 1lim(1) 11 lim(1)lim(1) xxxxxxxx则 1111(1)(1)(1) 1 xxxxxx11)111(lim)111(lim)111(lim xxxxxxxx, e 由夹迫定理有.)11 (l