因式分解 (2)

1、因式分解（复习）石花中心学校八年级数学组石花中心学校八年级数学组知识点1 因式分解的定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式 。X2-1 (X+1)(X-1)因式分解因式分解整式乘法整式乘法知识点2 提公因式法 多项式ma+mb+mc中的各项都有一个公共的因式m,我们把因式m叫做这个多项式的公因式.ma+mb+mc=m(a+b+c)就是把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法. 例如：x x2 2 x = x

2、(x-1) x = x(x-1)， 8a8a2 2b-4ab+2a = 2a(4ab-2b+1) b-4ab+2a = 2a(4ab-2b+1) x x2a2a探究交流 下列变形是否是因式分解？为什么?(1)3x(1)3x2 2y-xy+y=y(3xy-xy+y=y(3x2 2-x)-x)；(2)x(2)x2 2-2x+3=(x-1)-2x+3=(x-1)2 2+2+2；(3)x(3)x2 2y y2 2+2xy-1=(xy+1)(xy-1)+2xy-1=(xy+1)(xy-1)；(4)x(4)xn n(x(x2 2-x+1)=x-x+1)=xn+2n+2-x-xn+1n+1+x+xn n.

3、.提公因式错误，可以用整式乘法检验其真伪. 不满足因式分解的含义 因式分解是恒等变形而本题不恒等. 是整式乘法. 典例剖析 例例1 1 用提公因式法将下列各式因式分解用提公因式法将下列各式因式分解. .(1)-x(1)-x3 3z+xz+x4 4y y；(2)3x(a-b)+2y(b-a)(2)3x(a-b)+2y(b-a)解：解：(1)-x(1)-x3 3z+xz+x4 4y=xy=x3 3(-z+xy).(-z+xy).(2)3x(a-b)+2y(b-a)(2)3x(a-b)+2y(b-a)=3x(a-b)-2y(a-b)=3x(a-b)-2y(a-b)=(a-b)(3x-2y)=(a-b

4、)(3x-2y)x x3 3+ (b-a)+ (b-a)- (a-b)- (a-b)(a-b)(a-b)小结小结 运用提公因式法分解因式时，要注意下列问题：运用提公因式法分解因式时，要注意下列问题： (1) (1)因式分解的结果每个括号内如有同类项因式分解的结果每个括号内如有同类项要合并，而且每个括号内不能再分解要合并，而且每个括号内不能再分解. .如：如：(7m-8n)(x+y)-(3m-2n)(x+y)(7m-8n)(x+y)-(3m-2n)(x+y)=(x+y)(7m-8n)-(3m-2n)=(x+y)(7m-8n)-(3m-2n)=(x+y)(4m-6n).=(x+y)(4m-6n).

5、=2(x+y)(2m-3n).=2(x+y)(2m-3n). (2) (2)如果出现像如果出现像(2)(2)小题需统一时，首先小题需统一时，首先统一统一, ,尽可能使统一的个数少，这时注意到尽可能使统一的个数少，这时注意到(a-b)(a-b)n n=(b-a)=(b-a)n n(n(n为偶数为偶数) ) 例如：分解因式例如：分解因式a(x-y)a(x-y)2 2+b(y-x)+b(y-x)3 3+c(y-x)+c(y-x)2 2. . 本题既可以把本题既可以把(x-y(x-y) )统一成统一成(y-x(y-x) )，也可以把，也可以把(y-x(y-x) )统一成统一成(x-y(x-y),),但

6、比较而言把但比较而言把(x-y(x-y) )化成化成(y-x(y-x) )比较简比较简便，因为便，因为(x-y)(x-y)2 2=(y-x)=(y-x)2 2. .a(x-y)a(x-y)2 2+b(y-x)+b(y-x)3 3+c(y-x)+c(y-x)2 2=a(y-x)=a(y-x)2 2+b(y-x)+b(y-x)3 3+c(y-x)+c(y-x)2 2=(y-x)=(y-x)2 2a+b(y-x)+c =(y-x)a+b(y-x)+c =(y-x)2 2(a+by-bx+c).(a+by-bx+c). (3) (3)因式分解最后如果有同底数幂，要写成因式分解最后如果有同底数幂，要写成

7、幂的形式幂的形式. .例如：例如：(7a-8b)(a-2b)+(a-8b)(a-2b)(7a-8b)(a-2b)+(a-8b)(a-2b)=(a-2b)(7a-8b)+(a-8b)=(a-2b)(7a-8b)+(a-8b)=(a-2b)(8a-16b)=(a-2b)(8a-16b)=8(a-2b)(a-2b) =8(a-2b)=8(a-2b)(a-2b) =8(a-2b)2 2. .做一做 把下列各式分解因式把下列各式分解因式. .(1)(2a+b)(2a-3b)+(2a+5b)(2a+b)(1)(2a+b)(2a-3b)+(2a+5b)(2a+b)；(2)4p(1-q)(2)4p(1-q)3

8、 3+2(q-1)+2(q-1)2 2；2(2a+b)2(2a+b)2 22(1-q)2(1-q)2 2(2p-2pq+1)(2p-2pq+1)或或2(q-1)2(q-1)2 2(2p-2pq+1)(2p-2pq+1)(2)(2)完全平方公式：完全平方公式：a a2 22ab+b2ab+b2 2=(a=(ab)b)2 2其中，其中，a a2 22ab+b2ab+b2 2叫做完全平方式叫做完全平方式. .例如：4x4x2 2-12xy+9y-12xy+9y2 2 =(2x) =(2x)2 2-2-22x2x3y+(3y)3y+(3y)2 2=(2x-3y)=(2x-3y)2 2.知识点3 公式法

9、(1)(1)平方差公式：平方差公式：a a2 2-b-b2 2=(a+b)(a-b=(a+b)(a-b).).例如：4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3). 探究交流 下列变形是否正确？为什么？下列变形是否正确？为什么？(1)x(1)x2 2-3y-3y2 2=(x+3y)(x-3y)=(x+3y)(x-3y)；(2)4x(2)4x2 2-6xy+9y-6xy+9y2 2=(2x-3y)=(2x-3y)2 2；(3)x(3)x2 2-2x-1=(x-1)-2x-1=(x-1)2 2. . 目前在有理数范围内不能再分解. 不是完全平方式，不能进行分解 不是完全平方式，不能进行分解

10、例例2 2 把下列各式分解因式把下列各式分解因式. .(1)(a+b)(1)(a+b)2 2-4a-4a2 2 ； (2)1-10 x+25x(2)1-10 x+25x2 2； (3)(m+n)(3)(m+n)2 2-6(m+n)+9 -6(m+n)+9 解解:(1)(a+b):(1)(a+b)2 2-4a-4a2 2=(a+b)=(a+b)2 2-(2a)-(2a)2 2做做一一做做 把下列各式分解因式把下列各式分解因式. .(1)(x(1)(x2 2+4)+4)2 2-2(x-2(x2 2+4)+1+4)+1； (2)(x+y)(2)(x+y)2 2-4(x+y-1).-4(x+y-1).

11、(1)(x(1)(x2 2 +3)+3)2 2(2)(x+y-2)(2)(x+y-2)2 2(2)1-10 x+25x(2)1-10 x+25x2 2(3)(m+n)(3)(m+n)2 2-6(m+n)+9=(m+n-3)-6(m+n)+9=(m+n-3)2 2. .=(a+b+2a)(a+b-2a)=(a+b+2a)(a+b-2a)=(3a+b)(b-a)=(3a+b)(b-a)=(1-5x)=(1-5x)2 2=1-10 x+(5x)=1-10 x+(5x)2 24a4a2 2(2a)(2a)2 2+2a+2a-2a-2a25x25x2 2(5x)(5x)2 2综合运用 例例3 3 分解因

12、式分解因式. .(1)x(1)x3 3-2x-2x2 2+x+x；(2)x(2)x2 2(x-y)+y(x-y)+y2 2(y-x)(y-x)解解:(1)x:(1)x3 3-2x-2x2 2+x+x =x(x=x(x2 2-2x+1)-2x+1)=x(x-1)=x(x-1)2 2(2)x(2)x2 2(x-y)+y(x-y)+y2 2(y-x)(y-x)x x =x =x2 2(x-y)-y(x-y)-y2 2(x-y)(x-y)=(x-y)(x+y)(x-y=(x-y)(x+y)(x-y) )=(x+y)(x-y)=(x+y)(x-y)2 2=(x-y)(x=(x-y)(x2 2-y-y2

13、2) ) 小结小结 解因式分解题时，首先考虑解因式分解题时，首先考虑是否有公因式，如果有，先提公因式；是否有公因式，如果有，先提公因式；如果没有公因式是两项，则考虑能否用如果没有公因式是两项，则考虑能否用平方差公式分解因式平方差公式分解因式. . 是三项式考虑用是三项式考虑用完全平方式，最后，直到每一个因式都完全平方式，最后，直到每一个因式都不能再分解为止不能再分解为止. . 探索与创新题 例例4 4 若若9x9x2 2+kxy+36y+kxy+36y2 2是完全平方式，则是完全平方式，则k= k= 分析分析: :完全平方式是形如：完全平方式是形如：a a2 22ab+b2ab+b2 2即两数

14、即两数的平方和与这两个数乘积的的平方和与这两个数乘积的2 2倍的和倍的和( (或差或差).).9x9x2 2+kxy+36y+kxy+36y2 2=(3x)=(3x)2 2+kxy+(6y)+kxy+(6y)2 2kxykxy=2=23x3x6y=36xy6y=36xyk=k=36 36 做一做 若若x x2 2+(k+3)x+9+(k+3)x+9是完全平方式，则是完全平方式，则k=_ k=_ k=3或k=-9 课堂小结 用提公因式法和公式法分解因式用提公因式法和公式法分解因式, ,会运用因式分解解决计算问题会运用因式分解解决计算问题. .各项有各项有“公公”先提先提“公公”，首项有负常提负，

15、首项有负常提负，某项提出莫漏某项提出莫漏“1”,1”,括号里面分到括号里面分到“底底”。自我评价 知识巩固 1.1.若若x x2 2+2(m-3)x+16+2(m-3)x+16是完全平方式，则是完全平方式，则m=( ) m=( ) A.3A.3B.-5B.-5C.7. C.7. D.7D.7或或-1-12.2.若若(2x)(2x)n n-81=(4x-81=(4x2 2+9)(2x+3)(2x-3),+9)(2x+3)(2x-3),则则n=( )n=( ) A.2 A.2B.4B.4C.6C.6D.8D.83.3.分解因式：分解因式：4x4x2 2-9y-9y2 2=_.=_.4.4.已知已知x-yx-y=1,xy=2=1,xy=2，求，求x x3 3y-2xy-2x2 2y y2 2+xy+xy3 3的值的值. . 5.5.把多项式把多项式1-x1-x2 2+2xy-y+2xy-y2 2分解因式分解因式6.6.解方程组解方程组125422yxyx思考题思考题 分解因式分解因式(x(x4 4+x+x2 2-4)(x-4)(x4 4+x+x2 2+3)+10 +3)+10 分析分析: :把把x x4 4+x+x2 2作为一个整体，用一个作为一个整体，用一个新字母代替，从而简化式子的结构新字母代替，从而简化式子的结构. . 解：令解：令x x4 4+x+x2 2