十种求数列通项公式的方法数列技巧与方法解题方法

1、十种求数列通项公式的方法、公式法例1已知数列an满足an 1 = 2a3 2，31 = 2，求数列an的通项公式。an 1解:盼=2可+3炮两边除以2小，得2n41an 3 an 1annnn !1 n22，则 222，故数列歹是3=1 (n - 1)一2ai2以21 _2二1为首项，以2为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得2naan =（2 n_ 2）2n所以数列an的通项公式为22an 1 an评注：本题解题的关键是把递推关系式an+=2a2转化为2n+ 2n2，说明数列an3歹EX，进而求出数列歹是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出3n的通项公式。二、累加法 例2已知数列a

2、n满足an 1 = a2nai =1，求数列an的通项公式。解.由 a* 1 = a* 2n 1 得 an 1 - a* = 2n 1 贝yan=(an-an4)(and-and川(a3 -a2)(a2-aj印二2( n-1)1 2( n-2) 1 |l|(2 2 1) (2 11)1= 2(n -1) (n -2) III 2 1 (n -1) 1= 2(n-1) 1=(n -1)(n 1) 12二 n所以数列an的通项公式为an评注：本题解题的关键是把递推关系式务1 = an 2n 1转化为习1 一务=2n 1，进而求出（an an 斗）+（an4 an）+ 川 +（a3 a2）+（a2

3、印）+aj，即得数列 an的通项公式。例3已知数列an满足an 1 = an 2 34 a1 = 3，求数列an的通项公式。解：由 an 1 = an 2 31 得 an 1 一 an = 2 31 则an=(ana)(anjL-andIII(a3-a2)(a2-aj印n 1n 221=(2 3 1) (2 3 一 1) |(2 31) (2 31) 31 n 221= 2(33|l( 33)(n -1) 3=23(1 一3心)1-3(n -1) 3=3n -3 n -1 3=3n n -1所以ann=3 n -1.评注：本题解题的关键是把递推关系式an 1二an 11an=2n3n13n_

4、_ 221转化为an1 - an = 2 31进而求出an=（an-务）（an- an_2）川（a3 - a2）（a2- a1 ） a1，即得数列an的通项公式。已知数列an满足an 1 =3an 2 3 1，印=3，求数列an的通项公式。n务卅=jn +Z + 1解: an 3an 2 3 1 两边除以 3n1，得 3n1 3n 3 3n1，an 1 an _ 21n 11 nn T 则3333，故an .an anan dan _2an _2久门(Tn一(333anan _133 *2(n 1)/21、/2121、3(3莎)(2沪)(2評3+(丄+丄+_L +川 + 丄)+13(3n 3n

5、 3n4 3232)an2(-1)和)因此3n31-3+1评注：本题解题的关键是把递推关系式an3an 2 3 1 转化为 3n 1an 1 _ an _3n(an _ an j )亠(an 4 _ an -2、亠 / cn-1 丿& -2 丿 (进而求出3333加爭小（|H）an，即得数列I3n的通项公式，最后再求数列 an的通项公式。三、累乘法已知数列an满足an .1=2(n 1)5n an,=3，求数列an的通项公式。因为 an # = 2( n +1)5 X an， ai = 3 所以 an 鼻 03 =2 n i)5则an，故an吕匹川旦电aan j an _2a2 ai二2(n

6、1 1)5112(n 2 1)V川2(2 1) 522(1 1) 51 32心n(n-1)3 2 5(n)心 21 3n(n J)=3 2nl 5 门！所以数列an的通项公式为n(n .1)an =3 2ndn!.评注：本题解题的关键是把递推关系an 1 =2(n 1)5n务转化为也=2（n 1）5n，进而求an an 1a3 a?HI a1 出ananda2 a1，即得数列an的通项公式。例6（ 2004年全国I第15题，原题是填空题）已知数列an满足a1二1，an =a 1*为尹3切II + n（ a1n1（，求）an的通项公式。解：因为 an =印 2a2 3aH (n -1乩(n 一

7、2)所以 an 1 勺1 2a2 - 3a| (n - 1归.na.用式_式得1 an二nan.则 an 1 =(n 1)an(n 一2)=n - 1(n _2)所以ananand.an 4an-2III 鱼 a： =n(n T)川 4 3a a22由 an =a1 +2a? +3a3 十川十(n 1)an 工2) 取n =2得a?=印 +2a2 则 a? =a1 又知ai =1，则a2，代入得an =1 3 4 5 川 n 二也2。所以，an的通项公式为3n评注：本题解题的关键是把递推关系式an 1 =(n 1)an(n 一 2)转化为也二 n 1(n _2)anan进而求出务也川旦a2an

8、 2a2，从而可得当n2时，an的表达式，最后再求出数列an的通项公式。四、待定系数法例7已知数列an满足an 2an 3 5，a1 = 6，求数列 *的通项公式。解：设 an半+x7n+=2(an+x 汉5n)将an 1 =2an 3 5代入式，得2an 3 5 x 5“1 = N 2 5，等式两边消去2an，得3弓.x弓1 =窘.5,两边除以5n，得3 5x = 2x则x= -1代入式得an 1 - 5二 2(an - 5 )n 1an* - 5_ 2由a1-51=6-5=0及式得an-F，则an-5n，则数列务-5是以1n nnd na1 一5 =1为首项，以2为公比的等比数列，则 习一

9、5二2 ，故二25 。评注：本题解题的关键是把递推关系式an 1 = 2an 3 5 转化为 an 1-5 2(an - 5 )从而可知数列an 一5 是等比数列，进而求出数列 an 一5 的通项公式，最后再求出数列an的通项公式。例8已知数列an满足an3an 5 24，a1,求数列an的通项公式。解：设 anx 2n1 y=3(anx 2y)将an 1 =3an 5 24代入式，得3an 5 2n 4 x 2n1 y = 3(an x 2ny)整理得(52x) 2n 4 y =3x 2n 3y。5 2x = 3x令y，则x =5y= 2，代入式得n1 -5 2n 1 -2an1 3(n D

10、2 1(n 1) 18=2an 3n2 10n 182，故数列an 3n 10n18an 15 2n 由印+3汇12+10H+18 =1+31 =32 式 0 及式 得 an+3n2+10n +18 式 0 2 =3(an 5 2n 2)由 ai 5 21 212 37 及式,a得 an +5汉2n +2 式0，则 an +5x2n +2故数列an 5 2 2是以a1 5 2 2二1 T2二13为首项，以3为公比的等比数列,nn 1n_Jn因也匕 an+5辺2 +2=133 _ 贝y an =13x3 _ 5=2 -2。评注：本题解题的关键是把递推关系式an3an 5 24转化为n 41nn叭

11、皿2+2=3(an+5 +2)，从而可知数列佝+护2 +2是等比数列，进而求出数列an 5 2 2的通项公式，最后再求数列 an的通项公式。2例9已知数列an满足an 1二2% 3n 4n 5印=1，求数列 %的通项公式。解：设 an 1 x(n 1)2 y(n 1) z =2(a. xn2yn z)2将an2an 3n 4n 5代入式，得2 2 22an+3 n +4n +5+x( n+1) +y(n +1) + z = 2(an+x n + yn + z) 则2 22an (3 x) n (2x y 4)n (x y z 5) = 2an 2xn 2yn 2z等式两边消去 2an，得(3+

12、x)n2 +(2x + y+4)n + (x + y+z + 5)=2xn2+2yn+2z3 x = 2xx = 3II2x y 4=2yy=10解方程组x y z 2z，则z二18，代入式，得2 2an 1 3( n 1) 10( n 1) 18=2(an 3 n 10n 18)令公比的等比数列a132110118 为首项 3：1 以an +3n2 +10n +18 =32 乂2nJ1 则 an =2n* 3n2 10n 182评注：本题解题的关键是把递推关系式an 2an 3n 4n 5转化为2 2an+3(n+J+mn 十帖18“+3n +10n+18),从而可 知数列2 2an 3n

13、Fn W是等比数列，进而求出数列an 3n 10nT8 的通项公式，最后再求出数列an的通项公式。五、对数变换法ai =7，求数列an的通项公式。n 5例10已知数列an满足an 1 = 2 3an,n 5解：因为冇1 = 2 3 an，a1 =7，所以ann 5 0, an 10。在 an 1 = 2 3an 式两边取常用对数得 lg an 1 =5lg ann Ig3 Ig 2设 Ig an 1 x(n 1) y =5(lg a.xny)将式代入式，得5|gann|g3Jg2 x(n 1) y =5(|ganxny)，两边消去5|ga并整理，得(lg3 +x)n+x+y + lg2=5xn

14、+5y，则Ig3 x =5xx + y+lg2 = 5y，故xQ4164Ig3Ig3 Ig 2代入式，得 Igan1T(n1) w T=5(lganJgln.蛭必)4164里1厘赵 了 .里1 .空1g2由4164416Igai=0及式,得4164,.g3 /丄八丄Ig3丄Ig2lg an 1(n 1)4 丿 164 =5,Jg3 Jg3Jg25Ig ann则 n 4164lg ann 型 4所以数列4164164为首项，以5为公比的等lgn! gn 33n4(7幅3)15g31 6,因此1ga (1g7 3 g3 1g2)5nj Ig3n Ig3 Ig2 晌二他7)5n_-416446411

15、1n11= (lg 7 lg 34lg 36 lg 24)5Ig34 -lg 316 -Ig24111n 11二lg(7 34 3花 24)5n 二-lg(3刁 3币 2刁)111n 11= lg(7 34 3花 24)5n-lg(34 3乖 2刁)5n_L_05n-k15n 丄 d.= lg(75nJ 3 3古 2)5n_4n_15n1d= lg(75n3 16 fF)5nn5nan =75亠 3 162ol gan 1lg3n竹 4 詈+ 4g 5ang 4ngJg3 l)g241 6441 64，从而可知数列 lag -g 3 nl g 3l g 2lglg3 annlg3%41 6是等

16、比数列，进而求出数列4164的通项评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式5an转化为公式，最后再求出数列an的通项公式。六、迭代法例11已知数列an满足an 1二翳审，2=5，求数列an的通项公式。_3(n+)2n解：因为K厂an，所以3n 2n 丄an = an 43( n 4) 2n-2n 2_3n2nJ-3(n 2) 2n n 32(n 书 n2(n(n 工33(n d)(n 4)n鸟“工令缶亠 二 a. a= 111_3n123il”l(n(n 书 n 21心心(n1_ a1n(n 1)3n_kn! 22二 a1又a5，所以数列an的通项公式为n(n书3n1n!22an =5o

17、评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。3(n 1)2nlg an 1两边取常用对数得lg an 1 = 3(n . 1) 2 lgan，即1g an3(n1)2n,再由累乘法可推知igan 严 lg anlg anilg an 2lg a2 lg aIgai =ig552n(n 1)2n(n)，从而3n 1 n!2 an =52o七、数学归纳法例12已知数列an满足a a .8(n 1)n 1 一 n (2n1)2(2n 3)2 ai89，求数列an的通项公式。a a .8(n 8解：由(2n 1) (2n3)及 9，得a28(1+1)2 2(2 11) (2 1 3)8

18、8 2=+99 2524258(2 +1)248汇348a3 = a222(2 2 1)(2 2 3)225 25 49498(3 +1)488汉480a 4 = a3 22(2 3 1) (2 3 3)4949 8181由此可猜测an(2n 1)2 -1=2(2n(2k*1)，则当 n = k +1 时,，往下用数学归纳法证明这个结论。2(2 11) -1 8a1 = 2 =(1)当n=1时，(21 1)9，所以等式成立。ak(2)假设当n =k时等式成立，即2(2 k 1) -1ak 1 = ak8(k +1)(2 k 1)2(2k 3)2(2k 1)2 -18(k 1)2 2 2(2k

19、1)(2k 1) (2k 3)(2 k 1)2 -1(2k 3)2 8(k 1)2 2(2k+1)2(2k+3)2(2k 1)2(2k 3)2 _(2k 3)2 8(k 1)2 2(2k +1) (2k+3)(2k 1)2(2k 3)- (2k 1)22 2(2k +1)2(2k+3)22(2k 3) -1-(2 k 3)22( k 1) 12 -122( k 1) 12由此可知，当n =k 1时等式也成立。根据（1）, （2）可知，等式对任何N*都成立。评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。八、换元法例13已知数列佝

20、满足时专（1 4an .F），=1，求数列an的通项公式。解：令 bn = . 124an，则an(b； -1)24故知昭一1），代入亦卡4务碍）得12 112(堺1-1)1 4 (b；-1) bn241624即 4b：1 =(bn 3)224an -0_1+ 3则 2bnbn 3，即 bn2bn 2，bn+-2(bn -3)可化为2，所以bn _3是以-3-/4-324-32为首项以12为公比的等比数列,因此22，则2，即2,1、nJ n1an=_(_)n + e n +_3 423。bn 一3 门1) =()2b(1)n- 3、1 24an评注：本题解题的关键是通过将3 +1249n的换元

21、为bn，使得所给递推关系式转化 V 3bn 1bn22形式，从而可知数列bn -3为等比数列，进而求出数列bn-3的通项公式,最后再求出数列an的通项公式。九、不动点法21an 24an 卅=，印=4，求数列an的通项公式。21x -24解:令 X = 4x 1，得 4x2 -20 x 24 0，则X1=2, X2 =3 是函数 f (x)21x -244x 1 的例14 已知数列an满足4an * 1两个不动点。因为an 1 -2an 1 -32俺 -24 c肓彳221an -24n 34an 121an -24 -2(4an 1)-21an -24-3(4an 1)13a 2613 an - 29an 279 an 3所以数列二=2 一3 J 是以 a1 一34 一3n _ 2为首项，以9为公比的等比数列，故an _313n3、21x2421x 24f (x) =x =评注：本题解题的关键是先求出函数4X1的不动点，即方程 4x T 的两an+ 2 _ 13 an -2an _2 个根x1 =