导体系统的电容

1、导体系统的电容导体系统的电容主要内容v电位系数v电容系数v部分电容学习目的v掌握两导体系统之间电容的求解v了解电位系数、电容系数的物理意义一、两导体间的电容一、两导体间的电容 babc例：设内导体球带电量为q1，外导体球壳带电量为q2，可求得：内球上电位外球壳上电位1210011144qqabcc12204qqc因此可将 、 与 之间的关系表示如下：12q111 1122221 1222p qp qp qp q（1）（2）1、电位系数、电位系数 对于由N个导体构成的导体系统，系统中各导体的电位表示为：111 112121 12222121222.nnnnnnnnnnp qp qpp qp qp

2、qqp qqp qp：ijp 称为电位系数称为电位系数11nniijijjjjp qpij物理意义： 电位系数pij表示当导体j带1库仑正电荷，而其他导体不带电时，导体j对导体i产生的电位，即1,0()jkijijjqqkjpq 当i=j时，pii称为自电位系数；ij时，pij称为互电位系数，它满足：0ijjiijppp由（1）、（2）式可改为用 表示电荷量q，如下：11111222211222qq （3）（4）2、电容系数、电容系数11nniijijjjjqq 对于由N个导体构成的导体系统，各导体的电荷量q表示为：11111222211221211222.:.nnnnnnnnnnqqq ij

3、 称为电容系数称为电容系数ij物理意义： 它表示当导体j电位为1v，其余导体均接地时，导体i上的感应电荷量。即：1,0()jkijijjkjq 当i=j时， ii 称为电容系数；ij时， ij称为感应系数，它满足：0()0ijjiijiiij互部分电容互部分电容自部分电容自部分电容 为表示系统中各导体之间的电容关系，将（3）、（4）式改写为： 11112112122212121222qq 令1,()niiijijijjCCij 代入后得1111121222121222qCCqCCCij满足：0ijjiijCCC两导体构成电容器时，电容C为11221212Cppp3、部分电容、部分电容1211C

4、1221CC22C111 112122212122211221122.().():()() .()(.)(nnnnnnnnnnnnnCCqqCCqCCCCC用导体间的电位差表示时，各导体的电荷量q表示为：10Niiiiijijjj iqCCiiq与导体i的电位成正比ijq与导体i、j的电位差成正比其比值：0iiiiiqCijijijijqqCU电容器的电容：qCU+- - - - - - - - - - - - -d1.电容是反映电容器本身性质的物理量。（大小仅与导体的形状、相对位置、其间的电介质有关。与所带电荷量无关。）2.电容是描述电容器容纳电荷或储存电能的物理量。 如图1所示,若在一平行

5、板电容器中置入一金属球，请问：平行板间的电容如何变化？1323121323C CCCCC式中 、 和 称为导体系统的部分电容，其等效电路如图2所示。12C13C23C图1 含金属球的平行板电容器图2 三导体系统的等效电路【例1】：在导体半径为a和b的球形电容器内充满电介质，电介质的介电常数与离中心的距离r有关，并按规律变化 ，求该电容器的电容。【解】：设内、外导体的带电量分布为Q、-Q。由高斯定理得：202( )arr2( )4rQD rer 因此导体内外间的电压为2200()dd44bbraaQQ baUEreraa故电容器的电容为204UbQCaa20( )( )4rD rQE rea 【

6、例2】 一同轴线内导体的半径为a,外导体半径为b，内外导体间填充两种绝缘材料， 的介电常数为 ， 的介电常数为 如图所示，求单位长度的电容。（教材2-12）0arr10rrb2【解】：设内外导体单位长度带电分别为 和 。由高斯定理得：lld22lsllrDSqlrlDlDer 当 时，0arr1112lrDEer 当 时，0rrb2222lrDEer 内外导体间电压为：00120201dddlnln22brbaarllUErErErrbra 单位长度电容为：0201211lnlnlrbQUraCU【例3】：平行板电容器的长宽分别为a和b，极间距离为d.电容器的一半厚度用介电常数为 的介质填充。

7、如图。（1）板上外加电压 ，求板上的自由电荷面密度、极化电荷面密度。（2）若已知极板上的自由电荷总量Q,求此时极板间电压和极化电荷面密度。（3）求电容器的电容量。0U000022EEddEEU解得0000002()2()UEdUEd由边界条件【解】（1）设介质中的电场为 ，空气中的电场为 在介质分界面上由于 故边界条件zEe E00zEe E 12nnDD0s12nnsDD故上极板自由电荷面密度为000002()sUEd 故下极板自由电荷面密度为00102()snUDEd电介质中的极化强度为0000002()()()zUPDEEed 故介质下表面的极化电荷面密度为00002()()()spzU

8、P nPed 下故介质上表面的极化电荷面密度为00002()()spzUP nP ed 上（2）由于0002()sUQQSabd可得极板间电压为000()2dQUab 所以下极板极化电荷面密度为0spQab 下（）所以上极板极化电荷面密度为0spQab上（）（3）电容器的电容为0002()abQCUd 【思考】：同轴线的内导体半径为a,外导体半径为b，其间填充相对介电常数为 的介质。当外导体接地，内导体的电位为 时，求：rra0UED（1）介质中的 和 （2）介质中极化电荷分布（3）同轴线单位长度的电容。111 112121 12222121222.nnnnnnnnnnp qp qpp qp qpqqp qqp qp：11111222211221211222.:.nnnnnnnnnnqqq 111112122212122211221122.().():()().()(.)(nnnnnnnnnnnnnCCqqCCqCCCCCijp 称为电位系数，物理意义表示当导称为电位系数，物理意义表示当导体体j带带1库仑正电荷，而其他导体不带库仑