有理数乘方概念

1、有理数乘方22、73 也可以看做是乘方运算的结果， 这时它们表示数， 分别读作“2 的 2 次幂”、“7的 3 次幂”，其中 2 与 7 叫做底数（ base） ,2 与 3 叫做指数（ exponent ）。这种求 n 个相同因数 a 的积运算叫做 乘方（ power），乘方的结果叫做 幂（power），a 叫做底数（ base number）， n 叫指数（exponent ）。任何数的 0 次方都是 1，例： 3o=1（注： 0o 无意义）有理数乘方同底数幂法则同底数幂相乘除，原来的底数作底数，指数的和或差作指数。推导：设 am*an 中， m=2， n=4，那么a2*a4=（a*a ）

2、*(a*a*a*a)=a*a*a*a*a*a=a6=a(2+4)所以代入： am*an=a(m+n)用字母表示为：aman=a(m+n) 或aman=a(m n) （m、n 均为自然数）1）152153； 2 ）323438； 3 ）5525354 5901）152153=15(2+3)=1552）323438=3(2+4+8)=3143）5525354 590=5(1+2+3+90)=540951有理数乘方正整数指数幂法则ak=a*a*.*a（k 个 a），其中 kN*（即 k 为正整数）有理数乘方指数为0 幂法则a0=1 ，其中 a0 ， k N*推导：a0=a(1-1)=(a1)/(a1

3、)=a/a=1精选范本 ,供参考！有理数乘方负整数指数幂法则a(-k)=1/(ak)，其中 a0,k N*推导：a(-k)=a(0-k)=(a0)/(ak)=1/(ak)2有理数乘方正分数指数幂法则a(m/n)=，其中 n0 ， m/n0 ， m,n N*（即 m,n 为正整数）有理数乘方负分数指数幂法则a-(m/n)=，其中， am0（0，a0）， m/n0，n0， m,n N*推导：a-(m/n)=a(0-m/n)=(a0)/a(m/n)=1/a(m/n)=1/=分数指数幂时，当n=2k,k N*， 且 am0时，则该数在 实数范围内无意义特别地， 0 的非正数指数幂没有意义有理数乘方平方

4、差两数和乘两数差等于它们的平方差。用字母表示为：（ a+b）（ a-b)=a2-b2推导：(a+b)(a-b)=(a+b)a-(a+b)b=(a2+ab)-(b2+ab)=a2-b23精选范本 ,供参考！有理数乘方幂的乘方法则幂的乘方，底数不变，指数相乘。用字母表示为：（am）n=a(mn)幂的乘方特别指出 ：amn=a(mn)有理数乘方积的乘方积的乘方，先把积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘。用字母表示为：（ab）n=anbn这个积的乘方法则也适用于三个以上乘数积的乘方。如：（abc）n=anbncn有理数乘方同指数幂乘法同指数幂相乘，指数不变，底数相乘。用字母表示为：（an） *

5、（ bn）=（ab） n有理数乘方完全平方两数和（或差）的平方，等于它们的平方的和加上（或者减去）它们的积的2 倍。用字母表示为：（a+b） 2=a2+2ab+b2 或（ ab）2=a22ab+b2我们一般把前者叫作 完全平方公式 ，把后者叫作 完全平方差公式 。有理数乘方立方和a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)有理数乘方立方差a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)4有理数乘方多项式平方(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac精选范本 ,供参考！有理数乘方二项式艾萨克牛顿 发现了二项式。二项式是乘方里的复杂运算。右图为二项式计算法则。一般来说，二项式也可以这样表示

6、：11 11 2 11 3 3 11 46411 5101051这就是著名的 杨辉三角 。有理数乘方速算有些较特殊的数的平方，掌握规律后，可以使计算速度加快，现介绍如下。由 n 个 1 组成的数的平方我们观察下面的例子。12=1112=1211112=1232111112=1234321111112=1234543211111112=12345654321由以上例子可以看出这样一个规律；求由n 个 1 组成的数的平方，先由1 写到 n，再由 n 写到 1，即：11 1（ n 个 1） 2=1234(n -1)n(n- 1)4321注意：其中 n 只占一个数位，满10 应向前进位，当然，这样的速

7、算不宜位数过多。由 n 个 3 组成的数的平方我们仍观察具体实例：32=9332=10893332=11088933332=11108889333332=1111088889精选范本 ,供参考！由此可知：33 3（ n 个 3） 2 = 1111【 (n-1) 个 1】 0 8888【(n-1) 个 8】9个位是 5 的数的平方把 a 看作 10 的个数，这样个位数字是 5 的数的平方可以写成；（ 10a+5）2 的形式 。根据 完全平方式推导；（10a+5）2=（10a）2+210a5+52 =100a2+100a+25=100a（ a+1）+25=a（ a+1） 100+25由此可知： 个

8、位数字是 5 的数的平方，等于去掉个位数字后，所得的数与比这个数大 1 的数相乘的积，后面再写上 25。有理数乘方图示(25=2*2*2*2*2)1一、目标预设1、知识与技能（1）在现实背景中，理解有理数乘方的意义，叙述有理数乘方的概念；（2）能进行有理数的乘方运算。2、过程与方法 2变“幂”为“乘”是由转化的思想把新问题 （有理数乘方） 转化为旧知识 （有理数的乘法） 来解决。经历有理数乘方的概念的推导过程，体验乘方概念与有理数乘法的联系；3、情感、态度与价值观通过观察、类比、归纳得出正确的结论。发展综合运用所学知识的能力。二、教学重难点1、重点：在理解有理数乘方意义的基础上进行有理数的乘方

9、运算。2、难点：与所学知识进行衔接，处理带各种符号的乘方运算。三、教学准备精选范本 ,供参考！1、教具：多媒体2、预习建议：（1）乘方的定义。（2）乘方的初步运算。四、教学方法：引导探索法，尝试指导，充分体现学生的主体地位五、教学设计思路：教师给学生创设问题情境，鼓励学生积极参与，注重学生在认知过程中的思维，通过学生讨论、归纳得出的知识，比教师的单独讲解要记得牢，同时也培养学生归纳、总结的能力。然后通过一些练习来巩固这些知识。1、创设情境，引出课题听音频资料， 通过棋盘上的学问 一则故事，引入问题： 64 个二相乘怎么计算？吸引学生注意，为下文引入乘方的概念铺垫。师：到底国王傻不傻呢？大家先别

10、急着下结论，等大家学完了本节课程，就能回答这个问题了。请大家看细胞分裂示意图，由计算并用算式表示出第一次，第二次，第三次，第n 次分裂后细胞的个数，引入乘方的概念。师：有些时候，我们会遇到几个相同因数相乘的式子，比如五个2 相乘，我们要写很长，这样的式子有更简单的表示方式吗？2、自主学习，讲解定义（1）请大家阅读课本关于有理数的乘方这节课程的内容。（五分钟）（2）请大家在阅读的同时，思考屏幕上的三个问题：（板书课题：有理数的乘方）什么叫乘方？求 个相同因数的积的运算叫乘方用字母怎么表示？读作什么？每个字母表示什么？分别请学生回答相关的问题，培养学生自主学习的能力。注：乘方是一种和加减乘除一样的一种运算；指数 n 要以小写的形式写于底数的右上角；了解乘方的意义，从幂转为乘。（3）了解乘方的指数，底数，幂的定义乘方的结果叫做幂；在中，叫做底数，叫做指数。明确了表示 a 的幂的这个式子的结构之后，做几道口答题。看屏幕，用基础题来调动学生参与讨论回答的积极性，为后续学习热身。有理数乘方性质正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，0 的任何正整数次幂都得0.有理数乘方例题精选范本 ,供参考！某种细胞每过 30 分便由一个分裂成2 个。经过 5h，这种细胞由一个能分裂成多