求展开式系数的六种常见类型

1、.求展开式系数的六种常见类型求展开式中的系数是高考常考题型之一,本文以高考题为例，对二项式定理试题中求展开式系数的问题加以归类与解析，供读者参考。一 、 ( ab) n (nN) 型2 y)1064项的系数是（）例 1 (x的展开式中 x y（A）840（ B） 840（C）210（D）210解析：在通项公式 Tr1C10r (2y)r x10 r中令 r =4，即得 ( x2 y)10 的展开式中 x6 y4 项的系数为 C104 (2) 4 =840,故选 A 。例 2 (x1 ) 8 展开式中 x5 的系数为。xr8 r1rrr83 r3解析：通项公式 Tr 1()( 1)x，由题意得

2、8，C8 xC82r 5x2则 r2 ，故所求 x 5 的系数为 (1)2 C8228。评注：常用二项展开式的通项公式求二项展开式中某特定项的系数，由待定系数法确定 r 的值。二 、 (a b)n(c d ) m (n, m N ) 型例 3 (x 32) 4( x1 ) 8 的展开式中整理后的常数项等于.xxC4r ( 2) r ( x3 )4 r解 析 ； ( x32 )4 的 通 项 公 式 为 Tr 1C4r ( 2)r x12 4 r , 令xx124r 0 ，则 r3 , 这 时得 ( x32)4的展开式中的常数项为C43 23 = 32,x( x1 )8 的通项公式为 Tk 1C

3、8k ( 1 ) k x8 kC8k x82k ,令 82k0，则 k 4 ,这时得xx( x1 )8 的展开式中的常数项为 C84=70，故 ( x32) 4( x1 ) 8 的展开式中常数项xxx等于 32 70 38。例 4在(1x)5(1 x)6 的展开式中，含 x3 的项的系数是（）(A) 5(B) 5(C) 10(D) 10'.解析： (1x) 5 中 x3的系数 C5310 ,(1 x) 6 中 x 3 的 系 数 为3320 ,故 (1x)5(1 x)6 的展开式中 x3 的系数为 10 ,故选 D 。C6( 1)评注： 求型如 ( ab) n( c d ) m (n,

4、 m N ) 的展开式中某一项的系数，可分别展开两个二项式，由多项式加减法求得所求项的系数。三 、 ( ab) n (c d ) m ( n, m N ) 型例 5 (x21)( x2)7的展开式中 x3 项的系数是。解析： ( x2) 7 的展开式中 x 、 x 3 的系数分别为C71 ( 2)6 和 C73 (2)4 ，故( x 21)( x2) 7 的展开式中 x 3 项的系数为 C71 ( 2)6 + C 73 (2) 4 =1008。例 6 x 18）x 1 的展开式中 x5 的系数是（A） 14（B ）14（C）28（D） 28略解： ( x 1)8 的展开式中 x4 、 x5 的

5、系数分别为 C84 和 C85 ,故 x 1 x18 展开式中 x 5 的系数为 C84C8514 ,故选 B。评注：求型如 ( ab) n (cd) m (n, mN ) 的展开式中某一项的系数，可分别展开两个二项式，由多项式乘法求得所求项的系数。四 、 (ab c)n (n N ) 型例 7 ( x12) 5 的展开式中整理后的常数项为.2x解法一： ( x12) 5 = ( x1 )5C5k 22k ( x12 ，通项公式 Tk 1)5 k ,2x2x2x( x 1 )5 k的 通 项 公 式 为 Tr 1C5rk x r x5 k r 2 (5 k r )C5rk x5 2r k 2k

6、 r 5 , 令2x52r k0 ，则 k2r 5 ，可得 k1,r2 或 k3, r1或 k5, r 0 。1152当 k1, r2时，得展开式中项为 C51C42 2 2 2 2；2当 k3, r1时,，得展开式中项为 C53C21 2 2 2 1202 ；'.当 k5, r 0 时，得展开式中项为 C55 4 242 。综上， ( x12)5 的展开式中整理后的常数项为15 220 24 263 2。2x22解法二： ( x12)5 = ( x22 2x2)5 = ( x2)2 5= (x2)10 ，对于二2x2x(2x)5(2x)5项式 ( x2 )10 中， Tr 1C10r

7、 x10r (2) r ，要得到常数项需 10 r5 ，即 r5 。所以，常数项为 C105( 2)5632 。252解法三： ( x12)5 是 5 个三项式 ( x12) 相乘。常数项的产生有三2x2x种情况：在 5 个相乘的三项式 ( x12) 中，从其中一个取 x ，从另外 4 个三2x2项式中选一个取 1 ，从剩余的3 个三项式中取常数项相乘，可得xC511 C41 C33 (2) 3202 ；从其中两个取 x ，从另外 3 个三项式中选两个取1 ，22x从剩余的 1 个三项式中取常数项相乘，可得 C52 (1 )2C32215 2；从 5 个相22乘的三项式 ( x12) 中取常数

8、项相乘，可得 C55 (2)5 =42 。2x综 上 ， ( x12)5的展开式中整理后的常数项为2x20215242632 。22评注：解法一、解法二的共同特点是：利用转化思想，把三项式转化为二项式来解决。解法三是利用二项式定理的推导方法来解决问题，本质上是利用加法原理和乘法原理，这种方法可以直接求展开式中的某特定项。五 、 (ab)m(ab)m 1L(ab)n (m, nN ,1mn) 型例 8在 (1x)(1x) 2(1x) 6 的展开式中， x2 项的系数是。（用数字作答）解析：由题意得 x2 项的系数为 C 22C 32C 42C52C 6235 。例 9在 (1x)5(1x)6(1

9、x)7(1 x)8 的展开式中， 含 x3 的项的系数是'.()(A) 74(B) 121(C) 74(D) 121解析： (1x)5(1 x)6(1x)7(1x)8 = (1x)51(1 x)4 (1x)5(1x) 91(1x)x(1x) 5 中x4 的系数为 C545 ，(1x) 9 中 x 4 的系数为 C94126 , 126+5= 121,故选 D。评注：例 8 的解法是先求出各展开式中x2 项的系数，然后再相加；例9 则从整体出发，把原式看作首相为(1x) 5 ，公比为 (1x)的等比数列的前4 项和，用等比数列求和公式减少项数，简化了运算。例8 和例 9 的解答方法是求(

10、a b)m(a b)m 1 L (a b)n (m, n N ,1 mn) 的展开式中某特定项系数的两种常规方法。六 、求展开式中若干项系数的和或差例 10若 (12x) 2004a0a1 x a2 x2.a2004 x2004 ( xR) ，则 (a0a1 ) (a0a2 )(a0a3 )(a0a2004 )_ 。(用数字作答 )解析：在 (12x)2004a0a1 xa2 x2.a2004 x 2004 中，令 x0 ，则 a01，令 x1，则 a0 a1 a2a3a2004(1) 20041故 (a0a1 ) (a0a2 ) (a0a3 )(a0a2004 )=2003a0 + a0a1a2a3a20042004 。例 11 (2x3) 4a0a1x a2 x2a3 x3a4 x4 ，则 (a0a2a4 ) 2(a1a3 )2的值为（）(A) 1(B) 1(C) 0(D) 2解析：在 (2 x3)4aa xa x2a x3a x4 中，01234令 x1，可得 a0a1a2a3a4( 23)4，令 x1，可得 a0a1a2a3a4(23)4'.所以， (a0 a2a4 ) 2(a1a3 ) 2 = (a0a2a4a1a3 )(a0a2 a4a1a3 )= (a0a1 a2a3a4 )(a0a1a2a3a4 ) =(23)4 (23)4,故=1选