第五章大数定律与中心极限定理切贝谢夫不等式

1、第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理1 1 切贝谢夫不等式切贝谢夫不等式研究随机变量的离差与方差的关系。ed设随机变量 有期望值与方差。对任给 0,有2dp(|e |) 2dp(|e |)1 称为切贝谢夫不等式若 是离散证：型随机变量。kkp(x )p kk|xe |p(|e |)p(x ) k2kk2|xe |(xe )p 2kk2k(xe )p 2d若 是连续型随机变量。(x)的概率密度为p(|e |)p(e)p(e) ee(x)dx(x)dx22e22e(xe )(xe )(x)dx(x)dx 22(xe )(x)dx 2d1 设 是掷一颗骰子所出现的点数，若给定1

2、，2，实际计算p(| -e |),并验证切贝谢夫不例等式成立。1p(k),k1,2,.,66 解：7e2 35d12 72p12371p223235112 d时，235248 d时，2313021000设电站供电网有盏电灯，夜晚每一盏灯开灯的概率都是0.7，而假定开、关事件彼此独立，估计夜晚同时开着的灯数在6800与7200之间例的概率。令 表示夜晚同时开着的灯解：的数目。b(10000,0.7) 7199kk10000 k10000k 6801p(68007200)c0.7 0.3 用切贝谢夫不等式估计：enp 7000dnpq 2100p(68007200)p(|7000| 200) 22

3、1001200 0.951nniiii 1,.,n1e,d8,(i1,2,.,n),n3 若是 个相互独立，同分布的随机变量，。对于 写出 所满足的切贝谢夫不等式，并估计例p(| - |0,n充分大时，必有n+1 且nnnlimp(|0|) n1limpn n1lim 1n=1 n即依概率收敛于0n3设为例两点分布 n1aaa nn定义若存在常数 ，使对于任何 0，有limp(|0nlimpp1n 大量重复试验中，事件发生的频率接近于概率。若p(a)很小，则a发生的频率也很小如p(a)=0.001,约在1000次试验中，a发生一次在一次试验中认为a几乎不可能发生。这称为小概率事件的实际不可能性

4、原理。12inini 13 (),.a(i1,2,.)1limpa1n 定理辛钦大数定律 如果是相互独立有相同分布的随机变量,有e则对任意给定的 0，有12n,., 即的算术平均值依概率收敛于a实际应用中，对某一量a，在不变条件下重复测量n次，得到观察值x1,xnnii 1nxa1当 充分大时，可用作为 的近似值。n3 3 中心极限定理中心极限定理钉板试验研究在什么条件下，大量独立随机变量和的分布以正态分布为极限，这一类定理称为中心极限定理。一般地，若某项偶然因素对总和的影响是均匀的、微小的，即没有一项起特别突出的作用，则这些大量独立偶然因素总和的随机变量近似服从正态分布。212iiii,.e

5、a ,d 设相互独立，innii=1若每个 对总和 影响不太大，则当 很大时，近似服从正态分布。nnnn2iiiii 1i 1i 1i 1eea ,dd 由于nn2iii 1i 1na ,nii 1n2ii 1an(0,1)这就是如下的李雅普诺夫定理：212iiiiinii 1nii0ni 1n1.ea ,d,limp(a )x(x) nn2ii=1定理设 ， ，相互独立，若某个 对总和影响不大，令s 则1s例1 一个螺丝钉重量是一个随机变量，期望值是1两，标准差是0.1两。求一盒(100个)同型号螺丝钉的重量超过10.2斤的概率。100iiii1设第 个螺丝钉重量为 ，一盒重量为 解：211

6、00ii0.1,d0.1 ,.,相互独立，e100ii 1ee100() 两100ii 1dd1 n(100,1)近似服从正态分布p(102) 100p211001 p21 01(2) =0.02275例2 对敌人的防御地段进行100次轰炸，每次轰炸命中目标的炸弹数目是一个随机变量，其期望值为2，方差为1.69。求在100次轰炸中有180颗到220颗炸弹命中目标的概率。ii第 次轰炸命中目标的次数为解：100ii1100次轰炸命中目标的次数 100ii1ee200 100ii1dd169 d13 2n(200,13 ) p(180220) |200|20p131302(1.54) 10.876

7、4414848ii1.011,483设 ，相互独立，都是，上均匀分布。记 求p(例0.4)ii11,d212 法一：e解48ii1e24,d4 记 ,2n(24,2 ) 148因为 p(0.4) 1p0.448 p(19.2) 2419.224p220( 2.4) 01(2.4) =0.008158解法二：正态分布的线性函数也是正态分布48ii1ee48 1120.548i2i1dd48 11576212421n 0.5,240.50.40.5p(0.4)p112424 0( 2.4) =0.008158例4 某大型商场每天接待顾客10000人，设某位顾客的消费额(元)服从100,1000上的

8、均匀分布，且顾客的消费额是独立的，试求该商场的销售额在平均销售额上、下浮动不超过20000元的概率。ii第 位顾客消费额位 ，商场销解售额为：10000ii1ie550 2i1d(1000 100)12 2900122900e5500000,d1000012 550000020000p100 900100 9001212p(550000020000550000020000) 02(0.77) 1 0.56例5 计算机在进行加法时，每个加数取整数(四舍五入)，设所有取整误差是相互独立的，且它们都在-0.5，0.5上服从均匀分布。(1)若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？

9、(2)最少几个数相加在一起可使得误差总和的绝对值小于10的概率不超过90？121500(1). 解：ie0 i1d12 e0 d125 p(| 15) 1 p(| 15) |0|151 p125125 01 (2(1.34) 1) =0.18024(2)设有n个数相加12n.,e0 nd12 |0|10p(| 10)pnn1212 01021n12 0.90100.95n12即101.64n12n446解得二项分布可以看成多个0-1分布之和当n增加时，它以正态分布为极限。00ab(b)(a)bnpanpnpqnpq (2)积分极限定理：当n时p()02 ()(1)nknpnpq 定理拉普拉斯定

10、理局部极限定理：当时1p( =k)npq例6 10部机器独立工作，每部停机的概率为0.2，求3部机器同时停机的概率。设同时停机的数目为 ，它服从解：二项分布n10,p0.2np2npq1.265(1)直接计算33710p(3)c 0.2 0.80.2013 (2)用局部极限定理001knp132p(3)1.2651.265npqnpq 01(0.79)0.23081.265相差较大，这是因为n较小。n30一般要求例7 每颗炮弹命中飞机的概率为0.01，求500发炮弹中命中5发的概率。500发炮弹中命中飞机的数目 服解：从二项分布n=500 p=0.01np5npq2.225(1)直接计算554

11、95500p(5)c0.01 0.09 0.1763501knpp(5)npqnpq (2)用局部极限定理01552.2252.22501(0)2.2250.1793(3)由于n很大，p很小，也可用poisson分布计算np5 查表得p5(5)=0.175467比用正态分布更精确正态分布与poisson分布都是二项分布的极限分布。n 用正态分布要求：poissonn,p0,np 用分布要求：np(q)对 很大，或很小的二项分布(np5)用poisson分布近似计算比用正态分布精确实际应用更多的是积分极限定理废品数 服解：从二项分布n=10000p=0.005np50, npq7.0532n(5

12、0,7.053 )近似服从正态分布507050p(70)p7.0537.053 0(2.84) =0.9977例8 产品为废品的概率为p=0.005,求10000件产品中废品数不大于70的概率。例9 已知一次试验中p(a)=0.75,分别用切贝谢夫不等式与中心极限定理计算。(1)在1000次试验中，a发生的次数在700-800之间的概率。(2)n取多大时，才能使n次重复独立试验中a出现的频率在0.740.76间的概率至少为0.9？(1)a发生的次数 服从解：二项分布n=1000p=0.75enp750 dnpq187.5 用切贝谢夫不等式计算p(700800)p(|750| 50) 2187.5150 =0.925用正态分布计算p(700800)p(|750| 50) 75050p187.5187.502(3.65) 10.9997378 n(2) 次试验中a发生的次数 服从二项分布enp0.75n dnpq0.1875n 0.740.760.9要使pn用切贝谢夫不等式p 0.740.76p(0.74n0.76n)n p(|0.75n | 0.01n)20.1875n1(0.01n) 18751n 0.9n18750故用正态分布p 0.740.76p(|0.75n | 0.01n)n0.75n0.01np0.1875n0.1875n00.012n10.187