线性代数第四章第四节 线性方程组解的结构ppt课件

1、 第四节第四节 线性方程组解的构造线性方程组解的构造问题问题: 当解有无穷多时当解有无穷多时, 全部解能否可由有全部解能否可由有 限多解表示出来限多解表示出来 ?一一. 齐次线性方程组齐次线性方程组000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa(1)(1) 可用矩阵表示可用矩阵表示0AXmnmmnnaaaaaaaaaA212222111211 (系数矩阵系数矩阵)nxxxX21定理定理4.10 齐次线性方程组的解的线性组合也齐次线性方程组的解的线性组合也 为方程组的解为方程组的解.即即: 为为 的解的解 0AX21, XX 也为也为 的解的解

2、2211XcXc0AX定义定义 设设 为为 的解的解, 满足满足sXXX,210AX(1) 线性无关线性无关;sXXX,21 的任一解可由的任一解可由 线性表示线性表示.0AXsXXX,21称称 为为 的一个根底解系的一个根底解系sXXX,210AX根底解系能否存在根底解系能否存在?,)(nrAr定理定理4 对于对于n元齐次线性方程组元齐次线性方程组, 0AX假设假设那么根底解系存在那么根底解系存在, 且任一且任一根底解系中包含解的个数为根底解系中包含解的个数为. rn,)(nrAr证明证明 由于由于000212222111211mnmmnnaaaaaaaaaA0000000000000000

3、000100001000011212111rnrrnrnrcccccc)(nr nrnrrrrnnrrnnrrxcxcxxcxcxxcxcx112112211111同解方程组为同解方程组为nrrxxx,21现分别取现分别取的的 组值组值rn.100,010,00121nrrxxx.,21222211121121rnnnrrrrrrrrrcccccccccxxx从而得到原方程组的从而得到原方程组的rn个解个解.100,010,00121222212112111rnnnrnrrrrrrrrcccccccccrn,210AX为为的根底解系的根底解系.rn为为 个个.恣意两个根底解系等价恣意两个根底解

4、系等价, 故有一样个数解向量故有一样个数解向量,例例 求以下齐次线性方程组的一个根底解系：求以下齐次线性方程组的一个根底解系：000543321521xxxxxxxxx解解111000011110011A01000101001001153)(Ar235根底解系含有根底解系含有个解向量。同解方程组为个解向量。同解方程组为 0453521xxxxxx将解写为向量方式将解写为向量方式 根底解系为根底解系为.10101000110525525254321xxxxxxxxxxxx.10101,0001121例例 求求 的值的值, 使齐次线性方程组使齐次线性方程组000043231432421xxxxxx

5、xxxxx解解有非零解有非零解, 并求它的根底解系及普通解并求它的根底解系及普通解.系数行列式系数行列式,) 1(1100101110101121110010111101011A故当故当 时时, 方程有非零解方程有非零解.1系数矩阵系数矩阵0000000011100101行得得.10100111434321xxxxxx根底解系为根底解系为.1010 ,0111得普通解为得普通解为.10100111214321ccxxxx212413,( ,cccxcx令令为恣意常数为恣意常数),二二. 非齐次线性方程组非齐次线性方程组mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa2211222

6、2212111212111(2)矩阵方式为矩阵方式为 BAX 定理定理4.12(1) 假设假设 为为 的两个解的两个解, 那那么么 为对应齐次方程组为对应齐次方程组 的解的解.(2) 的通解可表为的通解可表为BAX .0 XX 为为 的特解的特解, 为为 的的 通解通解. 即即0AX0XBAX .22110rrXcXcXcXX21, XXBAX 21XX 0AX例例 求方程组求方程组631052372322543215432154321xxxxxxxxxxxxxxx解解 6131051237213211211A的通解的通解 (用根底解系与特解表示用根底解系与特解表示) 同解方程组为同解方程组为

7、 1212432541xxxxxx将解写为向量方式将解写为向量方式 000000101210112001.2121543435454321xxxxxxxxxxxx.10001010120012000011543xxx;10001,01012,00120321根底解系为根底解系为特解为特解为.000110通解为通解为 54321xxxxx.10065010210012100032321ccc321,ccc 为恣意常数为恣意常数. 例例 求求 的值的值, 使下述方程组有解使下述方程组有解, 并求普通解并求普通解bxxxxxxxxxaxxxxxxxxxx5432154325432154321334536223231解解 ba,baA133453622103112311111120000000000362210111111ba当当 时方程组有解时方程组有解, 此时此时2, 0ba000000000000362210111111A000000000000362210251101同解方程组为同解方程组为 36222554325431xxxxxxxx将解写为向量方式将解写为向量方式 .622352