数列求和课件

1、数列求和制作：刘松青数列的求和数列的求和一一 复习提问复习提问1 等差数列的前n项和Sn=？2)1(2) 1(1anandnnan2 等比数列的前n项和Sn=？) 1(1)1 (1) 1(1qqnqaqnanS3 平方数的前n项和Sn=n2222321) 12)(1(61nnn怎么求特殊数列的和呢？研究数列的前n项和的关键是分析数列的构成规律，而数列的构成规律反应在数列的通项公式。因此，求数列的和要：1、找到找准数列的通项公式、找到找准数列的通项公式2、观察分析数列的通项公式的特征。、观察分析数列的通项公式的特征。如果是等差或等比的求和，可直接用公式求解；如果是非等差非等比的求和，主要有两种思

2、路：1、转化的思想：即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成。2、不能转化的特殊数列，往往通过裂项相消法，错位相减法，倒序相加法等来完成。例题精析) 3n253111（）（、求下列各式的和例sxxxnxs11111232）（分析：项有什么特点？怎么看是不是通项？通?na13212122, 15 , 3 , 11nxnxxndaaaxn项，则设该数列有，且显然该数列是等差数列， ) 1(22)321)(1(nsnnn（2）项有什么特点？怎么看是不是通项？通?naxnxxxs13121112）（111nSnx时，）当（分析：要分x=1和x 1讨论Snx时，

3、）当（12) 1(1111111xxxxxnnn点评：运用公式法求等差数列和时，要特别注意找准它们的点评：运用公式法求等差数列和时，要特别注意找准它们的项数，求等比数列和时要特别注意它们的公比是否等于项数，求等比数列和时要特别注意它们的公比是否等于1 1，不知道，不肯定就要展开讨论。不知道，不肯定就要展开讨论。 练习：求和xxxnx32)1()1()1(22222xxxxxxnnSn1111111111个nSn(1) S=2+4+6+.+(2n+4)（2)S=1+（答案）（答案）二、分组求和法：二、分组求和法：对于某些数列，根据项的结构特征，可将数列的每一项分成若干项或把数列的项重新组合，或把

4、整个数列分成几部分，使其转化为等差数列或等比数列，再分别求和，然后相加求得。例2、求下列各式的和。（1） （2）)1()1()1(22222xxxxxxnnSn2222111)()1(222nxxxxxxannnnnn）（数列的公比展开讨论时务必不能忘记对等比我们求和个等比数列之和，但在显然该数列可分解为三)222()111()(242242xxxxxxnnSn9191210nna）通项（1）分析：通项an=?有什么特点？解答过程解答过程1111111111个nSn（2）练习：求下列各式的和个nnsns333333333)2(1813412211) 1 (22222112) 1(211)11

5、(212) 1()1814121()21 (11nnnnnnnnnnsna）解（) 1(492331)1 (2923223-23331nnnnnnSna）解（点评：设数列点评：设数列Cn=An+Bn,则当：则当：1.An、Bn都是等比都是等比数列时，数列数列时，数列Cn的的前前n项和可分组求和。项和可分组求和。2.An、Bn一个等差一个等差一个等比数列时，数一个等比数列时，数列列Cn的前的前n项和可分项和可分组求和。组求和。nnn11n1三三 裂项相消：即将数列的通项分成两个式子的代裂项相消：即将数列的通项分成两个式子的代数和，即数和，即a an n= =f f( (n n+1)+1)f f(

6、 (n n) )，然后累加时抵消中间的，然后累加时抵消中间的许多项，应掌握以下常见的裂项许多项，应掌握以下常见的裂项 ； ；例：求下列各式的和。 （1）Sn= （2）Sn=1)2(1141121222n12121531311nn)121121(21) 12)(12(1) 1 (:nnnnan分析)1211 (21)121121(21)5131(21)311 (21nnnSn1212121212nnnnan）（分析：112) 1212() 35() 13(nnnSn练习：求下列各式的和练习：求下列各式的和)22(21641421) 1 (nnSnnSn321132112111) 2()22121

7、(21) 22(211nnnnan）解（)22121(21)22121(21)6141(21)4121(21nnnSn) 1(22) 1(132112nnnnnan）解（)111 (2nSn点评：应用裂项法求和一般有两种形式，一种是点评：应用裂项法求和一般有两种形式，一种是“分母的不同因子按分母的不同因子按一定的顺序一定的顺序 可以排列等差数列的形式可以排列等差数列的形式”，在裂项相减后要除以等差数列，在裂项相减后要除以等差数列的公差，另一种是含有根号的形式，其根号中的数按一定顺序也可以排列的公差，另一种是含有根号的形式，其根号中的数按一定顺序也可以排列成等差数列。主要采用分母有理化的方法进行

8、裂项。成等差数列。主要采用分母有理化的方法进行裂项。四：错位相减法四：错位相减法求由等差、等比数列对应项相乘构成的新数列前求由等差、等比数列对应项相乘构成的新数列前n n项和时通常项和时通常采用采用“错位相减法错位相减法”以消掉中间项，方法是同乘以等比数列以消掉中间项，方法是同乘以等比数列的的“公比公比”，并错位相减。，并错位相减。例、已知例、已知an=(2n-1)4an=(2n-1)4n-1n-1, ,求数列求数列anan的前的前n n项和项和TnTn相减法比数列，故应采用错位分析：该数列是一个差12210214) 12(4)32(454341nnnnnaaaTn解：nnnnTn4) 12(

9、4)32(45434141321)444(24)12(13121nnnTnnnnnnnnn4)352(35)44(324)12(1)41)41(4(24)12(11nnTn4)9532(95练习：（练习：（1 1）已知）已知anan的通项的通项an=n3an=n3n n求求anan的前项和的前项和SnSn nxnxxxSn323212）求和，（433)412() 13(4332) 13(233)333(33233) 1(3231333) 1(333231) 1 (1113211321321nnnnnnnnnnnnnSnnnSnnnSnnnSn解效果好）（方程两边同时乘时，当时，当解xxxnxx

10、xSnxnnnSnxnn) 1() 1()11 (12) 1(3211)2(2点评：涉及到等比数列时，首先确定其公比是否是点评：涉及到等比数列时，首先确定其公比是否是1，不能确定就要讨论。，不能确定就要讨论。五、倒序相加法：五、倒序相加法： 在某些数列求和中，把式子前后顺序颠倒后相加可以相等于在某些数列求和中，把式子前后顺序颠倒后相加可以相等于一个确定的值，这就是倒序相加法求和。一个确定的值，这就是倒序相加法求和。例例 求证：求证：CnCn0 0+3Cn+3Cn1 1+5Cn+5Cn2 2+ +(2n+1)Cn+ +(2n+1)Cnn n=(n+1)2=(n+1)2n n（对称性）组合数满足分析CmnnmnC则令CCCCCsCCCCnnnnnnnnnnnnnnn)12()12(53,1210110CCCCnnnnnnnns0113)12()12(CCCnnnnnnnS) 112()312() 112(210)(22(10CCCnnnnnnns2)1(练习（练习（1 1）求证：）求证：Cn+2CnCn+2Cn1 1+3Cn+3Cn2 2+.+(n+1)Cn+.+(n+1)Cnn n=(n+2)2=(n+2)2n n （2 2）计算）计算Si