线性空间的定义学习教案

1、会计学1第一页，共16页。第1页/共16页第二页，共16页。12121122(,)(,)(,)nnnna aab bbab abab 1212(,)(,)nnk a aakakkakaP 而且这两种运算满足一些重要而且这两种运算满足一些重要(zhngyo)(zhngyo)的规律的规律, ,如如 空间空间Pn，定义了两个向量的加法和数量乘法：，定义了两个向量的加法和数量乘法： 在第三章在第三章2中，我们讨论了数域中，我们讨论了数域P上的上的n维向量维向量0()() ()0 1 ()()k lkl ()klkl ()kkk,nPk lP 第2页/共16页第三页，共16页。同样满足上述这些重要同样满

2、足上述这些重要(zhngyo)(zhngyo)的规律，即的规律，即 ( ), ( ), ( ) ,f xg x h xP xk lP ( )( )( )( )f xg xg xf x 数域数域P上的一元上的一元(y yun)多顶式环多顶式环Px中，定义中，定义了两个多了两个多项式的加法和数与多项式的乘法，而且这两种运算项式的加法和数与多项式的乘法，而且这两种运算( ( )( )( )( )( ( )( )f xg xh xf xg xh x ( ) ( )() ( )k l f xkl f x 1 ( )( )f xf x ( )( )0f xf x ( )0( )f xf x() ( )(

3、)( )kl f xkf xlf x ( ( )( )( )( )k f xg xkf xkg x第3页/共16页第四页，共16页。设设V是一个是一个(y )非空集合，非空集合，P是一个是一个(y )数域数域，在集合，在集合V中中定义了一种代数运算，叫做定义了一种代数运算，叫做加法加法：即：即对，对， ,V 在在V中都存在唯一的一个元素与它们对应，称为中都存在唯一的一个元素与它们对应，称为 的的和和，记为，记为 ；在；在P与与V的元素之间还的元素之间还与定义了一种运算，叫做定义了一种运算，叫做数量乘法数量乘法：即：即,VkP 在在V中都存在唯一的一个元素中都存在唯一的一个元素与它们对应，称与它

4、们对应，称为为 的的数量乘积数量乘积，记为，记为 如果加法和数量乘如果加法和数量乘k与.k法还满足下述规则，则称法还满足下述规则，则称V为数域为数域P上的上的线性空间线性空间：第4页/共16页第五页，共16页。加法满足下列加法满足下列(xili)(xili)四条规则：四条规则： 1 ()()k lkl 数量乘法数量乘法(chngf)(chngf)与加法满足下列两条规则：与加法满足下列两条规则： ()klkl （具有这个性质的元素（具有这个性质的元素0称为称为V的的零元素零元素） 数量乘法满足下列两条规则数量乘法满足下列两条规则 : ()() ()kkk ,V 对对 都有都有V中的一个元素中的一

5、个元素，使得，使得 ,V ; ;（称为称为 的的负元素负元素） 0 在在V中有一个元素中有一个元素0，对，对,0V 有有第5页/共16页第六页，共16页。3 线性空间线性空间(kngjin)的判定：的判定：1 凡满足凡满足(mnz)以上八条规则的加法及数量乘法以上八条规则的加法及数量乘法也也2线性空间的元素也称为线性空间的元素也称为向量向量，线性空间也称，线性空间也称向量空间向量空间但这里的向量不一定是有序数组但这里的向量不一定是有序数组称为称为线性运算线性运算就不能构成线性空间就不能构成线性空间 运算封闭但不满足八条规则中的任一条，则此集合运算封闭但不满足八条规则中的任一条，则此集合若集合对

6、于定义的加法和数乘运算不封闭，或者若集合对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者第6页/共16页第七页，共16页。例例1引例引例(yn l)1, 2中的中的 Pn, Px 均为数域均为数域 P上的线性空间上的线性空间例例2数域数域 P上的次数上的次数(csh)小于小于 n 的多项式的全体，再的多项式的全体，再添添的加法和数量乘法，构成数域的加法和数量乘法，构成数域 P上的一个线性空间，上的一个线性空间，法构成数域法构成数域 P上的一个线性空间，常用上的一个线性空间，常用 Pxn表示表示上零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘上零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘1110110 ( ),n

7、nnnP xf xaxa xaaa aP 例例3数域数域 P上上 矩阵的全体作成的集合矩阵的全体作成的集合, ,按矩阵按矩阵mn 用用 表示表示m nP 第7页/共16页第八页，共16页。例例5 5全体全体(qunt)(qunt)正实数正实数R R，kk aakk aa判断判断 R R是否是否(sh fu)(sh fu)构成实数域构成实数域 R R上的线性空间上的线性空间 . .1) 1) 加法与数量乘法定义为：加法与数量乘法定义为： ,a bRkR 2) 2) 加法与数量乘法定义为：加法与数量乘法定义为： ,a bRkR 例例4任一数域任一数域 P 按照本身的加法与乘法构成一个按照本身的加法

8、与乘法构成一个数域数域P上的线性空间上的线性空间第8页/共16页第九页，共16页。1）R不构成不构成(guchng)实数域实数域R上的线性空上的线性空间间. 不封闭，如不封闭，如 12212log12 R 2) R构成实数构成实数(shsh)域域R上的线性空上的线性空间间 首先，首先，R ，且加法和数量乘法对，且加法和数量乘法对R是封闭的是封闭的. .,kaRkR k aaR , ,且且 ak 唯一确定唯一确定 ,a bRababR , ,且且 ab 唯一确定；唯一确定； 事实上事实上, , 其次，加法和数量乘法满足下列算律其次，加法和数量乘法满足下列算律 ()()()( )( )()abca

9、bcab ca bcabcabc ababbaba 第9页/共16页第十页，共16页。 R， 111,aaa aR，即即1 1是零元；是零元； a R， 1a R，且，且 111aaaa 即即a 的负元素是的负元素是 ；1a 11 aaa ;a R； ()()()llklkklkl ak aaaakla;()()()k lklklklaaa aaak al a ()()()kkkkkkabkababa bab R R构成实数构成实数(shsh)(shsh)域域 R R上的线性空上的线性空间间 ;()()k ak b 第10页/共16页第十一页，共16页。即即n阶方阵阶方阵A的实系数多项式的全体

10、，则的实系数多项式的全体，则V关于关于(guny)矩阵矩阵例例6令令 ()( ) ,n nVf Af xR xAR 的加法的加法(jif)和数量乘法构成实数域和数量乘法构成实数域R上的线性空间上的线性空间证：证：根据矩阵的加法和数量乘法运算可知根据矩阵的加法和数量乘法运算可知()()(),()()f Ag Ah Akf Ad A 其中，其中，,( ), () kRh x d AR x 又又V中含有中含有A的零多项式，即零矩阵的零多项式，即零矩阵0，为，为V的零元素的零元素.以以 f(x) 的各项系数的相反数为系数作成的多项式记为的各项系数的相反数为系数作成的多项式记为f(x) , 则则 f(A

11、)有负元素有负元素f(A). 由于矩阵的加法与数由于矩阵的加法与数乘满足其他各条，故乘满足其他各条，故V为实数域为实数域R上的线性空间上的线性空间.第11页/共16页第十二页，共16页。2、 ，的负元素是唯一的，记为，的负元素是唯一的，记为- - V证明：假设证明：假设 有两个负元素有两个负元素 、 ，则有，则有利用利用(lyng)(lyng)负元素，我们定义负元素，我们定义减法：减法： 01010202证明证明：假设线性空间：假设线性空间V有两个零元素有两个零元素01、02，则有，则有0()()()0 0,0 () 第12页/共16页第十三页，共16页。两边加上两边加上 即得即得 0 0 0

12、； (0)0kkkk两边加上两边加上 k ；即得；即得k 00 ;( 1 )1( 1 )(1 1)00 两边加上两边加上 即得即得 ( 1); ()()kkkk 即得即得 两边加上两边加上 k().kkk 00,00, ( 1),()kkkk 3、 0(0 1),证明：证明：第13页/共16页第十四页，共16页。4、如果如果k0，那么，那么k0或或 0. 111()()00.k kkkk 证明：假若则证明：假若则0,k 1、P273：习题：习题(xt)31）2）4）2、证明：数域、证明：数域P上的线性空间上的线性空间V若含有一个非零若含有一个非零向量，则向量，则V一定含有无穷多个向量一定含有无穷多个向量.第14页/共16页第十五页，共16页。证证：设：设,0V且且12121