第二章随机向量的分布和数字特征习题集课

1、 第二章 随机向量的分布和数字特征的习题课一：选择题：1. 若随机变量 的分布函数为与则a ,b取值为（ ）时，可使F(x)=a-b为某随机变量的分布函数。 A.3/5,-2/5 B.2/3,2/3 C.-1/2,3/2 D.1/2,-3/2 分析：由分布函数在±的极限性质，不难知a,b应满足a-b=1,只有选项A正确。 答案 选：A2. 设 Xj(x),且j(-x)=j(x),其分布函数为F(x),则对任意实数a, F(-a)=( )。 A.1-d B. - d C.F(a) D.2F(a)-1分析：是偶函数，可结合标准正态分布来考虑； d F(a)F(0)；F(0)0.5；F(a

2、)F(-a)=1 答案 选：B3.设XN(,),则随着的增大，P(|X-|<)（ ）。 A.单调增大 B.单调减少 C.保持不变 D.增减不定 答案 选：C4.设随机变量X与Y均服从正态分布，XN(,16)，YN(,25),记PX4=,PY+5=,则（ ）正确。A.对任意实数，均有= B. 对任意实数，均有<C.只对个别的值才有 = D. 对任意实数，均有>答案 选： A5.设是随机变量且，则对任意常数，（）成立。分析： 答案 选：由，得 显然二：题空题1. 设在每次伯努里试验中，事件A发生的概率均为p,则在n次伯努里试验中，事件A至少发生一次的概率为（ ），至多发生一次的概

3、率为（ ）。答案 填：(1-(1-p); (1-p)+np(1-p)由伯努里概型的概率计算公式，据题意可知，事件A至少发生一次的概率为或，事件A至多发生一次的概率为=+2. 设随机变量Y在区间1，6上服从均匀分布，则方程有实根的概率为（ ）。 分析：方程有实根当且仅当0，即|Y|2,则P(|Y|2)=dx=0.8 答案 填：0.8 3. 设 X，对X的三次独立重复观察中， 事件X 0.5出现的次数为随机变量Y,则PY=2=( )。 分析：PX0.5=0.25,Y服从B(3,0.25)分布,则PY=2= 答案 填: 4. 设XB(2,p),YB(3,p),且PX1=,则PY1=( )。 分析：由

4、PX1=1-PX=0=，可得p=,则PY1=1-PY=0= 答案 填：5.设随机变量X服从均值为10，标准差为0.02的正态分布，设（x）为标准正态分布函数，已知（2.5）=0.993 8,则X 落在区间（9.95,10.05）内的概率为（ ）。分析：P9.95<x<10.05=P9.95-10<x-10<10.05-10=P-2.5<(x-10)/0.02<2.5=(2.5)-(-2.5)= 2(2.5)-1=2*0.9938-1=1.9876-1=0.9876 答案 填：0.98766. 设随机变量X的概率密度为 若k使得P X k =2/3,则k的取值

5、范围是（ ）。分析：画图！ 答案 填：1，37. 设随机变量Xf(x)=,-x+,则X F(x)=( )。 答案 填： 分析：当x0时，F(x)=dtdt当x0时，F(x)=dtdtdt8. 设XU(0,2),则Y=在(0,4)内的概率密度（ ）。均匀分布！ 答案 填：分析：当0y4时，此时，=注：由于Y=在(0,4)内是单调函数，可直接用公式做！9.设X的分布函数,则A=( ),P(|x|) =( )。 答案 填：1； 10. 设X的分布函数F(x)为： , 则X的概率分布为（ ）。分析：其分布函数的图形是阶梯形，故x是离散型的随机变量 画图答案： P(X=-1)=0.4,P(X=1)=0.

6、4,P(X=3)=0.2.11. 设随机变量X的概率密度函数则 E(X)=( ),=( ). 分析：由X的概率密度函数可见XN(1,),则E(X)=1，=. 答案 填：1；.12. 设随机变量X服从参数为2的泊松分布，且Z=3X-2, 则E(Z)=( ). 答案 填：4 泊松分布： 13. 设XN(2，)且P2<X<4=0.3,则PX<0=（ ）。 即,则 答案 填：0.214. 设随机变量X服从参数为1的指数分布,则（ ）.分析：首先知道EX1，关键求E（e-2X ）答案 填：15. 设X表示10次独立重复射击命中目标的次数且每次命中率为0.4,则=（ ）。 分析：XB(1

7、0,0.4),则答案 填：18.416. 设随机变量在区间上服从均匀分布；随机变量则（）。答案 填：17. 设一次试验的成功率为，进行100此独立重复试验，当（）时 ，成功次数的标准差的值最大，最大值为（）。 解：据题意可知，即令，得且 （答案： ） 18. 设，则（）。解： 。 答案 填：19. 设随机变量服从参数为的泊松（Poisson）分布，且已知，则（）。分析：参数为的泊松（Poisson）分布的期望和方差均为。由，得到E(X2)-3EX+2=1,2310 答案 填：120.设随机变量X的方差为2，则根据切比雪夫不等式有（ ）。 答案 填：21.设，则利用切贝谢夫不等式可知（ ）。 据

8、切贝谢夫不等式：由，得 答案：填三：计算题：1.设随机变量X在区间2，5上服从均匀分布，求对X进行的三次独立观测中，至少有两次的观测值大于3的概率。解：P(X3)=d x=,则所求概率即为2. 设某仪器有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命（单位：小时）均服从同一指数分布，其参数为1/600，求在仪器使用的最初200小时内，至少有一只电子元件损坏的概率。解：设随机变量表示第i只元件的使用寿命,i=1,2,3,则P 200= d 得所求概率为： 1 - 3. 设随机变量X的概率密度函数，求随机变量Y=1-的概率密度函数。解：Y的分布函数为=则 =注：由于是单调函数，可直接用公式做！4. 设随机变

9、量X的概率密度 = ， x0，求Y=的概率密度。解：当y1时，0当y1时，由于，则知当y1时，=0, 当y1时，=注：由于Y=在(1,)内是单调函数，可直接用公式做！5. 设随机变量X的概率分布为P(X=1)=0.2,P(X=2)=0.3,P(X=3)=0.5,写出其分布函数F(x)。 答案：当x1时，F(x)=0; 当1x2时，F(x)=0.2; 当2x3时，F(x)=0.5;当3x时，F(x)=1 6. 设随机变量X在区间1，2上服从均匀分布，求Y=的概率密度f(y)。答案：当时，f(y)=，当y在其他范围内取值时，f(y)=0.7. 对某地抽样调查的结果表明，考生的外语成绩（按百分制计）

10、近似服从正态分布，平均72分,且96分以上的考生数占2.3%。求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率。解：设X表示考生的外语成绩，且XN(72,),则P(X >96)=1-P(X 96)=1-()=0.023,即 ()=0.977,查表得=2，则 =12，即且XN(72,144)，故P(60X84)=P(-11)=2(1)-1=0.682excel计算的函数为 NORMINV NORMDIST8. 设测量误差XN(0，100)，求在100次独立重复测量中至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率，并用泊松分布求其近似值（精确到0.01）。解：由于XN(0，100)，则P(|X|19

11、.6)=1- P(|X|19.6)=21-(1.96)=0.05且显然YB(100,0.05),故P(Y3) =1- P(Y 2)=1-设l=np=100×0.05=5，且YP(5),则P(Y 3)=1- P(Y 2)=1-=0.8753489. 设一大型设备在任何长为t的时间内，发生故障的次数N(t)服从参数为lt的泊松分布，求：（1）相继两次故障之间的时间间隔T的概率分布；（2）在设备已无故障工作8小时的情况下，再无故障工作8小时的概率。解：（1） 只需求出T的分布函数F(t)：当 t< 0时，F(t)=P(T t)=0 当 t0时， F(t)=P( T t )=1-P(T

12、 >t)= 1-P(N(t)=0)= 可见T服从参数为l的指数分布。（2）P(T >16|T >8)=10.设X服从参数为2的指数分布，求证：Y=1-在0，1上服从均匀分布。证明： 由X的分布可见其有效取值范围是0，+),则Y的有效取值范围是0，1，从而：当y0时，F(y)=0; 当y 1 时，F(y)=1;当0y<1, F(y)=P(Y y)= P1-y =PX=1-=1-(1-y)=y对F(y)关于y求导数即得Y的密度函数： 故Y在0，1上服从均匀分布。11. 从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，其概率均为0.4，用X表示

13、途中遇到红灯的次数，求X的分布律、分布函数和数学期望。解：显然XB(3,0.4),其分布律为，i=0,1,2,3,分布函数为： ， E(X)= 12. 设，求随机变量的期望。解：由，可知 13. 设且与同分布，与独立，求：（1）值；（2）的期望。解：（1）由设且与同分布，与独立，可知当时，即与相矛盾，因而，即， 即 即，即，（不合题意，舍去）（2）。14. 由自动线加工的某种零件的内径（毫米）服从正态分布，内径小于10或大于12的为不合格品，其余为合格品，销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损。设销售利润（元）与销售零件的内径的关系为 问平均内径取何值时，销售一个零件的平均利润最大？解：由，

14、即且，可知由得 令，即即即，平均内径取时，销售一个零件的平均利润最大。15. 设一部机器在一天内发生故障的概率为，机器发生故障时，全天停止工作。一周五个工作日，若无故障，可获利10万元；若发生一次故障，仍可获利5万元；若发生两次故障，获利为零；若至少发生三次故障，要亏损2万元。求一周内的利润期望。解：设一周共五个工作日，机器发生故障的天数且 则： 所以一周内的利润期望为万元。16.设商店经销某种商品的每周需求量服从区间上的均匀分布，而进货量为区间中的某一个整数，商店每售一单位商品可获利500元，若供大于求，则削价处理，每处理一单位商品亏损100元，若供不应求，则从外部调剂供应，此时每售出一单位商品仅获利300元，求此商店每周最小进货量为多少，可使获利的期望不少于9280元。解：设一商店经销某种商品的每周进货量为且 当时， 当时，即 且 令，即，即，取。