拉格朗日插值公式--计算方法

1、2011-6-1考试答卷11.2 拉格朗日插值公式 -数值分析简明教程1、线性插值2、抛物插值3、一般情况2011-6-1考试答卷2首先考察线性插值的简单情形。 问题3 求作一次式p1(x)，使满足条件：p1(x0)=y0,p1(x1)=y1 从几何图形上看，y=p1(x)表示通过两点(x0,y0),(x1,y1)的直线。因此，一次插值亦称线性插值。上述简单的线性插值是人们所熟悉的，它的解p1(x)可表为下列点斜式 例2 已知 (3)解：这里x0=100，y0=10，x1=121，y1=11.令x=115代入（3）,求得y=10.71428，这个结果有3位有效数字（试与例1的结果相比较）.1、

2、线性插值001010)( 1xxxxyyyxp115y,11121,10100求2011-6-1考试答卷3 我们知道，线性公式（3）亦可表示为下列对称式 （4） 若令： 则有： p1(x)=y0l0(x)+y1l1(x) （5） 注意，这里的l0(x)和l1(x)分别可以看做是满足条件 l0(x0)=1 , l0(x1)=0 l1(x1)=1 , l1(x0)=0 的插值多项式.这两个特殊的插值多项式称作问题3的插值基函插值基函数数 （参考图1-1、1-2）. 式（5）表明，插值问题3的解p1(x)可以通过插值基函数l0(x)和l1(x)组合得出，且组合系数恰为所给数据y0,y1.101001

3、011)(yxxxxyxxxxxp1010)(xxxxxl0101)(,xxxxxl2011-6-1考试答卷4yxx10 x01l0(x)0 x1x01l1(x)图 1-1图 1-22011-6-1考试答卷52、抛物插值 线性插值仅仅利用两个节点上的信息，精确度自然很低，为了提高精确度，进一步考察下述二次插值。 问题4 求作二次式p2(x),使满足条件p2(x0)=y0, p2(x1)=y1, p2(x2)=y2 (6) 二次插值的几何解释是，用通过三点(x0,y0),(x1,y1),(x2,y2)的抛物线y=p2(x)来近似所考察的曲线y=f(x),因此这类插值亦称为抛物插值。2011-6-

4、1考试答卷6 为了得出插值公式为了得出插值公式p2(x),先解决一个特殊的二次插值问题：先解决一个特殊的二次插值问题：求作二次式求作二次式l0(x)，使满足条件，使满足条件 l0(x)=1 , l0(x1)=l0(x2)=0 （7） 这个问题是容易求解的，事实上，由式（这个问题是容易求解的，事实上，由式（7）的后两个条）的后两个条件知，件知，x1,x2是是l0(x)的两个零点，因而的两个零点，因而 l0(x)=c(x-x1)(x-x2) 再利用式（7）剩下的一个条件 l0(x0)=1确定系数c，结果得出 类似的可以构造出满足条件：l1(x1)=1,l1(x0)=l1(x2)=0 l2(x2)=

5、1,l2(x0)=l2(x1)=0。 )()()(2010200 xxxxxxxxxl2011-6-1考试答卷7 的插值多项式l1(x)与l2(x),其表达式分别为： 这样构造出的l0(x),l1(x)和l2(x)称作问题4的插值基函数 设取已知数据y0,y1,y2作为组合系数，将插值基函数l0(x),l1(x),l2(x)组合得： 容易看出这样构造出的p2(x)满足条件（6）。因而他就是问题4的解) 8 ()()()()()()()(2120210121010020102122yxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxxp)()()(,)()()(12021021201201xx

6、xxxxxxxlxxxxxxxxxl2011-6-1考试答卷8 例3 利用100,121和144的开方值求 解：用抛物插值，这里x0=100,y0=10,x1=121,y1=11,x2=144,y2=12.令x=115代人式（8），求得 近似值为10.7228.同精确值比较，这里得到有4位有效数字的结果。1151152011-6-1考试答卷93.一般情况 进一步求解一般形式的问题进一步求解一般形式的问题2.仿照线性仿照线性插值和抛物插值所采用的方法，仍从构插值和抛物插值所采用的方法，仍从构造所谓插值基函数入手造所谓插值基函数入手.这里的插值基函这里的插值基函数数lk(x)=0,1,2,n)是是

7、n次多项式，且满次多项式，且满足条件足条件 这表明除xk以外的所有节点都是lk(x)的零点故)9(, 1, 0)(kjkjxlkjjknkjjjkxxcxl0)()(2011-6-1考试答卷10 这里的含义是累乘， 表示乘积遍取下标j从0到除k以外的全部值. 利用插值基函数容易得出问题2的解 事实上由于每个插值基函数lk(x)都是n次式，pn(x)的次数n，又据（9）式有 即pn(x)满足插值条件（2）. nkjj0)10()()()(000knknkjjjkjnkkknyxxxxxlyxp inkikknyxlyxp0)()(2011-6-1考试答卷11n n, ,1 1, ,k k1 1, ,k k, ,0 0, ,j jt tt tx xj jx xk kx xj jx x开始开始输入输入x(xi ,yi ) , i=0,1,2,n0y0k1ty + tyk yK=n?k+1k=输出输出y结束结束图1-32011-6-1考试答卷