圆形球面虚共焦非稳腔的三维数值研究

1、第10卷第3期1998年8月强激光与粒子束HIGHPOWERLASERANDPARTICLEBEAMS.10,No.3VolAug.,1998圆形球面虚共焦非稳腔的三维数值研究王泰春付汉清(北京应用物理与计算数学研究所,计算物理实验室,北京8009信箱100088)摘要通过对1 2共焦腔和稳定腔的计算,考查了同三维菲涅耳积分方程相应的C28程序的可靠性。对激光在三维圆形球面虚共焦非稳腔中的传输作了计算和分析。取相同的远场传输距离且放大率由大变小时,强度分布由近场的投影分布逐渐趋于远场的高斯、超高斯分布。关键词三维菲涅耳积分方程组圆形球面虚共焦非稳腔近、远场强度中图分类号TN815.02三维积分

2、方程可以分解成两个二维积分方程的乘积1,因此在无源条件下可把二维积分方程的解2直接推广到三维方形球面腔。但是当谐振腔为圆形球面腔时,这种推广就不再成立,这时必须直接求解三维积分方程。激光在三维谐振腔中的传输问题同二维相比要复杂得多。许多重要效应(如反射镜倾斜等)对光场振幅和相位的影响都是三维问题。本文主要包括两(2)在均匀分方面内容:(1)考查了同三维菲涅耳(Fresnel)积分方程相应的C28程序的可靠性。布条件下,用C28程序对NF=5、放大率m=10、2.5和1.42的圆形球面虚共焦非稳腔进行计算和分析。积分方程Fig.1Coordinatesystemofnear2andfar2fie

3、ldforvirtualconfocalunstablecavity图1圆形球面虚共焦非稳腔近、远场坐标系在图1所示的坐标系中建立近、远场积分方程。在高斯单位制中i方向线极化的电场为i(kz-t)(1)E(r,t)=iRev(r)e式中,r是(x,y,z)的缩写。功率密度S(r,t)的分量公式为Sx(r,t)=0;Sy(r,t)=-4Ex(r,t)Bz(r,t);Sz(r,t)=4Ex(r,t)By(r,t)(2)磁场B(r,t)由式(1)求出,一般情况下横向磁场远大于轴向磁场,即By(r,t)Bz(r,t)。当存在增益时,横向流在增益介质中得不到放大,但轴向流可以从中获得能量得到放大。因此国

4、家自然科学基金和中国工程物理研究院科学基金资助项目1998年3月9日收到原稿,1998年5月26日收到修改稿。王泰春,男,1938年11月出生,研究员 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.348强激光与粒子束第10卷于是沿光轴方向且与光轴垂直的平面上的功率密度Sz(r,t)Sy(r,t)。v(r) 2cos25(r)+kz2t4为便于同文献3中的结果作比较,本文定义光场强度I(r)= v(r) 2。非对称谐振腔复数光场振幅v(r)满足积分方程组a1b1()()vx1,y1= v(x1,y1

5、) ei5x1,y1,x1,y1)dx1dy1L-a1-b1Sz(r,t)=v(x1,y1)=(3)() v(x,y) eLa2b2-a2-b211i5(x1,y1,x1,y1(4)dx1dy12221 2相位5(x 2-5(x1,y1)+k(x-k(1-1,y1,x1,y1)=-1-x1)+(y1-y1)+L1)。当镜面尺寸相等、曲率半径R1、R2且1=1=0时,方程(4)为方形平面镜腔的积分方程(本文中使用的有关符号及其意义凡未加说明的均与文献2中的相同);当R1,R20且0g1g20、R20且g1g21时,(4)式为凹凸非稳腔方程,其中当R1+R2=2L时,是虚共焦非稳腔的积分方程;当腔

6、对称时,式(4)就变成一个方程。当解达到稳定时,只有一个本征值,即复数光场振幅满足单程自再现。相反当腔为非对称腔时,式(4)有两个本征值,复数光场振幅满足双程自再现。用实、虚部分离方法把(4)中的第一个方程写成a1b1v(x1,y1)=() v(x1,y1) ei5N(x1,y1,x1,y1)dx1dy1=A(xB(x1,y1)(5)1,y1)+iL-a1-b1a1b1其中A(x1,y1)=() v(x1,y1) cos5(x1,y1,x1,y1)dx1dy1L-a1-b1a1b1B(x1,y1)=() v(x1,y1) sin5(x1,y1,x1,y1)dx1dy1L-a1-b1在(x1,y

7、1)处,221 2-1 v(x,5(xA(xB(x1,y1)(6)1,y1) =A(x1,y1)+B(x1,y1)1,y1)=tan1,y1)用完全类似的方法可简化第二个方程。远场积分方程与(4)式类似。用方程(4)对共焦腔和稳定腔求解时所用的基模高斯分布3为v(x,y,z) = v05(x,y,z)=-tanexp-w(z)2(x2+y2) w(z)-122()+()2zRzRw(z)(7)式中,w0为光腰半径,zR=kw22为瑞利长度,在位置z处的光束半径为w(z)=w01+(z 021 2zR)。2计算结果2.11 2共焦腔和稳定腔的计算结果由于共焦腔几何构形以光腰位置为中心完全对称,所

8、以只需计算一半。取文献4中的参数,初始条件由(7)式给出,在光腰处,当y1=0时,表1给出近场归一化振幅 v 和相对相位5随x。1的分布取随机抽样误差=0.10。表2给出在光腰处y0=1=1=0近场振幅和相位随x1变化的计算结果,表3给出y=0远场振幅的计算结果。 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.第3期王泰春等:圆形球面虚共焦非稳腔的三维数值研究表1半共焦腔近场 v 和5随x1变化的计算结果349Table1Thecomputationalresultsofnear-field v a

9、nd5asafunctionofthex1forthehalfconfocalcavityx1 cm0110-0.0250.9400.940-0.469-2-0.08750.4650.465-0.120-3-0.150.1080.105-0.0152-0.200.0220.018-0.138meansintegralequationanalyticvalueintegralequation vv 5 rad表2半共焦腔近场 v 和5随x1变化计算结果Table2Thecomputationalresultsofnear-field表3半共焦腔远场 v 随x变化计算结果v and5asafunc

10、tionofthex1forthehalfconfocalcavitywherey1=0x1 cmTable3Thecomputationalresultsoffar-field v asafunctionofthexforthehalfcofocalcavitywherey=0x cm01100.0250.100.8871.08-0.0630.9350.9160.1110.150.8890.906-0.1600.200.1250.1360.68 v v 5 rad01632193755000.5550.2440.1020.040 v(表中所列 v 和5的两个数值分别是x1位置处的结果,)可看

11、出,在高斯分布条件下,用积分方程求得的振幅同解析结果符合较好,相位除在边界附近差异较明显外,也基本符合。在10%抽样误差的随机分布条件下振幅为准高斯分布,相位也偏离高斯分布下的数值结果,这显然是为模拟自发辐射引入的非均匀初始分布造成的。高斯分布条件下一次往返就可实现自再现,且振幅和相位空间分布完全对称。随机分布条件下经多次往返才能实现自再现且偏离对称的空间分布,远场强度的发散角比高斯分布条件下的远场发散角更大,因此光束质量也更差。对稳定腔取文献3中的参数,由式(7)给出初始分布,在上游镜面处Np=1计算得到的 v 和5随x变化的结果见表4。表4稳定腔 v 和5随x1变化计算结果Table4Th

12、ecomputationalresultsofnear-field v and5asafunctionofthex1forthestablecavitywherey1=0x1 cm0-0.1581.000.9651.23-0.5520.6370.650-1.14-0.9460.2370.282-5.81-1.260.1000.105-10.7meansintegralequationanalyticvalueintegralequation v 1v 15 rad1.472.2圆形球面虚共焦非稳腔的计算结果取文献4中的参数,在均匀分布条件下图2、3、4分别给出NF=5、2.5和1.42m=10

13、、时,在输出镜面和相同传输距离处强度的空间分布(图中的横坐标为横向网格点数)。结果说明,近场强度的空间分布偏离均匀分布。当m=10时,强度极大值位于中心位置处且随x、y的增大缓慢趋于零;m=2.5时,除极大值位于中心位置处外,强度分布近似为高斯分布;m=1.42时,极大值偏离中心位置且随x、近场相位的空间分布除在y的增大较快趋于零。 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.350强激光与粒子束第10卷Fig.2Distributionofnear2andfar2fieldintensityun

14、dertheinitialconditionofuniformdistributionforNF=5,m=10图2NF=5、远场强度分布m=10均匀分布条件下的近、Fig.3Distributionofnear2andfar2fieldintensityundertheinitialconditionofuniformdistributionforNF=5,m=2.5图3NF=5、远场强度分布m=2.5均匀分布条件下的近、Fig.4Distributionofnear2andfar2fieldintensityundertheinitialconditionofuniformdistribut

15、ionforNF=5,m=1.42图4NF=5、远场强度分布m=1.42均匀分布条件下的近、求解边界附近数值较大外非常接近均匀分布。当m=10时,由于输出镜的尺寸仅为反射镜的1 10,所以输出光束为大圆环形空心束,加之传输距离较近,这时可近似地把光看成直线传播,所以在远场形成的强度分布为近场强度的投影;当m=2.5和1.42时,远场强度分别为高斯和超高斯分布。3结论1 2共焦腔和稳定腔的计算结果同解析解与文献3、4的数值结果符合较好。圆形球面 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.第3期王泰

16、春等:圆形球面虚共焦非稳腔的三维数值研究351共焦非稳腔的计算结果同文献4的结果符合较好;NF=5,m=10、2.5和1.42的计算结果符合短波长激光在虚共焦非稳腔中传输的基本规律。这说明C28程序正确可靠。当NF60以上用C28程序计算、分析三维虚共焦非稳腔问题时,因计算量太大,必须求解圆柱坐标中的二维3积分方程5或按虚共焦非稳腔的特点6把32DOSIFEL程序加以修改才能实现对NF140,m1.35的虚共焦非稳腔的计算。致谢作者同陈式刚研究员进行了有益的讨论,在此表示衷心感谢。参考文献1周炳昆,高以智,陈家骅等.激光原理(第二章).北京:国防工业出版社,19842付汉清,王泰春.强激光与粒

17、子束,1998,10(3):3243王泰春,王元璋,张治畴等.强激光与粒子束,1995,7(1):254RenschDB.ApplOpt,1973,13(11):25465SigmanAEandMillerHY.ApplOpt,1970,9(12):27296ChesterAN.ApplOpt,1973,12(10):2353THREE-DIMENSIONALNUMERICALSIMULATIONOFTHEVIRTUALCONFOCALUNSTABLECAVITYWITHCIRCULARMIRRORSOFSPHERICALSURFACESWangTaichunandFuHanqingInsti

18、tuteofAppliedPhysicsandComputationalMathematics,P.O.Box8009,Beijing100088ABSTRACTWeexaminedcarefullythereliabilityofC28codeaccordingto32DFresnelintegralequa2.Thetransmissionbehavioroftheshortwavelengthlaserinvirtualconfocalcavitywithcircularmirrorstionsofsphericalsurfaceswerecomputedandanalyzed.Underconditionofthesametransmissiondistance,thedistributionoffar2fieldintensitychangesfromtheprojectionofnear2field