中考数学探索性问题的解法

1、中考数学探索性问题的解法 随着应试教育向素质教育的转轨，加强对学生各方面能力考察的题目成了近年来各省市中考试题中的热门问题，探索性问题便是其中一类应运而生的新题型，这一类问题对培养学生的创造性思维、想象能力和探索能力有很大帮助。探索性问题又可分为结论探索型和存在探索型两种。 一、结论探索型问题此类题型一般是在给定题设条件下探求结论，它要求学生在对题设条件或图形认真分析的基础上，进行归纳，大胆猜想，然后通过推理、计算获得结论。例1、长方形的周长为24cm，面积为64cm2，则这样的长方体（ ）（A）有一个 （B）有二个 （C）有无数个 （D）不存在解：设长方体的长为a，宽为b,则a、b可视为x2

2、12x+64=0的两个根=(12)24×64=144256<0该方程无实根即a、b不存在,因此选（D）例2、在宽为a的纸带中剪出直径为a的圆5个，直径为的圆10个，排列方法如图1，计算所用纸带长度，请考虑能否再设计一种排列方法，使所用纸带的长度比原排列方法节省原材料？分析:通过图1观察易发现图中虚线部分具有典型性，为计算方便，取具有典型的部分（图2）进行分析，计算出结果。易知，在等腰三角形ABC中，BC边上的高为AD，原排列方法使用纸带长为通过计算启发我们，如果把小圆分别插到大圆中，采用如下的排列方法，（如图3）这时纸带长为可见改进后的排列方法比较合理例3、如图6、有四个动点P

3、、Q、E、F分别从正方形ABCD的顶点A、B、C、D同时出发，沿着AB、BC、CD、DA以同样的速度向点B、C、D、A移动。（1）证明四边形PQEF是正方形；（2）PE是否总过某一定点，并说明理由；（3）四边形PQEF的顶点位于何处时其面积有最大值、最小值，各是多少？解:（1）证明 由已知易得AFPBPQCQEDEF，FP=PQ=QE=EF；又由BPQ=AFP，得BPQ+APF=AFP+APF=90°，FPQ=90°，四边形PQEF是正方形。（2）连结AC交PE于O，AP=EC，APCE是平行四边形，O是AC的中点，即PE总过AC的中点O。（3）由（2）知正方形ABCD与P

4、QEF的对角线交点重合，因此，要使PQEF的面积最小，只需OP最小即可，所以由点O向ABCD的各边作垂线，其垂足就是各边的中点P、Q、E、F，此时PQEF的面积最小，为AB2；而当P、Q、E、F与A、B、C、D重合时，OP最大，PQEF的面积最大，最大值AB2。例4、如图7，在直角坐标系中，点O的坐标为（2，0），O与x轴交于原点O和点A，又B、C、E三点的坐标分别为（1，0），（0，3），（0，b），且0<B<3。（1）求点A的坐标和经过B、C两点的直线的解析式；（2）当点E在线段OC上移动时，直线BE与O有哪几种位置关系？并求出每种位置关系时，b的取值范围。 解:（1）由已知易

5、得点A坐标为（4，0），过B、C两点的直线的解析式为y=3x+3（2）由0<B<3得点E（0，B）在线段OC的内部，因此，当点E在线段OC上由O向C移动时，B的值从0逐渐增大到3，相应地直线BE与O的位置关系由相交变到相切，再变为相离，所以共有相交、相切、相离三种不同的位置关系。< p> 设当点E在OC上移动至某处，恰使直线BE切O于M，连结OM，则OMBM，OM=2又BO=BO+O O=3在RtBM O中，BM=又在RtBOE和RtBM O中，EBO=OBMRtBOERtBM二、存在探索型问题这类问题是在题设条件下探索相应的数学对象是否存在，它要求学生充分利用题设条件

6、，通常是先在“假设对象存在”的前提下，根据条件下进行计算或推理，从而对“是否存在的数学对象”作出正确推断。例1、有一矩形ABCD（如图4），取AB，CD的中点M，N，连MN。（1）问矩形ABCD与矩形AMND是否相似？（2）是否存在这样的矩形，使其连续对折得到的矩形都相似？如果存在，请求出这样的矩形长、宽之比；如果不存在，请说明理由。解:（1）矩形ABCD与矩形AMND不相似。（2）由（1）可知并不是所有矩形对所折得到的矩形相似。假设存在这样的矩形ABCD，如图5，E、F分别是AB、CD的中点，连结EF，若矩形ABCD矩形ADFE，则这就是说，这样的矩形长宽之比应为现在我们证明若矩形ABCD中

7、，对折后，得另一矩形ADFE，如图5，则矩形ABCD矩形ADFE。因此，长宽之比为的矩形，其对折、连续对折得到一系列矩形都相似。例2、如图8，在ABC中，BC=6，C=45°，在BC边上有一动点P，过P作PDAB与AC相交于点D，连结AP，设BP=x，APD的面积为y。（1）求y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；（2）P点是否存在这样的位置，使APD的面积等于ABP面积的？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由。解:（1）过点P作PMAC，垂足为MP点只在BC上移动且不与B、C重合，从而函数自变量x的取值范围0<X<6。< p> （2）假设P点在位置存在，过点A作ANBC，垂中为N，则例3、已知点A(1，1)在抛物线y=(k21)x22(k2)x+1上，（1）求抛物线的对称轴；（2）若B点与A点关于抛物线的对称轴对称，问是否存在与抛物线只交于一点B的直线？如果存在，求符合条件的直线；如果不存在，说明理由。解:（1）把点A的坐标代入抛物线方程并解得k=3或k=1。k210 k=1舍去y=8x2+10x+1 对称轴为x=（2）设点B坐标为(a，b)点B与A(1，1)关于x=对称。a=(1)得a=，b=1点B坐标为(，1)假设存在直线y=mx+n与抛物线y=8x2+10x+1只交于点B(，1)，则m+n=1又由解得8x2