分块矩阵的三角分解与局部重新分解

1、分块矩阵的三角分解与局部重新分解及其在电力系统中的应用一、 引 言众所周知,矩阵的三角分解法是一种非常有效的手段,已广泛应用于电力系统应用程序,诸如：潮流（牛顿-拉夫逊法）、快速解藕潮流、状态估计、安全分析、最优潮流、暂态稳定等。本文对分块矩阵的三角分解与局部重新分解列出了几种算法,作了论证和分析比较,并给出了在电力系统中的应用二、 分块矩阵的分解方法方法1、 按行列逐一形成法对于非奇异n阶方阵,可分割成分块矩阵：式中,12,和22分别为n1阶和n2阶方阵, n1+ n2=n, 11又为非奇异阵,L1和U1分别为下三角阵和上三角阵。分块矩阵的划分由一组正整数n1, n2, , nq确定,且n1

2、+ n2+ + nq=n。将写作（1）,并根据式（1）记：则又可将（1）分割成分块矩阵：式中，和分别为n1阶和n1- n2阶方阵，为非奇异阵。再记 逐次作类似上述处理,矩阵便得（推导略）：式中,子矩阵都是n1阶方阵,q=n/ n1是正整数。若n1, n2, nq不尽相等,也可作类似处理。若为对称矩阵,则U=。若为关联对称矩阵,则U,但稀疏结构相同。方法2、直接计算法将、L、D和U写成展开形式,就不难证明可由下列诸式来表述式(5(如果,k=1,2 ,q都非奇异,因而可藉以直接计算。式中, k=1,2 ,q,分块矩阵的划分由一组正整数n1, n2, nq确定,且n1+ n2+ + nq=n。在电力

3、系统应用程序中,矩阵是稀疏的,子矩阵、有很多是零阵,作LDU分解后所得的三角矩阵也有高度的稀疏性。在很多程序中, n1= n2= =nq=2。方法3、简单局部重新分解法只重新分解矩阵元素变化了的子矩阵,如图1的阴影部分。即从矩阵元素开始有变化的k值起用式（9）-（12）计算一遍。因此,要更新的子矩阵的大小以及重新分解的工作量取决于变化了的矩阵元素所处的位置,如接近矩阵顶部,则重新分解的工作量节约甚微以至没有。方法4、特殊排序的简单局部重新分解法通过特殊排序,将变化了的矩阵元素集中到矩阵右下部,从而可减少重新分解的工作量。但有可能严重地降低了矩阵的稀疏性,从而又增加计算量。方法5、 重新分解有关

4、行列图2示电力系统牛顿一拉夫逊法潮流计算的有关情况。图2a为单线结线图。图2b为导纳矩阵结构,其中黑点表示非零元素。图2c为下三角矩阵结构,其中黑点表示与图2b对应的非零元素,圆圈表示三角分解时产生的非零“注入”元素。由电力系统理论可知,雅可比矩阵的稀疏性与系统导纳矩阵是一样的,雅可比矩阵常以2阶方阵作为子矩阵（元素）以构成分块矩阵。由式（9）可见,k=7,i=5,虽然=0，但0，因而0。设矩阵已作LDU分解,现在、变化了(设电力系统节点3与5之间有双回线,一回断开,则:按方法3,重新分解第3一8行列;按方法4,将节点号 3、5改成大的节点号(例如7、8,然后重新分解;按本法(方法5,只需重新

5、分解第3和第5一8行列.因为根据式（9）-(11可知,随着和的改变, 、将相应变化。重新分解的行列号可由补路径图（图3）得到。图2 8节点的网络（a） 实际系统图；（b）导纳矩阵结构； （c）下三角矩阵结图3 8节点网络的路径图三、 在电力系统中的应用举例1、 牛顿一拉夫逊法潮流计算潮流计算是应用极其广泛的,它是在向量F和雅可比矩阵J已知的情况下,用三角分解法求解下列方程中的向量X。如果J只有部分以至少量子块发生变化,则可作局部重新分解。本文建议,对#节点和#3节点各考虑两个方程,它们的雅可比矩阵的子块分别为: 式中，i、j是 节点号；P、Q分别为有功功率和无功功率；e、f分别是电压的实部和虚部；V是电压的模。这样,在节点类别变换时不致发生的结构性变更。2、 稳态状态估计加权最小二乘法稳态状态估计的基本关系式：信息阵和向量B已知,求向量X。A划分为22阶的子矩阵：式中,i、j、e、f的含义与式（44）中相同,Zk为第k个量测,m为测量总数。为Zk的方差。也可应用分块矩阵的三角分解或局部重新分解。四、 结论很多问题应用分块矩阵的思想