一元微积分几何应用ppt课件

1、6.4 一元微积分的几何应用 -面积、体积、弧长一、平面图形的面积三、平行截面面积为已知的几何体的体积二、旋转体的体积四、弧长及其计算方法五、旋转体的侧面积 : ,具有可加性要求所计算的量在应用微分元素法时A , 个子区间上部总等于它在该区间的各量上即在区间Ab,a . 的和分量A : 的步骤如下求量 A ; d , , ) 1 (xxxba中任取一小区间在区间 , )2(记为近似值在小区间上的部分量的求出AA )d)(d ( d)(xxfAxxfA微分元素为 , )3(上的值在区间计算定积分求出量baA . d)(d babaxxfAA )( , , , 为面积元素则微分元素任取baxxxx

2、xxAdxxgxfAd| )()(| d , 所求面积为于是baxxgxfA d | )()(| Oxy)(xfy )(xgy ax bx ab直角坐标系中平面图形的面积dy, cy)y(x),y(x 及求由连续曲线 积的计算公式为所围成的平面图形的面)( . dcyyyAdc d| )()(| 例1解解 .22平面图形的面积所围成的与直线求曲线 yxxyOxy2xy 2 yx21AB ) 1 (求积分区间 联立方程组 2xy 2 yx . ) 1 , 1 ( ),4 , 2( :BA 求得交点 . d)2(d )2(2xxxA微分元素 )3(计算面积 . 2 14 322d)2(1 2321

3、 2 2xxxxxxA有何想法?例2解解 .2,2平面图形的面积所围直线求曲线xyxyxy Oxyxy2xy 2xy : ) 1 (求积分区间 )2(微分元素 )3(计算面积 联立方程组 2xy xy 2xy 2xy xy 2xy . )0 , 0( ),4 , 2( ), 1 , 1 ( OBA求得交点为AB12 . 2 0,2 1,1 0, 积分区间为 ; dd)2(d , 1 , 0 xxxxxA中在 . d)2(d , 2 , 1 2xxxA中在 . 6 7d)2(d)2(2 1 21 0 xxxxxxA例3解解. 平面图形的面积所围成的与直线求曲线422 xyxyOxyxy224 x

4、yAB ) 1 (求积分区间 联立方程组xy224 xy . )4 , 8( , )2 , 2( BA求得交点为 : 由图可以看出 . 为积分变量好为积分变量比选择选择xy )2(求微分元素. d)21)4(d2yyyA )3(计算面积 . 18d)21)4(4 2 2yyyA . 4 , 2 y积分区间为2参数方程形式下平面图形的面积 :出如果曲线由参数方程给 . , )( , )(ttytx .处理即可积公式按定积分换元法则将直角坐标系下的面 . )( )( 件满足定积分换元法的条和此时要求函数tt例4解解 .积所围成的平面图形的面 20 ,sin ,cos 33ttaytax求星形线Ox

5、ya223 , 只需求出由对称性 , 1然第一象限中的面积A . 4 即可后乘以 ) 1 (积分区间 . 02 : , 0 :tax时 )2(微分元素 . dcossin3)cosd(sind |d242331tttatataxyA )3(所求面积0 2 242 0 1d)cossin3(4d | 44tttaxyAAa. 8 3dsin)sin1 (1222 0 422attta t例5解解 )cos1 ( ),sin( 的第一拱求由摆线tayttax . )20(积所围成的平面图形的面与横轴 xtOxya2a ) 1 (求积分区间 .20 : , 20 :tax时 )2(求微分元素 d |

6、 dxyA )sin(d()cos1 (ttata .d)cos1 (22tta )3(计算面积2 0 222 0 d)cos1 (d|ttaxyAa .3d)coscos21 (22 0 22attta t3极坐标系中平面图形的面积Oxd , )( rrr及射线求由曲线 )( 所围成的平面图r , ,为积分变量取形的面积时 . , 剩下的问则积分区间为 .积分值题是求微分元素和计算)(rr , 面积元素为从而 )( . d)( 2 1d2微分元素rA )( rrrr,)(及射线求由曲线 积的计算公式为所围成的平面图形的面 .d)( 2 1d 2 rAA对应 从 0 变例例5. 计算阿基米德螺

7、线计算阿基米德螺线解解: :)0( aarxa 2o dd)(212a20A22a331022334a点击图片任意处点击图片任意处播放开始或暂停播放开始或暂停到 2 所围图形面积 . ttadcos82042例例6. 计算心形线计算心形线所围图形的面积 . 解解: :)0()cos1 (aarxa2o dd)cos1 (2122a02A02ad2cos44(利用对称性)2t令28a43212223aoxya心形线心形线(外摆线的一种外摆线的一种)2222yxaxayx即)cos1 ( ar点击图中任意点动画开始或暂停 尖点:)0,0( 面积:223a 弧长:a8参数的几何意义2coscos21

8、)2cos1 (21aa2oxyd)cos1 (2122a例例7. 计算心形线计算心形线与圆所围图形的面积 . 解解: : 利用对称性利用对称性 , ,)0()cos1 (aar2221aA22221aad)2cos21cos223(所求面积)243(2122aa22245aa ar 2a2sin2a例例8. 求双纽线求双纽线所围图形面积 . 解解: : 利用对称性利用对称性 , ,2cos22ard2cos212a404A402a)2(d2cos0则所求面积为42a考虑考虑: : 用定积分表示该双纽线与圆用定积分表示该双纽线与圆sin2ar 所围公共部分的面积 .2Adsin2026ad2c

9、os21462ayox44答案答案: :例6解解 . 2sin 积所围成的平面图形的面求曲线ar . 4 , ,11AAA则积计算出第一象限中的面由对称性 . 2 , 0 ) 1 (积分区间微分元素 )2( . d)2sin(21d21aA )3(计算面积 d)2sin(21442 0 21aAA . 2d2 4cos1 222 0 2aa例7解解 cos1 cos3 所围成的与心形线求圆rr .平面图形的面积 .2 , ,11AAA则求出上半部分的面积由对称性 ) 1 (联立方程组求积分区间cos3rcos1r 2 1cos3 ,cos1 , 30 r曲边为时当 )2(微分元素 .d)cos

10、1 (21d21A ,cos3 ,2 3 r曲边为时当 .d)cos3(21d21A例7解解 cos1 cos3 所围成的与心形线求圆rr .平面图形的面积 .2 , ,11AAA则求出上半部分的面积由对称性 )3(计算面积12AA 2 3 23 0 2d)cos3(21d)cos1 (2124 5 Ox)(1rr )(2rr A如何计算? .d| )()(|21d2221rrA. d| )()(|21 2221rrAOxy1ABab)(xfy xxx )(在区间计算连续曲线xfy 轴所围成的平面图形以及 xbx 转体的轴旋转一周所产生的旋绕 x .体积 , ,axABba与直线上的一段弧 .

11、 ,bax :积分区间 :微分元素 .dd2xyV .d)(d2xxfV :计算体积 d baVV .d 2baxy2 , )( 上的一段弧在区间计算连续曲线dcyx . 转体的体积轴旋转一周所产生的旋绕 x , 轴所围成的平面图形以及与直线ydycyAB :类似于上面的作法可得 . ,dcy :积分区间 :微分元素 .dd2yxV .d)(d2yyV :计算体积 d baVV .d 2baxy例8解解 , 1 2222轴旋转一周所生成的绕轴绕求椭圆yxbyax .旋转体的体积Oxyaabb )( ) 1 (只需用上半椭圆轴旋转绕 x . ,aax :积分区间 :微分元素 dd2xyV . 3

12、 4d)( d2 2222 abxxaabVVaaaa .d)(2222xxaab :计算体积 )( )2(只需用右半椭圆轴旋转绕 y . ,aax :积分区间 :微分元素 dd2yxV . 3 4d)( d2 2222 bayybbaVVbbbb .d)(2222yybba :计算体积OxyaabbOxy22xyxy 11Mx例9解解 2 2轴所以及与抛物线求圆弧yxyxy , 轴旋转一周所生成的旋绕轴围成的平面图形绕yx .转体的体积 ) 1 (轴旋转绕 x :积分区间 :微分元素 d)()2(dd2222xxxxyV .67d)2( d 21 0 aaxxxVV :计算体积 .之差可视为

13、两个旋转体体积xy 22xy) 1 , 1 ( M交点 .1 , 0 x圆环的面积Oxy22xyxy 11M ) 2 (轴旋转绕 y :积分区间 :微分元素 .dd)(dd42221yyyyyxV d d2 1 21 0 121VVVVV :计算体积 . 2 , 1 1 , 0y , 1 0, 上在区间 .d)2(dd222yyyxV , 2 1, 上在区间 .15 22220 d)2(d 2 1 21 0 4yyyy ?有其它的计算方法吗Oxy22xyxy 1M ) 2 (轴旋转绕 y , 0 ,1 , 0 ,xx如图所示xxx , 小矩形生成轴旋转时平面图形绕 y , 故微分的空心圆柱体一

14、个壁厚为 x 元素为 .d)2(2d2xxxxV 周长 高 厚 .1522220d)2(2d 1 0 21 0 xxxxVV 于是例10解解 )2(0 )cos1 ( ),sin( ttayttax的第一拱求摆线 . 转体的体积轴旋转一周所生成的旋绕 xOxya2a ,式这是曲线的参数方程形 .法处理我们可以按照积分换元 ,d 2baxyV由 ),cos1 ( ),sin( 且则令tayttax ,20 :ax .20 :t d 2 0 2axyV故 d)cos1 ()cos1 (2 0 22ttata .5d)cos1 (32 0 33atta展开 ).( xSxA轴的平面所截得的面积被垂直

15、于设几何体Oxyabx )(xS , ), ,()( 上的体积为位于区间则几何体若baAbaCxS .d)( baxxSV 微分元素 d)(xxS例11解解 , ,的线段为顶以平行且等于该圆直径求以圆为底 . 的正劈锥的体积高为 hOxyhxaayh| y| y . | ) |2(21)(22xahhyhyxS222ayx . |22xay例11解解 , ,的线段为顶以平行且等于该圆直径求以圆为底 . 的正劈锥的体积高为 hOxyhxaay :积分区间 :微分元素 :计算体积 . ,aax .dd22xxahVaaxxahV 22d cos ax 令 .21dsin 2 0 22ahah正劈锥

16、的体积等于同底、同高的圆柱体体积的一半.1 平面曲线弧长的定义OxyABBMMMMAnn , ,1100M1M1nMnM1iMiMa1x1ixix1nxb , 任意取分点上在弧AB : 个小段弧分成将nAB ). , 2 , 1 ( 1niMMii , |111niiiniiMMs .max | . | 111iniiiiiiissMMMMs记的长度为弦其中 , , lim 10|是可求长的则称曲线存在若极限ABsniis . 的长度极限值为曲线 AB注：导数连续的光滑曲线是可求长的。2 式平面曲线弧长的计算公 , , , )( 分别其端点为光滑曲线设BAbaxxfy , 则该曲线弧的长度为和

17、对应于bxax . d1 2baxys 的方程为设曲线 L )(ty )(tx ,的起终Lt . tt和点别对应于 0,)()( ), ,()( ),( 221ttCtt且若函数 .d)()( 22ttts , 其弧长为是可求长的则曲线 L . )( : rrL的方程为极坐标形式设曲线 , ), ,()( 1其弧长为是可求长的则曲线若函数LCr . d)()( 22rrs : )( 可化为参数形式方程rr cos)(rx sin)(ry例12解解 ,中的钢筋形状为抛物线建筑中所使用的鱼腹梁 0).( ,2axay可将其方程表示为适当选取坐标后 ). ( , 见图之间的钢筋长度求在bbOxybb

18、2xay d)(1 22bbxxas d)2(1 2bbxax d)2(1 2 0 2bxax ).41 2ln(2141 2222baabababMatlab 或者用可查积分表例13解解 ).( sin ,cos abtbytax设椭圆方程为 .求计算椭圆全长的公式 . ,弧长只需计算第一象限中的由椭圆的对称性 d)sin()cos( 42 0 22ttbtas dcos1 42 0 2222ttaba .dcos1 42 0 22ttka)( 222椭圆离心率abak椭圆积分该积分称为 椭圆积分表2 0 222 0 22d)cos211 ( 4 dcos1 4 ttattas于是)411

19、(22a例14解解 . )0 ,2(0 )cos1 ( 的整个弧长求心形线aar d)()( 0 22rrs d)sin()cos1 ( 0 222aa d)cos1 (2 0 2a d 2cos4 0 22a d2cosd2cos22 0 a . 8a例15解解 )cos1 ( ),sin( 的第一拱的长为求分摆线tayttax . 3:1的点的坐标 摆线的第一拱全长为 dsin)cos1 (2 0 22tttas .8d2sin22 0 atta ,24 , 0 , 00asttt上曲线的长度为则在设分点的坐标对应于0 0 d2sin22 tttaa即有 . ) 2cos1 (40ta .32 ,212cos 00tt由此得 .23 ), 2332 ( 00ayax故分点的坐标为弧微分的几何意义Oxyxxxdxdyd) ,(