二维信号与系统的傅立叶分析

1、第二章 二维信号与系统的傅立叶分析本章讨论二维光场的傅里叶分析方法。§2-1 光波的数学描述一、 平面波的复振幅因为光是电磁波，一般说光场分布和光效应应该用电矢量场来描述。但是在有些情况下，把光场作为标量场来讨论是方便的。在各向同性的均匀介质中，沿r方向传播的理想单色平面谐波是位置和时间的函数，如图所示。用表达式可以表示为式中u0是振幅，t是时间，是沿传播方向的位置坐标，T是时间周期，时间频率，是波长（波长的倒数称为空间频率或波数，用表示），称为空间角频率，称为位相。为计算简单，常用复数表示光波场，即在实际应用中，为简单起见可以省去Re ，直接将单色平面波写成而式中称为复振幅，复振幅

2、是位置坐标的函数。复振幅是以振幅为模，以初位相kr为幅角的复数。因为光的时间频率很高（对可见光来说在1014Hz左右），人眼和其它光接受器达不到如此高的频率响应，所以眼和光接受器接收的都是光的平均强度。而光的平均强度与振幅的平方成正比，在很多情况下可以只用复振幅表示光波，以使计算简化。例如计算光的平均强度，就可以写为若平面波传播方向的单位矢量的方向余弦为，定义平面波传播方向的波矢量，那么平面波在空间某点的复振幅还可以表示为二、 球面波的复振幅点光源发出的光波是球面波。由于任何光源总可以看成点光源的集合，所以球面波是经常遇到的光波形式。球面波的等相面是球面，各点的振幅与该点到球心的距离成反比。所

3、以当以球面波的球心为坐标原点时，球面波可以写成仍然是波矢量，r是(x, y, z)点的矢径，a0是r=1处的振幅。对于发散球面波，波矢量k与矢径r方向相同；而对于会聚球面波，波矢量k与矢径r方向相反，于是球面波的复振幅可以写作当球面波的球心不在坐标原点而在（x0, y0, z0）时，要注意。§2-2 光场中任一平面上的复振幅一、 平面波光场中任一平面上的复振幅我们已经知道平面波光场的复振幅可以写为式中表示空间位相，这样在x，y，z方向的空间频率分别为所以平面波光场的复振幅又可以写为空间频率的单位是周/毫米（cy/mm）。空间频率分量可以为正或负，传播方向与坐标轴的正向夹角小于90&#

4、176;时是正值，大于90°是负值。如果我们把光轴选为z轴（如图），那么所研究的物平面就平行于xy平面。如果物平面与xy面的距离为z1，则在物平面处平面波的复振幅为而，即所以对于位于z1处确定的物平面，复数与x，y无关，它并不反映物平面上各点的复振幅差异，我们令于是物平面上的复振幅可以表示为上式就是平面波光场中与z轴垂直平面上的复振幅。对于波矢量在xz平面内（或者说平行于xz）的情况，这时，所以复振幅可以看出，在垂直于z轴的物平面上，复振幅只随x变化，而与y无关。下图清楚地表明了这一情况。等相线是与x轴垂直的直线，位相间隔是2的一组等距平行线，这些等相线上各点光震动的情况是相同的（振

5、幅相同，位相相差2的整数倍），因此复振幅在与z轴垂直的平面上的变化是周期性的，其空间周期在x方向是1/fx，记为Tx=1/fx=/cos，在z方向是1/fz，记为Tz=1/fz=/cos。对于波矢量k不在xz平面的一般情况，我们已经导出在垂直于z轴的平面内的复振幅是显然等相线应该是即画出此方程表示的直线族如下由图示的几何关系，得等相线的空间周期为二、 球面波光场中任一平面上的复振幅若坐标系的原点与球面波中心重合，所研究的平面仍与Z轴垂直，该平面与xy平面的距离为z1，则所考察的平面上的复振幅为在近轴近似条件下，即，根据泰勒级数展开（忽略高阶小量），有所以由上式可以看出，在近轴近似条件下，球面波

6、在与z轴垂直的平面上的复振幅的分布特点是：振幅是与z1成反比的常量，位相与z1，x，y都有关，其等相线是一组同心圆。当球面波的中心坐标是，则观察面上的复振幅为其中U0是由点光源和z0决定的复常数。§2-3 二维傅立叶变换在相干光照明的情况下（即存在干涉效应），描述物光波场的函数是复函数，实际上也就是xy面上的复振幅。其模代表的是振幅，其辐角代表空间初位相。在非在相干光照明的情况下（即不存在干涉效应），是实函数，也就是xy面上的光波场的振幅分布。下面分别分析这两种情况。一、 相干照明的情况在相干光照明的情况下，复振幅的空间频谱为反之，已知空间频谱，求光波场的复函数，则上式与垂直于z轴的

7、平面上的平面波的复振幅相比较，可以看成是无限多个振幅U0=1，方向为，权重为的平面波叠加的结果。二、 非相干照明的情况在非相干照明的情况下，振幅函数是一个非负实函数。对于实函数的频谱有以下性质：1、， （我们称具有这样性质的函数为厄米函数）2、， 即的模为偶函数3、， 即的辐角为奇函数所以振幅函数的空间频谱即傅立叶变换为所以振幅函数所以在非相干光照明时，物光波可以看成是由幅值为的无限多个空间频率为fx, fy的不同取向的平面波叠加而成。实际上这样物光波又可以看成是无限多对幅值相同（），方向对称(，)的平面波的叠加。这也正是杨氏双缝干涉的情况。由于振幅函数为非负实函数，所以中必存在一个“直流”项

8、，即，并且，否则就不能保证为非负。§2-4 线性系统和线性空间不变系统有关系的事物按一定方式或规则组成的整体叫系统。由光学元件组成的收集、传递或变换信息的一个整体叫光学系统。理想成像光学系统就是将空间的物体信息传递、变换到像空间，在象面上形成不失真的物体像，显然这一成像过程是线性的。实际成像由于光学元件存在像差，是非线性的。但是在一定条件下可把一个成像光学系统近似看成是一个线性系统，或者称线性空间不变系统。光学系统与电学系统不同，其输入、输出都为(x,y)的二维函数（光强为二元实函数，而复振幅为二元复函数）。在傅立叶光学中，常把光学系统对输入信号的转换看成一个数学算符的作用，从而系统

9、的作用就是完成数学上的变换和运算。我们用算符 表示系统的作用。因此若表示系统的输入，则系统的输出可以表示为g2(x2,y2)=g1(x1,y1) 系统的作用只涉及到它将输入信号以什么方式变换为输出信号，算符 已经完全表征了系统的作用，不涉及系统内部的具体结构。输入和输出信号的关系往往极为复杂，不易找出 的具体形式。根据讨论光学成像系统的需要，我们着重研究线性系统和线性空间不变系统。一、 线性系统1. 线性系统的定义若系统的输入函数和输出函数有同样的线性叠加关系，则该系统为线性系统。用数学表达式就是c1t(x,y)+c2s(x,y) =c1t(x,y) + c2s(x,y) 如果对任何输入函数都

10、可以分解为某些“基元”函数的线性组合，而这些“基元”函数通过线性系统后的输出函数又是可以求得的，则可以通过对这些“基元” 输出函数的线性组合来求得任何输入函数通过该系统后的输出函数，这便是线性系统的最方便之处。选取“基元”函数必须考虑两个因素，即 输入函数能方便地分解成“基元”函数的线性组合； 系统的“基元”响应函数能比较简单地求得。在光学中，“基元”函数主要有两种：函数和复指数函数（包括余弦函数）。2. 脉冲响应和叠加积分下面以“点基元”为例说明线性系统的分解和综合过程。所谓的“点基元”即取函数作为“基元”的函数。根据函数的挑选性质，任何输入函数可以表示为上式可以看成一种特殊的线性叠加，叠加

11、系数为。输入函数通过系统后的输出函数为 =的意义可以这样理解：当物平面上位于（）点的单位脉冲（点光源）通过系统以后在象平面上的分布便是，所以是函数的响应函数。这一响应函数应该与物平面的位置（）有关。我们记函数的响应函数为则象平面上的输出函数这个表达式称为叠加积分。它表明线性系统的性质完全由其脉冲响应函数决定，对于已知的线性系统，任何输入函数所对应的输出函数都可以用上面的叠加积分求得。对实际的成像光学系统，物点（函数）经过系统后变成一个象斑，所以又称点扩展函数。二、 线性（空间）不变系统1、 线性不变系统：线性系统的一种，既是线性系统又是不变系统。其含义是，设物函数对应的象函数为，当物函数的分布

12、形式不变，而物仅在物平面有一位移(x0，y0)，即物函数为时，其在象平面的象函数形式也不变，只是在象平面上有一相应的移动，即，其中M为常数，则该系统为线性不变系统。对于理想的成像系统，线性空间不变是必须的。2、 卷积：由于单位脉冲尽管在物平面中位置不同，对应的脉冲响应函数的形式是不变的。若物平面中位于原点的单位脉冲(x, y)的响应函数为h(x2,y2)，则位于(，)的单位脉冲函数(x1-¸ y1-)的响应为h(x2-M，y2-M)，这时叠加积分应为如果物平面和象平面坐标取适当的标度（即单位）使M=1，则所以对线性空间不变系统，像面输出函数是物面输入函数g1(x2,y2)和脉冲响应函数h(x2,y2)的卷积，系统的成像性质完全由脉冲响应函数h决定。3、 光学传递函数：根据卷积的傅立叶变换性质，即所以在频域中正如h作为系统成像特性的空域描述一样，在频域中同样可以描述系统的全部系统特性。我们把称为成像系统的光学传递函数。在评价成像系统的成像质量时，大都采用光学传递函数来定量进行分析。4、 讨论：实际的成像系统把一个物点成像为一个弥散的象斑我们把这种现象叫像