一阶线性微分方程(2).ppt课件

1、上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology一、线性方程二、伯努利方程12.4 一阶线性微分方程上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology一、线性方程 形如yP(x)yQ(x)的方程称为一阶线性微分方程 并且当Q(x)恒为零时称为齐次线性方程 Q(x)不恒为零时称为非齐次线性方程 v一阶线性微分方程 考察下列方程是否是(或能否化为)线性方程？是非齐次线性方程 y3x25x (2)3x25x5y0 是非齐次线性方程 (3)yycos xesin x )线方(4yxdxdy10不是性程.

2、(1)ydxdyx )2( 021yxdxdy 是齐次线性方程. 021yxdxdy 是齐次线性方程. 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology一、线性方程 形如yP(x)yQ(x)的方程称为一阶线性微分方程 并且当Q(x)恒为零时称为齐次线性方程 Q(x)不恒为零时称为非齐次线性方程 v一阶线性微分方程v齐次线性方程的通解 齐次线性方程yP(x)y0是变量可分离方程 其通解为提示 dxxPCey)(. dxxPydy)(dxxPydy)(|ln)(|lnCdxxPy|ln)(|lnCdxxPydxxPCey)(. 上页 下页 返回 退

3、出 Jlin Institute of Chemical Technologyv齐次线性方程的通解 例 1 求方程ydxdyx ) 2(的通解. 解 原方程可变为 021yxdxdy 这是齐次线性方程 由通解公式得原方程的通解为 即 yC(x2) ) 2()2ln(21xCCeCeyxdxx) 2()2ln(21xCCeCeyxdxx) 2()2ln(21xCCeCeyxdxx 齐次线性方程 yP(x)y0 的通解为dxxPCey)(. 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology提示: 这里所用的方法称为常数变易法 这种方法就是把齐次线性

4、方程的通解中的任意常数C换成末知函数u(x) 然后代入非齐次线性方程并确定出函数u(x) 提示: 代入后得到v非齐次线性方程的通解代入非齐次线性方程求得 v齐次线性方程的通解 设非齐次线性方程yP(x)yQ(x)的通解为)()()()()()()()()(xQexuxPxPexuexudxxPdxxPdxxP. dxxPexuy)()( dxxPexQxu)()()( 齐次线性方程 yP(x)y0 的通解为dxxPCey)(. 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology于是非齐次线性方程的通解为 v非齐次线性方程的通解代入非齐次线性方程求

5、得 v齐次线性方程的通解 设非齐次线性方程yP(x)yQ(x)的通解为dxxPexuy)()( dxxPexQxu)()()( 积分得 CdxexQxudxxP)()()( )()()(CdxexQeydxxPdxxP. 齐次线性方程 yP(x)y0 的通解为dxxPCey)(. 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology注 非齐次线性方程的通解也可为 上式表明 非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和 v非齐次线性方程的通解v齐次线性方程的通解 非齐次线性方程yP(x)yQ(x)的通解为 )()()(

6、CdxexQeydxxPdxxP. 齐次线性方程 yP(x)y0 的通解为dxxPCey)(. dxexQeCeydxxPdxxPdxxP)()()()(. 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology:这里12)(xxP25) 1()( xxQ. 解解 由通解公式得 非齐次线性方程yP(x)yQ(x)的通解为 例 2 求方程25) 1(12xxydxdy的通解. 即 ) 1(32) 1(232Cxxy. )()()(CdxexQeydxxPdxxP. ) 1(122512Cdxexeydxxdxx ) 1() 1() 1(2252Cdxx

7、xx) 1(32) 1(232Cxx) 1() 1() 1(2252Cdxxxx) 1(32) 1(232Cxx 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology将初始条件0|0ti代入通解得222LRLECmww )cossin()(222222tLtRLREeLRLEtimtLRmwwwwww. tLRmCetLtRLRE)cossin(222wwww. tLEiLRdtdimwsin 例3 有一个电路如图所示, 其中电源电动势为E=Emsinwt(Em、w都是常数), 电阻R和电感L都是常量. 求电流i(t). 根据电学原理, 得微分方程

8、 解解 由通解公式, 得 初始条件为i|t00. 因而)sin()(Cdte tLEetidtLRmdtLRw上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology二、伯努利方程v伯努利方程1是)(4)21 (3131yxydxdy 伯努利方程.( )性是4xxydxdy42 是线方程 不伯努利方程. 形如yP(x)yQ(x)yn(n0 1)的方程叫做伯努利方程 考察下列方程是否是(或能否化为)伯努利方程？ (2)5xyydxdy 5xyydxdy 5xyydxdy 是伯努利方程. 5xyydxdy 是伯努利方程. (3)xyyxy 11xyyxy

9、是伯努利方程. 11xyyxy 是伯努利方程. 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology二、伯努利方程v伯努利方程 形如yP(x)yQ(x)yn(n0 1)的方程叫做伯努利方程 伯努利方程yP(x)yQ(x)yn可化为线性方程 v伯努利方程的解法)()1 ()()1 ()(11xQnyxPndxydnn)1其z或)()1 ()()1 (xQnzxPndxdz(中yn.上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 解解 例 4 求方程2)(lnyxaxydxdy的通解. 原方程可化为

10、xayxdxdyyln112 或xayxdxydln1)(11 由非齐次线性方程的通解公式 得 即原方程的通解为 1)(ln22xaCyx. )ln(111Cdxexaeydxxdxx )ln2()1ln(2xaCxCdxxxax)ln2()1ln(2xaCxCdxxxax 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology说明 所给方程可变形为一阶线性方程 yxdydx 虽然按一阶线性方程的解法可求得通解 但这里用变量代换来解所给方程 经过变量代换 某些方程可以化为变量可分离的方程 或化为已知其求解方法的方程 例 5 解方程yxdxdy1. 解解 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology令