历届二次函数中考题集锦

1、.历届中考二次函数试题精选一、填空题1（ 2012?烟台）已知二次函数y=2（ x 3） 2+1 下列说法： 其图象的开口向下； 其图象的对称轴为直线 x= 3； 其图象顶点坐标为（ 3，1）； 当 x 3 时，y 随 x 的增大而减小 则其中说法正确的有 （）A1 个B2 个C3 个D4 个2（ 2012 泰安）设 A (2， y1 ) ，B (1， y2 ) ，C (2， y3 ) 是抛物线 y(x 1)2a 上的三点，则 y1 ， y2 ， y3的大小关系为（）A y1y2y3B y1y3y2C y3 y2y1D y3y1y23（ 2012 潜江）已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象

2、如图所示，它与x 轴的两个交点分别为（ 1， 0），（ 3， 0）对于下列命题： b2a=0； abc 0； a 2b+4c0； 8a+c0其中正确的有（）A3 个B2 个C1 个D0 个4. （ 2011 湖北襄阳）已知函数 y( k3)x 22x 1 的图象与 x 轴有交点，则 k 的取值范围是（）A. k 4B. k 42C. k 4 且 k 3D. k 4 且 k 35(2010 年北京崇文区 )的图象如右图所示，根据其中提供的信息，可函数 y=x -2x-2求得使 y 1 成立的 x 的取值范围是（）A 1 x 3B 1 x 3 C x1或 x 3D x1或 x36. （ 2011

3、山东菏泽）如图为抛物线yax 2bxc 的图像， A、 B、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1 ，则下列关系中正确的是A ab= 1B a b= 1C b<2aD ac<0yyax2bxc 的图象中，刘星同学观察得出了下面7.（ 2011 甘肃兰州）如图所示的二次函数四条信息：（ 1） b24ac0 ；（2）c>1；（）b<0；（ ）a+b+c<0。你认为其中错误的有132a4（）-1O1xA2 个B3 个C4 个D1 个8. （ 2011 江苏宿迁）已知二次函数y ax2 bx c（ a 0）的图象如图，则下列结论中正确的是（）A a 0B当 x 1

4、时， y 随 x 的增大而增大C c 0D 3 是方程 ax2 bx c 0 的一个根29（ 2012?德阳）设二次函数y=x +bx+c ，当 x1时，总有 y0，当 1 x3时，总有 y0，那么 c 的取值范围是（）A c=3B c3C 1 c3D c310（ 2012?杭州）已知抛物线y=k（ x+1）（ x）与 x 轴交于点A， B，与 y 轴交于点 C，则能使 ABC 为等腰三角形的抛物线的条数是（）A2B3C4D5参考.11（ 2012 菏泽）已知二次函数yax2bxc 的图像如图所示， 那么一次函数ybxc 和反比例函数yax在同一平面直角坐标系中的图像大致是（）ABCD12.

5、（ 2011 江苏无锡）如图，抛物线2与双曲线y =k 的交点 A 的横坐标是1，则关于 x 的不等式 ky = x + 1xyx+ x2 + 1 < 0 的解集是()AA x > 1B x < - 1C0 < x < 1D - 1 < x < 013（ 2010 河北）已知抛物线 y x 2bxc 的对称轴为 x2 ，点 A，B 均在x抛物线上，且AB 与 x 轴平行，其中点A 的坐标为（0， 3），则点 B 的坐标为（）（第 12题）A（ 2， 3）B（ 3， 2）C（ 3， 3）D（ 4，3）22为下图中四个图象之一，则a 的14（ 2010 四

6、川乐山） .设 a、 b 是常数，且 b 0，抛物线 y=ax +bx+a -5a-6值为（）yyyy 1O1x1O1xOxOxA. 6或 1B. 6或1C.6D. 115（2010浙江台州市）如图，点A，B的坐标分别为（1, 4）和（） 抛物线 ya(x m) 2n 的顶点4, 4,在线段 AB 上运动，与x 轴交于 C、 D 两点（ C 在 D 的左侧），点 C 的横坐标最小值为坐标最大值为 ()A 3B 1C 5D 8二、选择题1（ 2012 苏州）已知点A（ x1， y1）、 B（x2， y2）在二次函数y=（ x 1） 2+1 的图象上，若 x1 x2 1，则 y1y2（填 “ ”、

7、 “ ”或 “=”）2 、（ 2009 年内蒙古包头）已知二次函数y ax 2bxc 的图象与 x 轴交于点 (2，0) 、3，则点 D 的横yA(1,4) B(4,4)CODx（第 15 题）( x1，0) ，且 1x1 2 ，与y 轴的正半轴的交点在(0，2)的下方下列结论：4a 2b c0 ； a b0 ； 2ac 0 ； 2ab1 0 其中正确结论的个数是个3（、 2009 年娄底）如图 7，O 的半径为2，C1 是函数 y= 1 x2 的图象，C2 是函数 y=- 1 x222的图象，则阴影部分的面积是.4 （ 2010 江 苏镇 江 ）已 知 实 数 x, y满足 x23xy30,

8、 则xy 的 最 大 值参考.为 .5 (2012?扬州 )如图，线段 AB 的长为 2， C 为 AB 上一个动点，分别以AC、 BC等腰直角三角形 ACD 和 BCE ，那么 DE 长的最小值是y6（ 2010 浙江义乌）（ 1）将抛物线y1 2x2 向右平移2 个单位，得到抛物则 y2=；（ 2）如图， P 是抛物线 y2 对称轴上的一个动点，直线x t 平行于 y 轴，分x、抛物线 y2 交于点 A、B若 ABP 是以点 A 或点 B 为直角顶点的等腰直足条件的 t 的值，则 t7. (2009)如图所示， 抛物线y ax2bx ca0）与 x 轴的O年本溪（别为 A(10)， 和 B

9、(2，0) ，当 y0 时， x 的取值范围是为斜边在AB 的同侧作两个y 线 xy2 的图象，y2别与直线y角三角形， 求满·Px 两个交点分8.(2010 年浙江省金华 )已知二次函数 y=ax2 bx3 的图象经过点A（ 2， 3），B（ 1，0）要使该二次函数的图象与x 轴只有一个交点，应把图象沿y 轴向上平移个单位9（ 2012 广安）如图，把抛物线 y=x2 平移得到抛物线 m，抛物线 m 经过点 A（ 6， 0）和原点O（ 0， 0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=x2 交于点Q，则图中阴影部分的面积为10. （ 2011 浙江义乌， 16， 4 分）如图，一次函

10、数 y= 2x 的图象与二次函数 y= x2+3x 图象的对称轴交于点 B.（ 1）写出点 B 的坐标；（ 2）已知点 P 是二次函数 y= x2+3x 图象在 y 轴右侧 部分上的一个动点，将直线 y= 2x 沿 y 轴向上平移，分别交x 轴、 y 轴于 C、D 两点 . 若以 CD 为直角边的 PCD 与 OCD 相似，则点 P 的坐标为.三、解答题1【 14. 2012?扬州】已知抛物线y ax2 bx c 经过 A( 1， 0)、 B(3， 0)、 C(0， 3)三点，直线 l 是抛物线的对称轴(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点 P 是直线 l 上的一个动点，当 PAC 的周长最小

11、时，求点P 的坐标；(3) 在直线 l 上是否存在点 M，使 MAC 为等腰三角形？若存在， 直接写出所有符合条件的点若不存在，请说明理由DCOBM 的坐标；参考.2（ 2012?乐山）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（ m， m），点 B 的坐标为（ n， n），抛物线经过A 、O、 B 三点，连接OA 、 OB、 AB，线段 AB 交 y 轴于点 C 已知实数m、 n（ m n）分别是方程 x2 2x 3=0 的两根（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）若点 P 为线段 OB 上的一个动点（不与点O、 B 重合），直线 PC 与抛物线交于D 、 E 两点（点D 在 y轴右侧），连接 O

12、D、 BD 当 OPC 为等腰三角形时，求点P 的坐标；求 BOD 面积的最大值，并写出此时点D 的坐标3（ 2012 铜仁）如图，已知：直线 yx 3 交 x 轴于点 A ，交 y 轴于点 B ，抛物线2y=ax +bx+c 经过 A、B、C（1， 0）三点 .（ 1）求抛物线的解析式;（ 2）若点 D 的坐标为（ -1， 0），在直线 yx3 上有一点P,使ABO 与ADP相似，求出点P 的坐标；（ 3）在（ 2）的条件下，在x 轴下方的抛物线上，是否存在点E ，使ADE 的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E 的坐标；如果不存在，请说明理由参考.4.（2010年山东省济南市

13、）如图，已知抛物线y x2bxc 经过点（1，-5）和（-2， ）4（ 1）求这条抛物线的解析式（ 2 ） 设 此 抛 物 线 与 直 线 yx 相 交 于 点 A ， B （ 点 B 在 点 A 的 右 侧 ）， 平 行 于 y 轴 的 直 线x m 0 m5 1 与抛物线交于点M ，与直线 yx 交于点 N，交 x 轴于点 P，求线段 MN 的长（用含 m 的代数式表示） （ 3）在条件（ 2）的情况下，连接 OM 、BM ，是否存在 m 的值，使 BOM 的面积 S 最大？若存在，请求出 m 的值，若不存在，请说明理由yx=my=xBNOPxAM5. (2010 年兰州市 )（本题满分

14、11 分）如图 1，已知矩形 ABCD 的顶点 A 与点 O 重合， AD 、 AB 分别在 x 轴、 y 轴上，且AD= 2， AB=3；抛物线 yx 2bx c 经过坐标原点O 和 x 轴上另一点 E（4,0）（ 1）当 x 取何值时，该抛物线的最大值是多少？（ 2）将矩形 ABCD 以每秒 1 个单位长度的速度从图1 所示的位置沿 x 轴的正方向匀速平行移动， 同时一动点 P 也以相同的速度从点A 出发向 B 匀速移动 .设它们运动的时间为t 秒（ 0 t3），直线 AB与 该 抛物线的交点为N（如图 2 所示） .11t 当4 时，判断点 P 是否在直线 ME 上，并说明理由； 以 P

15、、 N 、 C、 D 为顶点的多边形面积是否可能为5，若有可能，求出此时N 点的坐标；若无可能，请说明理由二次函数的应用中考题集锦10 题已知抛物线 yx2mx2m2 (m0) （ 1）求证：该抛物线与x 轴有两个不同的交点；参考.（ 2）过点 P(0， n) 作 y 轴的垂线交该抛物线于点A 和点 B （点 A 在点 P 的左边），是否存在实数 m，n ，使得 AP2PB ？若存在，则求出m， n 满足的条件；若不存在，请说明理由答案：解：（ 1）证法 1：m29 m2 ，y x2mx 2m2x24当 m0 时，抛物线顶点的纵坐标为9 m20 ，4顶点总在 x 轴的下方而该抛物线的开口向上，

16、该抛物线与x 轴有两个不同的交点（或者， 当 m0 时，抛物线与 y 轴的交点 (0， 2m2 ) 在 x 轴下方， 而该抛物线的开口向上，该抛物线与x轴有两个不同的交点 ）证法2：m24 1 ( 2m2 ) 9m2 ，当 m0 时， 9m20 ，该抛物线与x 轴有两个不同的交点（ 2）存在实数m， n ，使得 AP2PB 设点 B 的坐标为 (t， n) ，由 AP2PB 知，y当点 B 在点 P 的右边时， t0，点 A 的坐标为 (2t， n) ，APBx且 t， 2t 是关于 x 的方程 x2mx2m2n 的两个实数根Om24( 2m2n) 9m24n 0 ，即 n9 m2 4且 t

17、( 2t)m （ I）， t ( 2)t2（II）m n由（ I ）得， tm，即 m0 将 t m代入（ II ）得， n0 y当 m0 且 n0 时，有 AP2PB 当点 B 在点 P 的左边时， t0，点 A 的坐标为 (2t， n) ，且 t，2t 是关于 x的方程 x2mx2m2n 的两个实数根xOm24( 2m2n) 9m24n 0 ，即 n9 m2 4AB P且 t 2tm （ I ）， t 2t2m2n （ II ）由（ I ）得， tm ，即 m0 3参考.将 tm 代入（ II ）得， n20 m2 且满足 n9 m2 394当 m0 且 n20 m2 时，有 AP 2PB

18、9第 11 题 一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下，滑下的距离S （米）与时间t （秒）间的关系式为S10tt2 ，若滑到坡底的时间为2 秒，则此人下滑的高度为（）24米 12米12 3米6米答案：第 12 题 我市英山县某茶厂种植“春蕊牌”绿茶，由历年来市场销售行情知道，从每年的3 月 25 日起的 180天内，绿茶市场销售单价y （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（1）中的一条折线表示绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外，其种植的成本单价z （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（ 2）的抛物线表示y (天)z(元 )16060140（ 180， 92）501204

19、0100858036020401020140160100120O20406080100 120150180t(天)O20 4060 80110140 160 180t(天 )（ 1）直接写出图（1）中表示的市场销售单价y （元）与上市时间t （天）（ t0 ）的函数关系式；图 (1)图 (2)（ 2）求出图（ 2）中表示的种植成本单价z （元）与上市时间 t （天）（ t0 ）的函数关系式；（ 3）认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价最大？（说明： 市场销售单价和种植成本单价的单位：元500 克）答案：解：（ 1）依题意，可建立的函数关系式为：2，t 160

20、 (0t 120)3，y 80 (120 t150)2 t 20 (150 t 180)5（ 2）由题目已知条件可设za(t110)220 85图象过点 (60， ) ，385a(60 110)220 a1 3300参考.z 1 (t 110)2 20 (t 0 ) 300（ 3）设纯收益单价为W 元，则 W =销售单价成本单价21601(t220 (0t，t110)120)3300故12，W80(t110)20(120t150)23001t 202t5(t110)20 (150180)300化简得110)2100(0t，(t120)300W1(t110)260(120t，300150)117

21、0)256 (150t180)(t300当 W1(t10)2100(0t120) 时，有 t10 时， W 最大，最大值为 100；300当 W1(t110)260(120 t 150) 时，由图象知，有 t120时， W 最大，最大值为592 ；3003当 W1(t170)256(150 t 180) 时，有 t170时， W 最大，最大值为 56300综上所述，在 t10 时，纯收益单价有最大值，最大值为100 元第 13 题 如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1 米的 A 处飞出（A 在 y 轴上），运动员乙在距 O 点 6 米的 B 处发现球在自己头的正上方达到最高点

22、M ，距地面约 4 米高，球落地后又一次弹起据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半（ 1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式（ 2）足球第一次落地点 C 距守门员多少米？（取 4 3 7 ）（ 3）运动员乙要抢到第二个落点D ，他应再向前跑多少米？（取265 ）yM421 AOBCDx答案：解：（ 1）（3 分）如图，设第一次落地时，参考y.抛物线的表达式为ya( x6) 24由已知：当 x0 时 y 1即 136a4， a1 12表达式为 y1 (x6)241 x212（或 yx1 ）120， 1 ( x（ 2）（3 分）令 y

23、6)24012( x6)248x436 13，x24360 （舍去）1足球第一次落地距守门员约13 米（ 3）（4 分）解法一：如图，第二次足球弹出后的距离为CD根据题意： CDEF （即相当于将抛物线AEMFC 向下平移了2 个单位）21 (x6)24 解得x16，x262122 66CDx1x246 10BD1361017（米）解法二： 令1 ( x6)24012解得 x1643 （舍）， x264 3 13点 C 坐标为（ 13， 0）设抛物线 CND 为 y1 (xk) 2212将C点坐标代入得：12(13k )2012解得： k1132613 （舍去），k26432667518y 1

24、 ( x 18)2 212令 y0，01 ( x 18)2212x118 26 （舍去）， x218 2 623BD23617 （米）解法三：由解法二知，k18，所以 CD2(1813)10，所以 BD(136) 1017参考.答：他应再向前跑17 米第 14 题 荆州市“建设社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬菜通过调查得知：平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费2.7 万元；购置滴灌设备，这项费用（万元）与大棚面积（公顷） 的平方成正比， 比例系数为0.9 ；另外每公顷种植蔬菜需种子、化肥、农药等开支0.3万元 每公顷蔬菜年均可卖 7.5 万元x （公顷），

25、当年收益（扣除修建和种植成本后）为y （万元），写出 y 关于 x 的（ 1）基地的菜农共修建大棚函数关系式（ 2）若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获得5 万元收益，工作组应建议他修建多少公项大棚（用分数表示即可）（ 3）除种子、化肥、农药投资只能当年受益外，其它设施3 年内不需增加投资仍可继续使用如果按3 年计算，是否修建大棚面积越大收益越大？修建面积为多少时可以得到最大收益？请帮工作组为基地修建大棚提一项合理化建议答案：（1） y7.5x2.7x 0.9x20.3x0.9x24.5x （ 2）当0.9x24.5 x5 时，即 9x245 x500 ， x15， x21033从投入、占地与当

26、年收益三方面权衡，应建议修建5 公顷大棚（3）设 3Z （万元）3年内每年的平均收益为Z 7.5x0.9x 0.3x20.3x0.3x26.3x0.3 x10.5233.075（ 10 分）不是面积越大收益越大当大棚面积为10.5公顷时可以得到最大收益建议：在大棚面积不超过10.5公顷时，可以扩大修建面积，这样会增加收益大棚面积超过10.5 公顷时，扩大面积会使收益下降修建面积不宜盲目扩大当 0.3 x26.3x0 时， x1 0 ， x2 21 大棚面积超过 21公顷时，不但不能收益，反而会亏本（说其中一条即可）第 15 题 一家用电器开发公司研制出一种新型电子产品，每件的生产成本为18 元

27、，按定价 40 元出售，每月可销售 20 万件为了增加销量，公司决定采取降价的办法，经市场调研，每降价1元，月销售量可增加2 万件（ 1）求出月销售量y （万件）与销售单价 x （元）之间的函数关系式（不必写x 的取值范围）；（ 2）求出月销售利润z （万元）（利润售价成本价） 与销售单价 x （元）之间的函数关系式 （不必写 x 的取值范围）；（ 3）请你通过（ 2）中的函数关系式及其大致图象帮助公司确定产品的销售单价范围，使月销售利润不低于480 万元答案：略第 16 题一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m ，宽为 2m ，隧道最高点P 位于 AB 的中央且距地面6m ，建

28、立如图所示的坐标系（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）一辆货车高 4m ，宽 2m ，能否从该隧道内通过，为什么？参考.（ 3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？yPABOC x答案：（1）由题意可知抛物线经过点A 0，2，P 4，6 ，B 8，2设抛物线的方程为yax 2bxc将 A，P，D 三点的坐标代入抛物线方程解得抛物线方程为y1 x22x214（2）令 y 4 ，则有x22x2 44解得 x142 2，x242 2x2 x1 4 22货车可以通过（3）由（ 2）可知 1x2 x1 2 2 22货车可以通过第 17 题 如图，在矩形 ABCD 中， AB 2AD

29、，线段 EF10在 EF 上取一点 M ，分别以 EM，MF 为一边作矩形 EMNH 、矩形 MFGN ，使矩形 MFGN 矩形DCABCD 令M N ，当 x 为何值时，矩形 EMNH 的面积 S 有最大值？最大值是AB多少？HNGEMF答案：解：矩形 MFGN 矩形 ABCD ，MNMF ADABAB2 AD， MNx ，MF2x EMEFMF10 2x S x(10 2 x) 2 x2 10x参考.5222 5x22当 x5 时， S 有最大值为 25 22第 18 题 某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A 种产品，则所获利润yA （万元）与投资金额x （万元）之间存在正

30、比例函数关系：yAkx ，并且当投资5 万元时，可获利润2 万元信息二：如果单独投资B 种产品，则所获利润yB （万元）与投资金额x （万元）之间存在二次函数关系：yBax2bx ，并且当投资2 万元时，可获利润2.4 万元；当投资4 万元时，可获利润3.2 万元（ 1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；（ 2）如果企业同时对 A， B 两种产品共投资 10 万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？答案：解：（ 1）当 x5时，y1，k 0.4 ，2 25kyA0.4 x ，当 x2 时， yB2.4 ；当 x4 时， yB 3.2 2

31、.44a2b3.216a4b解得a0.2b1.6yB0.2 x21.6 x （ 2）设投资 B 种商品 x 万元，则投资A 种商品 (10x) 万元，获得利润 W 万元，根据题意可得W0.2x21.6 x0.4(10 x)0.2x21.2 x4W0.2( x3)25.8当投资 B 种商品3 万元时，可以获得最大利润5.8 万元，所以投资A 种商品 7 万元， B 种商品 3 万元，这样投资可以获得最大利润5.8 万元第 19题如图所示，图（ 1）是一座抛物线型拱桥在建造过程中装模时的设计示意图，拱高为30m，支柱A3B350m ，5 根支柱 A1 B1， A2 B2， A3 B3， A4 B4

32、， A5 B5 之间的距离均为15m， B1B5 A1 A5 ，将抛物线放在图 （2）所示的直角坐标系中（ 1）直接写出图（ 2）中点 B1，B3， B5的坐标；参考.（ 2）求图（ 2）中抛物线的函数表达式；B3（ 3）求图（ 1）中支柱 A2 B2， A4 B4 的长度yB2B430mB3B1B5B1B5A1A2 A3 A4 A5Ol图 (1)图 (2)答案：B1 ( 30，0)， B3 (0，30) ， B5 (30，0) ；（ 1）（ 2）设抛物线的表达式为y a(x30)( x30) ，把 B3 (0，30) 代入得 ya(030)(030)30 a1301 ( x 30)( x 30) 所求抛物线的表达式为：y30（ 3） B4 点的横坐标为15， B4 的纵坐标 y41 (1530)(15 30)45302 A3 B3 50 ，拱高为30，立柱 A4B4 204585 (m) 2285由对称性知： A2 B2A4 B4(m) 。2第 20 题 某商场购进一种单价为 40 元的篮球，如果以单价 50元售出，那么每月可售出 500 个根据销售经验，售价每提高 1元销售量相应减少 10 个（