用初中数学方法证明cos(A-B)=cosAcosBsinAsinB._第1页
用初中数学方法证明cos(A-B)=cosAcosBsinAsinB._第2页
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文档简介

1、用初中数学方法证明cos (A-B=cosAcosB+si nAsi nB江苏省泗阳县李口中学沈正中如图，在标准单位圆中，令直径AB的长度为1,C、D为同一半圆上不重合于 A、B的不同两点。【证明】：由圆的性质可知/ ADB和/ ACB为90°,另作CE丄AD于E。令/ A 为/BAC, / B 为/DAC,则/ (A-B 为/ BAD,则 cos(A-B=AD/AB=AD ，cosA=AC/AB=AC，sinA=BC/AB=BC,cosB=AE/AC，sinB=CE/AC。联立、可知：cosB=AE/cosA，即 cosAcosB=AE。所以要证明 cos(A-B=cosAcosB

2、+sinAsinB,即要证明 AD=AE +sinAsinB,又 AD=AE+ED,即只要证明sinAsinB=ED即可，即要证明BCCE/AC=ED,即要证明 CE/AC=ED/BC。因CEFs BDF,贝U可知：EF/FD=CF/FB,即 EF/ED= CF/CB,即卩 ED/BC=EF/CF,所以只需要证明CE/AC=EF/ CF。又/ ECF+Z ECA=90 ,并且/ ECA+ / CAE=90 ,可知/ ECF =Z EAC,又/ CEF=Z AEC=90，可推出 AECCEF,即可得 CE/AC=EF/CF,即证明了 cos(A- B=cosAcosB+sinA+sinB。另(初中知识拓宽：由 sin 0 =cosQ得:sin( a +B =cQs + B =cosa B =cos(a cos B +sia(sin JB/ cos(- a = sin a-sin=cos 必,n( a + B =sin a cos B +c

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