第四节分块矩阵

1、分块矩阵分块矩阵一、矩阵的分块一、矩阵的分块对于行数和列数较高的矩阵对于行数和列数较高的矩阵A，为了简化，为了简化运算，经常采用运算，经常采用分块法分块法，使大矩阵的运算化成，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算。小矩阵的运算。 具体做法：具体做法：将矩阵将矩阵A用若干条纵线和横线分用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的的子块子块，以子块为元素的以子块为元素的形式上形式上的矩阵称为的矩阵称为分块矩阵分块矩阵。 321AAA bbaaA110101000001例例 001a ba110000 b110 1A 2A 3A其中其中 bbaaA1101010

2、00001 3 2 1 AAOA 1a 1A 00 O 10010a 2A bb1100 3A其中其中零子块零子块 21AIOA bbaaA110101000001 aaA01 1其中其中 bbA112 1001I 0000O单位块单位块 4321AAAA bbaaA110101000001 010 1aA其中其中 1012aA 1003bA bA1004二、分块矩阵的运算规则二、分块矩阵的运算规则加法：加法：利用分块法对两个同型矩阵进行加法运利用分块法对两个同型矩阵进行加法运算时，两个矩阵必须采用相同的分块法。算时，两个矩阵必须采用相同的分块法。 bbaaB100000001000. BA

3、求求例例1,100100000001 bbaaA设设 bbaaA100100000001 bbaaB100000001000解解分分块块将将BA,AOOA 21 ,BOOB 21 其中其中,011 aaA;112 bbA,101 aaB;102 bbB其中其中 2121BOOBAOOABA aaaaBA100111,2112 aa bbbbBA101122,2212 bb11BA 22BA OO 2b212baa21120 00 00 00 0数乘：数乘：数字数字 乘以分块矩阵乘以分块矩阵 等于等于 乘以乘以 的的每一子块。每一子块。AAkk , 1111 srsrAAAAA设设. 1111

4、srsrkAkAkAkAkA则则乘法：乘法：利用分块法对两个矩阵进行乘法运算时，利用分块法对两个矩阵进行乘法运算时，左矩阵左矩阵列列的分法和右矩阵的分法和右矩阵行行的分法必须完的分法必须完全相同。全相同。例例1 1 设设.AB求求,A 235210701 402113 B 235210701 A 402113 B, 11A 12A 21A 22B 21B 22A 12B 11B EO A B 12A 21A 22A E 22B 12B 11BO 11B221212 BAB 1121BA22221221BABA 131121BA 35 18 22221221BABA 35 21 2 4 11 3

5、 221212 BAB 21 27 62718627 3 13 4 8 31861273,11 srAAA设设rA11sA分块矩阵的转置：分块矩阵的转置： 对分块矩阵作转置运算时，除了将行列互换对分块矩阵作转置运算时，除了将行列互换外，还要将其中每一子块同时转置。外，还要将其中每一子块同时转置。,11 TsrTTAAA则则TrA1TsA1 1,2,iAis 都是方阵都是方阵. . 设设为阶为阶方阵方阵，若，若的分块的分块矩阵只有主对角线上有非零子块（这些非零子矩阵只有主对角线上有非零子块（这些非零子块必须为块必须为方阵方阵），其余子块全为零，那么方阵），其余子块全为零，那么方阵就称为就称为分块对角阵分