2023课标版（文理）数学高考第一轮专题练习--第四章三角函数、解三角形

1、2023课标版（文理）数学高考第一轮专题练习第四章三角函数、解三角形第一讲三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式1.易错题“为第一或第四象限角”是“cos >0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知tan =cos ,则sin =()A.2-32B.-1+32C.2-52D.-1+523.2022泉州市质量监测若54<<32,且sin 2=45,则tan =()A.12B.2C.14D.44.2022武汉市部分学校质检若tan =2,则cos21-sin2=()A.-13B.13C.-3D.35.已知是第四象限角

2、,且sin(+4)=35,则tan(-4)=()A.16B.13C.-43D.236.2022山东部分重点中学综合考试若tan(+)=34,则1-2sin2+sin 2=()A.6425B.3125C.4825D.16257.2022T8联考已知3tan 20°+cos 70°=3,则的值为()A.3B.23C.33D.438.2018北京高考在平面直角坐标系中,AB,CD,EF,GH是圆x2+y2=1上的四段弧(如图4-1-1),点P在其中一段上,角以Ox为始边,OP为终边.若tan <cos <sin ,则P所在的圆弧是()图4-1-1A.ABB.CDC.E

3、FD.GH9.2018全国卷已知角的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos 2=23,则|a-b|=()A.15B.55C.255D.110.2022青岛市质检已知tan =3,<<32,则cos -sin =. 11.数学建模如图4-1-2所示,掷铁饼者取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动,刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”,掷铁饼者的手臂长约为4米,肩宽约为8米,“弓”所在圆的半径约为1.25米,则掷铁饼者双手之间的距离约为()A.1.012米B

4、.1.768米C.2.043米D.2.954米图4-1-212.三角函数与函数图象综合如图4-1-3所示,质点P在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始位置为P0(2,-2),角速度为1,那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为()图4-1-3第二讲三角恒等变换1.2022甘肃九校联考若6cos2+2cos 2=-1,则tan =()A.±2B.±3C.2D.-32.若tan(-4)=2,则sin 2的值为()A.-35B.-45C.35D.453.2022西安复习检测若为锐角,cos(+4)=-210,则tan +1tan=()A.1225B.2512C.247D.7

5、244.已知sin(-3)=-3cos(-6),则tan 2=()A.-43B.-32C.43D.325.2022长春市质量监测已知sin(-3)+3cos =13,则sin(2+6)=()A.23B.29C.-19D.-796.2022四川广元中学零诊2sin 50°+sin 10°(1+3tan 10°)·2sin280°=. 7.2021全国卷甲理若(0,2),tan 2=cos2-sin,则tan =()A.1515B.55C.53D.1538.2022湖南名校联考某艺术爱好者对蒙娜丽莎的同比例影像作品进行了测绘.将画中女子的

6、嘴唇近似看作一个圆弧(如图4-2-1),在嘴角A,C处作圆弧的切线,两条切线交于B点,测得如下数据:AB=6.9 cm,BC=7.1 cm,AC=12.6 cm.根据测量得到的结果推算女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角的取值范围为()图 4-2-1A.(6,4)B.(4,3)C.(3,512)D.(512,2)9.2021江苏如皋二模已知,(0,),cos =-31010,若sin(2+)=12sin ,则+=()A.54B.23C.76D.7410.2021贵阳市第二次适应性考试点P0(45,35)为锐角的终边与单位圆的交点,OP0(O为坐标原点)逆时针旋转3得OP1,则点P1的横坐标为.&#

7、160;11.角度创新已知函数f(x)=2cos(x+4)cos(x-4)+sin x,若对任意的实数x,恒有f(1)f(x)f(2),则cos(1-2)=. 第三讲三角函数的图象与性质1.2022武汉市部分学校质检要得到函数y=sin(2x+6)的图象,可以将函数y=cos(2x-6)的图象()A.向右平移12个单位长度B.向左平移12个单位长度C.向右平移6个单位长度D.向左平移6个单位长度2.2019全国卷理下列函数中,以2为周期且在区间(4,2)上单调递增的是()A.f(x)=|cos 2x|B.f(x)=|sin 2x|C.f(x)=cos|x|D.f(x)=sin|x|3

8、.2022甘肃九校联考已知函数f(x)=sin(x+)(>0,|<2)的部分图象如图4-3-1所示,若f(2)=f(23),则()图4-3-1A.=2,=6B.=53,=518C.=2,=3D.=53,=64.若函数f(x)=23sin xcos x+2sin2x+cos 2x在区间-32,32上单调递增,则正数的最大值为()A.18B.16C.14D.135.2022广西名校联考将函数f(x)的图象向左平移3个单位长度,再将所得函数图象上的所有点的横坐标变为原来的32,得到函数g(x)=Asin(x+)(A>0,>0,|<)的图象.已知函数g(x)的部分图象如图

9、4-3-2所示,则下列关于函数f(x)的说法正确的是()图4-3-2A.f(x)的最小正周期为3B.f(x)在区间9,3上单调递减C.f(x)的图象关于直线x=9对称D.f(x)的图象关于点(9,0)成中心对称6.2021昆明市模拟智能主动降噪耳机的工作原理如图4-3-3(1)所示,耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音,然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波抵消噪音.已知某噪音的声波曲线y=Asin(x+6)(A>0,>0)在-2,2上的大致图象如图4-3-3(2)所示,则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线的方程可以为()图 4-3-3A.y=2sin(x+6)B.y=233

10、sin(25x-3)C.y=233sin(45x-23)D.y=2sin(x-56)7.2017全国卷理函数f(x)=sin2x+3cos x-34(x0,2)的最大值是. 8.2022湖南名校联考已知x1,x2是函数f(x)=tan(x-)(>0,0<<)的两个零点,且|x1-x2|的最小值为3,若将函数f(x)的图象向左平移12个单位长度后得到的图象关于原点对称,则的最大值为()A.34B.4C.78D.8 9.2021郑州市三模已知数列an的通项公式是an=f(n6),其中f(x)=sin(x+)(>0,|<2)的部分图象如图4-3-4所示,Sn为

11、数列an的前n项和,则S2 021的值为()A.-1B.0C.12D.-32图4-3-410.已知函数f(x)=2sin(x+)+1(>0,|2), 其图象与直线y=-1相邻两个交点的距离为,若f(x)>1对任意的x(-12,3)恒成立,则的取值范围是()A.(6,3)B.12,3C.12,2D.6,311.2021四省八校联考若是ABC的一个内角,且cos <-13,则下列结论错误的是()A.sin <223B.tan >-22C.cos 2>-79D.sin 2<-42912.2021南昌市三模已知函数f(x)=sin x-3cos x与直线y=a

12、(0<a<2)在第一象限的交点的横坐标从小到大依次为x1,x2,xn,则f(x1-2x2-3x3)=()A.-1B.0C.1D.313.2022青岛市质检多选题已知函数f(x)=sin(x-6)(>0),若f(0)+f(2)=0,且f(x)在(0,2)上有且仅有三个极值点,则下列结论正确的是()A.f(x)的最小正周期为3B.f(x)在区间k318,k3+9(kZ)上单调递增C.f(x)在区间0,4上的最小值等于-12D.将g(x)=sin 2x的图象向右平移12个单位长度可得到y=f(x3)的图象14.2021贵阳市第二次适应性考试已知函数f(x)=cos(2x+)(|&l

13、t;2),F(x)=f(x)+32f (x)为奇函数,则下述四个结论:tan =3;若f(x)在-a,a上存在零点,则a的最小值为6;F(x)在(4,34)上单调递增;f(x)在(0,2)上有且仅有一个极大值点.其中结论正确的是. 15.2018全国卷理已知函数f(x)=2sin x+sin 2x,则f(x)的最小值是. 16.2021江西赣州高三模拟已知向量a=(sin 2x,cos 2x),向量b=(cos 23,-sin 23),且函数f(x)满足f(x)=a·b-23sin2(x-3)+3.(1)求f(x)的值域与f(x)图象的对称中心;(2)若方程f(2

14、x)-a=0(aR)在区间0,4内有两个不同的解x1,x2,求sin(x1+x2)的值.17.2022广西名校联考已知函数f(x)=Asin(x+)(A>0,>0,|<2)的部分图象如图4-3-5所示,则使f(2a+x)+f(-x)=0成立的a的最小正值为. 图 4-3-518.条件创新已知函数f(x)=2sin x(>0)在区间-34,4上单调递增,且直线y=-2与函数f(x)的图象在-2,0上有且仅有一个交点,则实数的取值范围是. 第四讲正、余弦定理及解三角形1.2022广东六校联考改编在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,下列说法不正

15、确的是()A.若A>B,则|cos B|>|cos A|B.若a2+b2>c2,则ABC为锐角三角形C.等式a=bcos C+ccos B恒成立D.若ABC=114,则abc=1132.2021全国卷乙理记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为3,B=60°,a2+c2=3ac,则b=. 3.2022甘肃九校联考在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若a=2,b=3,sin A=2sin Bcos C,则ABC的面积为. 4.2022西安复习检测在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知c=2a+b-3·

16、;a·sinCcosA,则角C的值为. 5.2022安徽名校联考已知ABC三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且3ccos A+asin C=0,若角A的平分线交BC于点 D,且AD=1,则b+c的最小值为. 6.2022成都市模拟在斜三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c2=2abcos C.(1)若ABC的面积为S,且满足4S=c2,求角C的大小;(2)证明:2tanC=1tanA+1tanB.7.2021太原市三模如图4-4-1,A,B,C为山脚两侧共线的三点,在山顶P处测得这三点的俯角分别为=30°,=45°,=

17、30°,现计划沿直线AC开通一条穿山隧道DE,经测量AD=100 m,BE=33 m,BC=100 m.(1)求PB的长;(2)求隧道DE的长(精确到1 m).附:21.414;31.732.图 4-4-18.2021贵阳市第二次适应性考试已知在ABC中,AC=8,BC=10,32cos(A-B)=31,则ABC的面积是()A.157B.40C.203D.209.2021太原市二模在钝角ABC中,a,b,c分别是ABC的内角A,B,C所对的边,点G是ABC的重心,若AGBG,则cos C的取值范围是()A.(0,63)B.45,63)C.(63,1)D.45,1)10.在ABC中,点

18、M为BC边上一点,且AC+AM=4,MC=2,MAC=3.若ABC的面积为43,则ABC外接圆的半径为. 11.2022苏州市调研某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图4-4-2所示(长度单位:cm),四边形AFED为矩形,AB,CD,FE均与圆O相切,B,C为切点,BC段为圆O的一段弧,已知tan =43,tan =34,则该零件的截面的周长为.(结果保留) 图 4-4-212.2021新高考卷记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D在边AC上,BDsinABC=asin C.(1)证明:BD=b.(2)若AD=2DC,求cosA

19、BC.13.在ABC中,角A与角B的内角平分线交于点I,且5+4cos(A+B)=4sin2C.(1)求角C的大小;(2)若ABC的外接圆半径为4,求ABI周长的最大值.14.2022山东部分重点中学综合考试如图4-4-3,在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,OB·sinABD=OD·sinADB,ABC=3,AB=3BC=3.(1)求sinDAC;(2)若ADC=23,求四边形ABCD的面积.图 4-4-315.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若ABC的面积为12a2,则tan A的最大值为()A.43 B.3 C.2 D.316.解题创新已知在

20、ABC中,D是BC边上一点,BC=AD=4,BD=3CD.(1)若AB=3,求AC的长;(2)求cosBAC的最小值.答 案第四章三角函数、解三角形第一讲三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式1.A当为第一或第四象限角时,cos >0,当=2k(kZ)时,cos =1>0,(易忽略的终边在x轴正半轴上的情形)所以“为第一或第四象限角”是“cos >0”的充分不必要条件,故选A.2.D由tan =cos 可得sincos=cos ,则sin =cos 2=1-sin 2,即sin 2+sin -1=0,解得sin =-1±52,由sin =cos2知si

21、n >0,所以sin =-1+52,故选D.3.B由已知,得sin 2=2sincossin2+cos2=2tantan2+1=45,即2tan2-5tan +2=0,解得tan =2或tan =12,又54<<32,所以tan >1,所以tan =2,故选B.4.C由tan =2可知,cos -sin 0,所以cos21-sin2=cos2-sin2sin2+cos2-2sincos=(cos-sin)(cos+sin)(cos-sin)2=cos+sincos-sin=1+tan1-tan=-3,故选C.5.C由题意,得sin(+4)=sin(-4)+2=cos(-

22、4)=35,因为2k+32<<2k+2(kZ),所以2k+54<-4<2k+74(kZ).从而sin(-4)=-1-cos2(-4)=-45,因此tan(-4)=sin(-4)cos(-4)=-43.故选C.6.B因为tan(+)=tan =34,所以1-2sin2+sin 2=cos2-sin2+2sincossin2+cos2=1-tan2+2tantan2+1=1-916+32916+1=3125.故选B.7.D由题意得,3sin 20°+sin 20°cos 20°=3cos 20°,所以2sin 40°=3co

23、s 20°-3sin 20°=23sin(60°-20°)=23sin 40°,所以=43,选D.8.C设点P的坐标为(x,y),利用三角函数的定义可得yx<x<y,所以x<0,y>0,所以P所在的圆弧是EF,故选C.9.B因为点A和点B为角的终边上的两点,所以12=ab,即b=2a.由三角函数定义,得cos =11+a2,则cos 2=2cos2-1=21+a2-1=23,解得|a|=55.故|a-b|=|a|=55.故选B.10.105由题意可知sincos=3,因为sin2+cos2=1,<<32,所以

24、sin =-31010,cos =-1010,所以cos -sin =105.11.B由题意画出示意图,如图D 4-1-1所示,则AB的长为2×4+8=58(米),OA=OB=1.25米,AOB=581.25=2.所以AB=2OA=542米1.768米.即掷铁饼者双手之间的距离约为1.768米.图D 4-1-112.C因为P0(2,-2),所以P0Ox=4.设角速度为,则=1,所以按逆时针方向旋转时间t后,得POP0=t,(=t,为点P转过的角度)所以POx=t-4.由三角函数的定义,知yP=2sin(t-4),因此d=2|sin(t-4)|.当t=0时,d=2|sin(-4)|=2

25、;当t=4时,d=0,故选C.第二讲三角恒等变换1.B解法一由题意可得,6cos2+2(2cos2-1)=-1,解得cos2=110,则sin2=910,所以tan2=9,所以tan =±3,故选B.解法二由题意可得,6cos2+2(cos2-sin2)=8cos2-2sin2sin2+cos2=-1,即8-2tan2tan2+1=-1,所以tan2=9,所以tan =±3,故选B.2.Atan(-4)=tan-11+tan=2,tan =-3,sin 2=2sincossin2+cos2=2tantan2+1=-6(-3)2+1=-35.故选A.3.B因为cos(+4)=

26、cos cos4-sin sin4=22(cos -sin )=-210,所以cos -sin =-15.解法一因为sin2+cos2=1且有0<<2,所以sin =45,cos =35,所以tan =sincos=43,所以tan +1tan=43+34=2512,故选B.解法二将cos -sin =-15两边平方,整理得1-2sin cos =125,所以sin cos =1225,所以tan +1tan=sincos+cossin=sin2+cos2sincos=1sincos=2512,故选B.4.A因为sin(-3)=-3cos(-6),所以12sin -32cos =-

27、3×32cos -3×12sin ,则2sin =-3cos ,即tan =-32,所以tan 2=2tan1-tan2=-31-34=-43,故选A.5.Dsin(-3)+3cos =12sin -32cos +3cos =12sin +32cos =sin(+3)=13,解法一令+3=t,则=t-3,sin t=13,故sin(2+6)=sin2(t-3)+6=sin(2t-2)=-cos 2t=-(1-2sin2t)=-79.故选D.解法二sin(2+6)=-cos2+(2+6)=-cos2(+3)=2sin2(+3)-1=2×(13)2-1=-79.故选D

28、.6.6原式=(2sin 50°+sin 10°·cos10°+3sin10°cos10°)·2sin280°=(2sin 50°+sin 10°·cos10°+3sin10°cos10°)·2cos 10°=22sin 50°·cos 10°+sin 10°·cos(60°-10°)=22sin(50°+10°)=22×32=6.7.A

29、因为(0,2),所以tan 2=2sincos2cos2-1=cos2-sin2sin2cos2-1=12-sin2cos2-1=4sin -2sin22sin2+2cos2-1=4sin sin =14tan =1515.8.B由切线长定理,可令AB=BC7 cm,设ABC=2.过点B作BDAC,交AC于D,则sin 12.627=0.9.设蒙娜丽莎中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为,则+2=,cos =cos(-2)=-cos 2=2sin2-10.62.cos4=220.707,cos3=12=0.5,(4,3).故选B.9.A由题意可知sin(2+)=12sin ,上式可化为sin(

30、+)=12sin(+-),展开得sin cos(+)+cos sin(+)=12cos sin(+)-12sin cos(+),即cos sin(+)+3sin cos(+)=0.易知cos 0,cos(+)0,则tan(+)+3tan =0.因为cos =-31010,(0,),所以(2,),sin =1-cos2=1010,所以tan =-13,tan(+)=1.又因为(0,),所以+(2,2),所以+=54.10.4-3310根据三角函数的定义可得sin =35,cos =45.由于OP0逆时针旋转3得OP1,所以点P1的横坐标为cos(+3)=cos cos3-sin sin3=45&

31、#215;1235×32=4-3310.11.-14因为f(x)=2(22cos x-22sin x)(22cos x+22sin x)+sin x=2(12cos2x-12sin2x)+sin x=1-2sin2x+sin x=-2(sin x-14)2+98,且f(x)对任意实数x恒有f(1)f(x)f(2),所以sin 1=-1,sin 2=14.则cos 1=0,cos(1-2)=cos 1cos 2+sin 1sin 2=-sin 2=-14.第三讲三角函数的图象与性质1.A因为函数y=cos (2x-6)=sin (2+2x-6)=sin (2x+3),y=sin (2x

32、+6)=sin 2(x-12)+3,所以要得到函数y=sin (2x+6)的图象,可以将函数y=cos (2x-6)的图象向右平移12个单位长度,故选A.(也可以将y=sin(2x+6)转化为y=cos(2x-3),再平移)2.A对于A,作出y=|cos 2x|的图象如图D 4-3-1所示,由图象知,其周期为2,在区间(4,2)上单调递增,A正确;图D 4-3-1对于B,作出y=|sin 2x|的图象如图D 4-3-2所示,由图象知,其周期为2,在区间(4,2)上单调递减,B错误;图D 4-3-2对于C,y=cos|x|=cos x,周期为2,C错误;对于D,作出y=sin|x|的图象如图D

33、4-3-3所示,由图象知,其不是周期函数,D错误. 图D 4-3-3故选A.3.C由f(2)=f(23),可得函数f(x)图象的一条对称轴为直线x=2+232=712,(勿将x=当作f(x)的对称轴方程)设f(x)的最小正周期为T,结合f(x)的图象可知34T=712-(-6)=34,解得T=,又T=2,所以=2,所以f(x)=sin(2x+),因为f(-6)=sin2×(-6)+=sin(-3)=0,|<2,所以=3,故选C.4.B解法一因为f(x)=23sin xcos x+2sin2x+cos 2x=3sin 2x+1在区间-32,32上单调递增,所以2×(-3

34、2)=-3-2,2×32=32,解得16,所以正数的最大值是16.解法二易知f(x)=3sin 2x+1,可得f(x)的最小正周期T=,因为f(x)图象关于(0,1)对称,区间-32,32关于原点对称,所以要使f(x)在该区间上单调递增,只需T432,即432,解得16,所以正数的最大值是16.5.D根据g(x)的部分图象,可得A=2,12T=12·2=512-(-12)=2(T为g(x)的最小正周期),所以=2.因为g(-12)=2sin2×(-12)+=2,所以2×(-12)+=2+2k(kZ),因为|<,所以=23,所以g(x)=2sin(2

35、x+23).由题意,把g(x)的图象上的所有点的横坐标变为原来的23,再向右平移3个单位长度,可得f(x)=2sin32×2(x-3)+23=2sin(3x-3)的图象,所以f(x)的最小正周期为23,所以A错误;当x9,3时,3x-30,23,所以f(x)在9,3上有增有减,所以B错误;令x=9,得f(x)=0,所以C错误,D正确.故选D.6.D因为该噪音声波曲线过点(0,1),(56,0),所以Asin 6=1,得A=2.点(56,0)可以看作“五点作图法”中的第三个点,则56+6=,得=,所以该噪音声波曲线的方程为y=2sin(x+6),则反向波曲线的方程可以为y=-2sin(

36、x+6)=2sin(x+6-)=2sin(x-56),故选D.(噪音声波曲线与反向波曲线关于x轴对称)7.1f(x)=sin2x+3cos x-34=-cos2x+3cos x+14=-(cos x-32)2+1.因为x0,2,所以cos x0,1,因此当cos x=32时,f(x)max=1.8.A由题意知函数f(x)的最小正周期T=3,则=3,得 =3,f(x)=tan(3x-).将函数f(x)的图象向左平移12个单位长度,得到y=tan3(x+12)-=tan(3x+4-)的图象.y=tan(3x+4-)的图象关于原点对称,则4-=k2,kZ,(y=tan x图象关于(k2,0)(kZ)

37、对称)所以=4k2,kZ.又0<<,所以当k=-1时,取得最大值,最大值为34.故选A.9.D由题图可知,3T4=5612=34,则T=,所以=2T=2.又f(x)的图象过点(12,1),所以sin(2×12+)=1,得6+=2+2k(kZ),所以=3+2k(kZ),又|<2,所以=3,f(x)=sin(2x+3),所以an=f(n6)=sin(n3+3),则数列an是周期为23=6的周期数列.由an=sin(n3+3)可得a1=32,a2=0,a3=-32,a4=-32,a5=0,a6=32,则S6=0,S2021=336S6+S5=-32,故选D.10.D由题意

38、知,函数f(x)=2sin(x+)+1(>0,|2),其图象与直线y=-1相邻两个交点的距离为,故函数的最小正周期为T=2=,解得=2,所以f(x)=2sin(2x+)+1.由题意,f(x)>1对任意的x(-12,3)恒成立,即当x(-12,3)时,sin(2x+)>0恒成立.令t=2x+,因为x(-12,3),所以t(-6,+23).故要使sin t>0恒成立,只需-62k,+232k+(kZ),解得2k+62k+3(kZ).显然,当k=0时,63,故选D.11.D因为是ABC的一个内角,且cos <-13,所以2<<.设cos =-13(2<

39、<),则sin =223,tan =sincos=-22.因为函数y=cos x在(2,)上单调递减,所以由cos <-13=cos ,得2<<<.对于A,因为函数y=sin x在(2,)上单调递减,所以sin <sin ,即sin <223,故A正确;对于B,因为函数y=tan x在(2,)上单调递增,所以tan >tan ,即tan >-22,故B正确;对于C,因为cos <-13,所以cos2>19,所以cos 2=2cos2-1>2×19-1=-79,故C正确;对于D,sin 2=2sin cos ,当c

40、os =-223时,sin =13,sin 2=2×13×(-223)=-429,故D不正确.综上,选D.12.Df(x)=sin x-3cos x=2sin(x-3),则函数f(x)的最小正周期T=2,由x-3=k+2(kZ),得函数f(x)的对称轴为直线x=k+56(kZ).在同一平面直角坐标系中作出y=f(x)和y=a的部分图象,如图D 4-3-4所示.由图可知,点(x1,a)与点(x2,a)关于直线x=56对称,所以x1+x2=53,即x2=53-x1,且x3=x1+2,则x1-2x2-3x3=x1-2(53-x1)-3(x1+2)=-103-6=-43-8,所以f

41、(x1-2x2-3x3)=f(-43-8)=f(-43)=2sin(-433)=-2sin53=3,故选D.(本题也可以直接令a=1,从而解出x1,x2,x3的值,再求函数值)图D 4-3-413.ABD解法一因为f(0)=-12,f(0)+f(2)=0,所以f(2)=sin(26)=12,所以26=6+2k或26=56+2k(kZ),所以=23+4k或=2+4k(kZ).当x(0,2)时,因为>0,所以x-6(-6,26),要使f(x)在(0,2)上有且只有三个极值点,需52<2672,即163<223,综上,=6,所以f(x)=sin(6x-6).f(x)最小正周期T=2

42、6=3,A正确;令2k-26x-62+2k,kZ,则k318xk3+9,kZ,所以f(x)在区间k318,k3+9(kZ)上单调递增,B正确;当x0,4时,6x-6-6,43,所以f(x)在区间0,4上的最小值为f(43)=-32,C错误;将g(x)=sin 2x的图象向右平移12个单位长度可得到y=sin (2x-6)=f(x3)的图象,D正确.解法二由题可知,f(2)=-f(0)=12. 设t=x-6,则当x(0,2)时,t(-6,26).作出y=sin t及y=12的图象,如图D 4-3-5所示,则要使f(x)在(0,2)上有且仅有三个极值点,则26=2+56,=6,所以f(x)=sin

43、(6x-6). 以下同解法一.图D 4-3-514.由f(x)=cos(2x+),得f (x)=-2sin(2x+),则F(x)=f(x)+32f (x)=cos(2x+)-3sin(2x+)=-2sin(2x+-6).因为F(x)为奇函数,所以-6=k(kZ),所以=k+6(kZ),因为|<2,所以=6.对于,由以上可得tan =33,故错误;对于,令f(x)=cos(2x+6)=0,得2x+6=k+2(kZ),则x=k2+6(kZ),即函数f(x)的零点为x=k2+6(kZ),且该函数零点的绝对值的最小值为6,所以a的最小值为6,故正确;对于,F(x)=-2sin 2x,当x(4,3

44、4)时,2x(2,32),此时函数F(x)单调递增,故正确;对于,函数f(x)=cos(2x+6),令2x+6=2k(kZ),得x=k-12(kZ),所以函数f(x)在(0,2)上无极大值点,故错误.15.-332因为f(x)=2sin x+sin 2x,所以f (x)=2cos x+2cos 2x=4cos2x+2cos x-2=4(cos x-12)·(cos x+1).由f (x)>0得12<cos x<1,即2k-3<x<2k+3,kZ,由f (x)<0得-1<cos x<12,即2k-53<x<2k-3,kZ,所以

45、当x=2k-3,kZ时,f(x)取得最小值,且f(x)min=f(2k-3)=2sin(2k-3)+sin 2(2k-3)=-332.16.(1)f(x)=a·b-23sin2(x-3)+3=cos23sin 2x-sin23cos 2x-23sin2(x-3)+3=2sin(2x-3),f(x)的值域为-2,2. 令2x-3=k,kZ,则x=k2+6,kZ.则f(x)图象的对称中心为(k2+6,0),kZ,故f(x)的值域为-2,2,f(x)图象的对称中心为(k2+6,0),kZ.(2)根据题意得f(2x)=2sin(4x-3),令t=4x-3,当x0,4时,t-3,23.由题意可

46、知,x1,x2是方程f(2x)-a=0的两个不同的解,则t1=4x1-3,t2=4x2-3,由y=2sin t在-3,23上的图象知t1+t2=,即4x1-3+4x2-3=,故x1+x2=512,则sin(x1+x2)=sin512=sin(6+4)=6+24.17.512由f(2a+x)+f(-x)=0,可知函数f(x)的图象关于点(a,0)对称.由题图可知,A=2,f(0)=2sin =1,得sin =12,因为|<2,所以=6,所以f(x)=2sin(x+6),又f(x)的图象过点(1112,0),所以由五点作图法知1112+6=2,解得=2,所以f(x)=2sin(2x+6).令

47、2x+6=k,kZ,得x=k212,kZ,所以函数f(x)图象的对称中心为(k212,0),kZ,所以a=k212,kZ,则当k=1时,a取得最小正值,为512.18.14,23易知f(x)图象关于(0,0)对称,则由函数f(x)在-34,4上单调递增可得T434(T为f(x)最小正周期),即2434,结合>0,解得0<23.因为直线y=-2与函数f(x)的图象在-2,0上有且仅有一个交点,所以14×22,54×2>2,(14个最小正周期不大于2,54个最小正周期大于2)解得14<54.综上,14,23.第四讲正、余弦定理及解三角形1. BA选项,因

48、为A>B,所以a>b,由正弦定理得1sin A>sin B>0,所以1sin2A>sin2B>0,-sin2A<-sin2B,1-sin2A<1-sin2B,cos2A<cos2B,即|cos A|<|cos B|,所以A选项正确.B选项,cos C=a2+b2-c22ab>0C为锐角,无法判断A,B两个角的大小,所以B选项错误.C选项,由正弦定理得sin A=sin Bcos C+sin Ccos B,左边=sin(B+C)=右边,所以C选项正确.D选项,由于ABC=114,所以A=B=30°,C=120°

49、,由正弦定理得abc=sin Asin Bsin C=113,所以D选项正确.故选B.2.22由题意得SABC=12acsin B=34ac=3,则ac=4,所以a2+c2=3ac=3×4=12,所以b2=a2+c2-2accos B=12-2×4×12=8,则b=22.3.22解法一由sin A=2sin Bcos C及正弦定理得,a2b=sinA2sinB=cos C,因为a=2,b=3,所以cos C=a2b=13,所以sin C=1-cos2C=223,故ABC的面积S=12absin C=22.解法二因为A+B+C=,所以sin A=sin(B+C),故

50、sin A=sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bcos C,化简得sin(B-C)=0,由B,C为三角形的内角,得B=C,所以b=c=3.设BC边上的高为h,又a=2,所以h=b2-(a2)2=9-1=22,故ABC的面积S=12ah=22.解法三同解法二求出b=c=3,又a=2,所以由海伦公式得,ABC的面积S=p(p-a)(p-b)(p-c)=22(p=a+b+c2=4).4.23因为c=2a+b-3asinCcosA,所以ccos A=2a+b-3asin C.由正弦定理得sin Ccos A=2sin A+sin B-3sin Asin C,因为A+B+C=,所以s

51、in B=sin (A+C)=sin Acos C+cos Asin C,所以2sin A+sin Acos C-3sin Asin C=0.因为sin A0,所以3sin C-cos C=2,即sin(C-6)=1,又0<C<,所以-6<C-6<56,故C-6=2,得C=23.5.4由已知及正弦定理,得3sin Ccos A+sin Asin C=0,因为C(0,),sin C0,所以3cos A+sin A=0,即tan A=-3,又A(0,),所以A=23.如图D 4-4-1,图D 4-4-1易知SABC=SABD+SACD,所以12bc·sin23=1

52、2×1×csin 3+12×1×bsin 3,所以bc=b+c,即1b+1c=1,所以b+c=(b+c)·(1b+1c)=2+bc+cb2+2bc×cb=4,当且仅当c=b=2时,等号成立,所以b+c的最小值为4.6.(1)由4S=c2=2abcos C及S=12absin C,得2absin C=2abcos C,易知cos C0,tan C=1.0<C<,C=4.(2)解法一在斜ABC中,由c2=2abcos C及正弦定理,得sin2C=2sin Asin Bcos C,sin A0,sin B0,sin C0,sin

53、CsinAsinB=2cosCsinC.A+B=-C,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,2cosCsinC=sinAcosB+cosAsinBsinAsinB,2tanC=1tanA+1tanB.解法二1tanA+1tanB=cosAsinA+cosBsinB=sinBcosA+cosBsinAsinAsinB=sin(A+B)sinAsinB=sinCsinAsinB.欲证1tanA+1tanB=2tanC,即证sinCsinAsinB=2cosCsinC,即证2cos C=sin2CsinAsinB,即证2cos C=c2ab,c2=2abcos C

54、,2cos C=c2ab,得证.7.(1)在PBC中,由正弦定理PBsin=BCsin(-),得PB=BC·sinsin(-)=100×sin30°sin(45°-30°)=50(6+2)(m).(2)由(1)得PB=50(6+2)m,在APB中,APB=180°-=105°,PAB=30°,PBsin30°=ABsin105°,AB=PB·sin105°sin30°=100(2+3)(m),DE=AB-AD-BE=100(2+3)-100-33240(m).8.A

55、在ABC中,AC=8,BC=10,BAC>B.如图D 4-4-2,过点A作AD交BC于点D,使得BAD=B,则DAC=BAC-B,cosDAC=cos(BAC-B)=3132.设AD=BD=x(0<x<10),则DC=10-x,在ADC 中,由余弦定理DC2=AD2+AC2-2AD·AC·cosDAC,得(10-x)2=x2+64-2x×8×3132,解得x=8,AD=8,DC=2.图D 4-4-2解法一在ADC中,cosC=AC2+DC2-AD22AC·DC=82+22-822×8×2=18,sinC=1-cos2C=378,故ABC的面积S=12AC·BC·sinC=12×8×10×