一元二次方程应用题

1、一元二次方程解应用题1、列一元二次方程解应用题的特点列一元二次方程解应用题与列一元一次方程解应用题的基本方法相同.从列方程解应用题的方法来讲，列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的，由于一元一次方程未知数是一次，因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决如果未知数出现二次，用算术方法就很困难了，正由于未知数是二次的，所以可以用一元二次方程解决有关面积问题，经过两次增长的平均增长率问题，数学问题中涉及积的一些问题，经营决策问题等等2、列一元二次方程解应用题的一般步骤和列一元一次方程解应用题一样，列一元二次方程解应用题的一般步骤是：“审、设、列、解、答”(1)“审”指读懂题目

2、、审清题意，明确已知和未知，以及它们之间的数量关系这一步是解决问题的基础；(2)“设”是指设元，设元分直接设元和间接设元，所谓直接设元就是问什么设什么，间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的，但由于对列方程有利，因此间接设元也十分重要恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易；(3)“列”是列方程，这是非常重要的步骤，列方程就是找出题目中的等量关系，再根据这个相等关系列出含有未知数的等式，即方程找出相等关系列方程是解决问题的关键；(4)“解”就是求出所列方程的解；(5)“答”就是书写答案，应注意的是一元二次方程的解，有可能不符合题意，如线段的长度不能为负数，降低率不能大于100%等等因此，解出

3、方程的根后，一定要进行检验3、数与数字的关系两位数=(十位数字)×10个位数字三位数=(百位数字)×100(十位数字)×10个位数字4、翻一番翻一番即表示为原量的2倍，翻两番即表示为原量的4倍5、增长率问题(1)增长率问题的有关公式：增长数=基数×增长率，实际数=基数增长数(2)两次增长，且增长率相等的问题的基本等量关系式为：原来的×(1增长率)增长期数=后来的(1)上述相等关系仅适用增长率相同的情形；(2)如果是下降率，则上述关系式为：原来的×(1增长率)下降期数=后来的6、利用一元二次方程解几何图形中的有关计算问题的一般步骤(1)

4、整体地、系统地审读题意；(2)寻求问题中的等量关系(依据几何图形的性质)；(3)设未知数，并依据等量关系列出方程；(4)正确地求解方程并检验解的合理性；(5)写出答案7、列方程解应用题的关键(1)审题是设未知数、列方程的基础，所谓审题，就是要善于理解题意，弄清题中的已知量和未知数，分清它们之间的数量关系，寻求隐含的相等关系；(2)设未知数分直接设未知数和间接设未知数，这就需根据题目中的数量关系正确选择设未知数的方法和正确地设出未知数列方程解应用题应注意：(1)要充分利用题设中的已知条件，善于分析题中隐含的条件，挖掘其隐含关系；(2)由于一元二次方程通常有两个根，为此要根据题意对两根加以检验即判

5、断或确定方程的根与实际背景和题意是否相符，并将不符合题意和实际意义的根舍去二、重难点知识归纳审清题意，找等量关系，合理设未知数列一元二次方程解应用题三、典型例题剖析例1、一个两位数，个位数字与十位数字之和为5，把个位数字与十位数字对调后，所得的两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数思路：数与数字之间的关系是：两位数=(十位数字)×10(个位数字)解题的关键是正确地写出原来的两位数与对调后的两位数，为了便于分析，可列出下表：十位数字个位数字两位数原来的x5x10x(5x)对调后的5xx10(5x)x解：设原两位数的十位数字为x，则个位数字为(5x)，根据题意得10x(5x)

6、10(5x)x=736整理得x25x6=0解这个方程得x1=2，x2=3当x=2时，5x=3，两位数为23；当x=3时，5x=2，两位数为32总结：(1)对于多位数问题要善于用各数位上的数字来表示该多位数；(2)求出方程的解之后，要善于检验它们是否符合题意，不要漏解，更不能保留不合题意的解 例2、在一次象棋比赛中，实行单循环赛制(即每个选手都与其他选手比赛一局)，每局赢者记2分，负者记0分，如果平局，两个选手各记1分，今有4个同学统计了比赛中全部选手的得分总和，结果分别为2005、2004、2070、2008，经核实确定只有一位同学统计无误，试计算这次比赛中共有多少名选手参赛思路：(1)先分析

7、比赛的总局数，假设此次比赛共有x名选手参赛，则共比赛局；(2)再分析得分总和的特征，由于无论胜、负、平每一局比赛都记2分，则比赛局的得分总和就是全部参赛选手的得分总和即x(x1)分，又x必为正整数，因此x与x1是两个连续自然数的积，必为偶数，因此2005分属统计错误，其次两个自然数的积的个位数只可能是0，2，6因此得分总和不可能是2004，2008，由条件知得分总和只可能是2070解：设共有x(x为正整数)名选手参赛，所以共计有局比赛因为每局比赛共记2分，所以全部选手的得分总和为x(x1)分，由于相邻两个自然数之积是偶数，且其个位数字只能是0，2，6，故总得分不能为2005，2004，2008

8、，所以可得方程x(x1)=2070解这个方程得x1=46，x2=45(不合题意舍去)答：这次比赛共有46名选手参赛总结：(1)分析所有参赛选手的得分总和是解本题的关键；(2)正确选取合适的数据是解决本题的难点，这就需要多了解整数的基本特征例3、某商厦今年一月份销售额为60万元，二月份由于经营不善，销售额下降了10%，以后改进管理，大大激发了全体员工的积极性，月销售额大幅度上升，到四月份销售额猛增到96万元，求三、四月份平均每月增长的百分率是多少？(精确到0.1%)思路：这是一个增长率问题，先求出二月份的销售额，再设三、四月份平均增长率为x，表示四月份的销售额解：设三、四月份平均每月增长率为x，

9、依题意得60(110%)(1x)2=96解得由于增长的百分率不能为负数，故不合题意，舍去即答：商厦三、四月份平均每月销售额增长率为33.3%总结：增长率的基本公式为：a(1±x)n，其中a为基数，x为增长率或降低率，n表示经过几个月的月数例4、截至目前，我国退耕还林工程试点扩大到20个省、市、区，具体情况如下表：(单位：万公顷)基本情况造林绿化面积退耕还林面积宜林荒山荒地造林面积2002年完成88.5038.8948.612003年新增227266(1)将上表补充完整；(2)若2005年新增造林绿化面积比2003年新增造林绿化面积翻两番，2004、2005两年的平均增长率相同，求这个

10、增长率思路：由表可知：造林绿化面积=退耕还林面积宜林荒山荒地造林面积2005年新增造林绿化面积比2003年新增造林绿化面积翻两番即为4倍，可列方程求解解：(1)表中数据为493；(2)设这个增长率为x，依题意有493(1x)2=493×4解这个方程，得x1=1，x2=3(不合题意舍去)x=1=100%答：这个增长率为100%总结：正确理解翻两番的含义是解题的关键，应在日常生活中多接触类似术语，理解其含义例5、取一块长80cm、宽60cm的矩形白铁皮，在它的四个角上截四个大小相同的正方形后，把四边折起来，做成一个没有盖子的长方体盒子，如果做成底面积为1500cm2的长方体盒子，截下的小

11、正方形的边长是多少厘米？思路：设截下的小正方形的边长为x cm，则折成的没有盖子的长方体盒子的底面的长为(802x)cm，宽为(602x)cm，则可得方程解：设截下的小正方形的边长为x cm，依题意得(802x)(602x)=1500整理得x270x825=0解得x1=15，x2=55但当x=55时，802x=30，不合题意，舍去x=15答：截下的小正方形的边长为15cm总结：(1)解决有关面积问题时，要注意将不规则图形分割成或组合成规则图形，找出各部分面积之间的关系，再利用规则图形的面积公式列出方程；(2)利用一元二次方程解决实际问题时要对解进行检验，有时一元二次方程的解不一定符合题意例6、

12、如图，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动问：(1)P，Q两点从出发开始几秒时，四边形PBCQ的面积是33cm2？(2)P，Q两点从出发开始到几秒时，点P点Q间的距离是10cm？思路：(1)由于四边形PBCQ为梯形，且高CB=6cm，于是只需表示出上、下底边长即可列出方程；(2)由于PQ两点间的距离，不易用未知数的代数式表示，需通过作辅助线构造基本几何图形直角三角形，利用勾股定理列方程求解解：(1)设P，Q两点从出发开始x秒时，四边形PBCQ的面积是3

13、3cm2，则AP=3x，PB=163x，CQ=2x由梯形的面积公式得，解得x=5答：P，Q两点从出发开始5秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2；(2)设P，Q两点从出发开始到y秒时，点P，点Q间的距离为10cm如图，过点Q作QHAB，交AB于H，则AP=3y，CQ=2y，PH=163y2y，根据勾股定理，得(163y2y)2=10262，化简方程得25y2160y192=0，解得答：P，Q两点从出发开始到时，点P点Q的距离是10cm例7、某商场销售一种名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降

14、价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？思路：每降价1元，则每件盈利(401)元，每天可售出(202)件故若设每件衬衫应降价x元，则每件盈利(40x)元，每天售出(202x)件，再根据总盈利=每件的盈利×售出的件数可列出方程求解解：设每件应降价x元，则每件盈利(40x)元，每天可售出(202x)件，根据题意可列方程(40x)(202x)=1200整理得x230x200=0解得x1=10，x2=20因为要尽量减少库存，在获利相同的情况下，降价越多，销售越快，故每件应降价20元答：每件衬衫应降价20元总结：尽量减少库存是本题方程的根必须适合

15、的题意两根比较不难得出适合题意的一个，但“尽快减少库存”这一要求在审题中很容易被漏掉，从而导致错误，请注意，另外本题中每件衬衫降价x元即是每件盈利减少x元因此在解应用题应认真审清题意，是正确解题的关键例8、汽车在行驶过程中由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住我们称这段距离为刹车距离，在一个限速为35km/h以内的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了，事后现场测得甲车的刹车距离为12m，乙车的刹车距离为10m，已知甲车的刹车距离S甲(m)与车速x(km/h)之间的关系是：S甲=0.1x0.01x2，乙车的刹车距离S乙(m)与车速x(km/h)之间的关系是：

16、S乙=0.05x0.005x2，请你从两车速度方面分析事故原因思路：要求从两车速度方面分析事故原因，就必须从已知的两车的刹车距离计算出在经过这段弯道上时的速度是否超过警示速度，从而断定事故的主要责任者，而已知条件中两车的刹车距离分别为12m和10m，以及两个关系式，通过解方程求出车速，并作出判断解：甲车的刹车距离为12m，0.01x20.1x=12即x210x1200=0解得x1=30，x2=40由于速度不能为负数，x2=40不合题意，舍去所以甲车的速度为30km/h，不超过限速对于乙车则有0.05x0.005x2=10解这个方程得x1=40，x2=50(不合题意，舍去)所以乙车的速度为40k

17、m/h超过了限速35km/h的规定参考题目一、增长率问题：1、恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.2、某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？3、王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年

18、定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）4、 周嘉忠同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的60%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（利息税为20%，只需要列式子）5、市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，则这种药品平均每次降价的百分率为 二、

19、商品定价：1、益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（35010a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？2、利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）。当每吨售价为260元时，月销售量为45吨。该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销。经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨。综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元。（1）当每吨售价是2

20、40元时，计算此时的月销售量；（2）在遵循“薄利多销”的原则下，问每吨材料售价为多少时，该经销店的月利润为9000元。（3）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大。”你认为对吗？请说明理由。3、 国家为了加强对香烟产销的宏观管理,对销售香烟实行征收附加税政策. 现在知道某种品牌的香烟每条的市场价格为70元,不加收附加税时, 每年产销100万条,若国家征收附加税,每销售100元征税x元(叫做税率x%), 则每年的产销量将减少10x万条.要使每年对此项经营所收取附加税金为168万元,并使香烟的产销量得到宏观控制,年产销量不超过50万条,问税率应确定为多少?图1如果人数超过25人，每增加1人，人均

21、旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700元.如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元.4、春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标准.某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？5、某玩具店采购人员第一次用100元去采购“企鹅牌”玩具，很快售完第二次去采购时发现批发价上涨了0.5元，用去了150元，所购玩具数量比第一次多了10件两批玩具的售价均为2.8元问第二次采购玩具多少件？6、某商场试销一种成本为60元/件的T恤，规定试销期间单价不低于成本单价，又获利不得高于40%，经试销

22、发现，销售量（件）与销售单价（元/件）符合一次函数，且时，；时，；（1）写出销售单价的取值范围；（2）求出一次函数的解析式；（3）若该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式，销售单价定为多少时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？三、面积问题：1、一块长和宽分别为40厘米和250厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体纸盒，使它的底面积为450平方厘米.那么纸盒的高是多少？2、如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），另三边用木栏围成，木栏长35m。鸡场的面积能达到150m2吗？鸡场的面积能达到180m2吗？如果能，请你给出设

23、计方案；如果不能，请说明理由。（3）若墙长为m,另三边用竹篱笆围成，题中的墙长度m对题目的解起着怎样的作用?3、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.4、 行程问题：1、A、B两地相距82km，甲骑车由A向B驶去，9分钟后，乙骑自行车由B出发以每小时比甲快2km的速度向A驶去，两人在相距B点40km处相遇。问甲、乙的速度各是多少?2、甲、乙二人分别从相距20千米的A、B两地以

24、相同的速度同时相向而行，相遇后，二人继续前进，乙的速度不变，甲每小时比原来多走1千米，结果甲到达B地后乙还需30分钟才能到达A地，求乙每小时走多少千米3、甲、乙两个城市间的铁路路程为1600公里，经过技术改造，列车实施了提速，提速后比提速前速度增加20公里/小时，列车从甲城到乙城行驶时间减少4小时，这条铁路在现有的安全条件下安全行驶速度不得超过140公里/小时.请你用学过的数学知识说明在这条铁路现有的条件下列车还可以再次提速.4、甲、乙两人分别骑车从A，B两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇，相遇后两人按原来的方向继续前进。乙在由C地到达A地的途中因故停了2

25、0分钟，结果乙由C地到达A地时比甲由C地到达B地还提前了40分钟，已知乙比甲每小时多行驶4千米，求甲、乙两人骑车的速度。5、 工程问题：1、某公司需在一个月（31天）内完成新建办公楼的装修工程如果由甲、乙两个工程队合做，12天可完成；如果由甲、乙两队单独做，甲队比乙队少用10天完成（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程所需的天数（2）如果请甲工程队施工，公司每日需付费用2000元；如果请乙队施工，公司每日需付费用1400元在规定时间内：A请甲队单独完成此项工程出B请乙队单独完成此项工程；C请甲、乙两队合作完成此项工程以上三种方案哪一种花钱最少？2、搬运一个仓库的货物，如果单独搬空，甲需10小时完成，乙需12小时完成，丙需15小时完成，有货物存量相的两个仓库A和B，甲在A仓库，乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙，最后两个仓库的货物同时搬完，丙