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文档简介

1、三垂线定理与空间向量王尚志 张思明 2007-8-18（zt3）在新课程推进的过程中，老师们经常讨论有关“三垂线定理”的问题，下面我们谈一下三垂线定理与空间向量的关系，提供老师一些思路。三垂线定理及其逆定理：平面外的一条直线，在平面的投影内的射线为，直线， 若 ，则 ；（三垂线定理）若 ，则 （三垂线定理的逆定理）关于三垂线定理的证明，从图上一目了然，上的一点向平面做垂线，这个垂线与直线垂直。因此，可以看出，如果，那么就与直线和直线所在的平面垂直，当然，就一定垂直于这个平面上的直线。同样的，可以看出，如果，那么就与直线和直线所在的平面垂直，当然，就一定垂直于这个平面上的直线。三垂线定理及其逆定

2、理，可以帮助我们建立空间想象力。用空间向量认识三垂线定理及其逆定理 我们构造另外一个图。 从向量的角度来说，向量是直线的方向向量；向量是直线的方向向量；直线上的点向平面做垂线，向量就是这条垂线的方向向量，当然，它也是平面的法向量；向量是直线在平面投影的方向向量。这样三垂线定理及其逆定理可以表述为：若向量垂直于向量，则向量垂直于向量。（三垂线定理）若向量垂直于向量，则向量垂直于向量。（三垂线定理的逆定理） 从条件我们知道，向量是平面的法向量，它垂直于平面的任何一个向量，当然它也垂直于向量，即。有了这个准备，三垂线定理及其逆定理的证明就很明显了。关于三垂线定理的证明，由于，即。我们知道，向量和向量

3、是不共线的，向量和向量的线性组合可以表示它们所在平面的任何一个向量，所以向量可以用它们的线性组合表示，即。那么向量与向量是否垂直的问题，就可以用向量点乘的运算来进行讨论。于是我们有：这样我们就完成了证明。从上面的证明过程看起来，比综合几何的证明要长一些，我们希望老师能关注这样一个问题，在上面的证明中，那些红字部分，是我们在向量教学中，帮助学生掌握的内容，把向量的概念、向量的代数运算、以及它们的几何意义等融入学生的头脑，例如，一点和两个不共线的向量可以唯一的决定一个平面，一点和一个法向量也可以决定唯一的一个平面，等等。使学生接受这种思维方式，变成一种“下意识的思维”，有了这样的准备，向量的证明就

4、变得非常简单了。为了使老师有一个深刻的印象，我们做一个类比，我们在学习因式分解公式方法的时候，例如，理解这个公式，需要用到乘法对加法的分配律，在这部分的教学中，我们希望这种认识变成一种“下意识的思维”，以至于使我们感到这是天经地义的事，好像我们没有进行推理一样。三垂线定理的逆定理的证明也是一样的，我们就不再重复了。这两种证明的比较上面我们提供了两种证明的方法，前一种我们通常称之为综合几何的证明方法，后一种是向量几何的证明方法。在这里，我们不去比较究竟哪一种证明比哪一种证明更简单，因为简单是一个相对的概念，它依赖于我们所拥有的知识背景。我们只想向老师介绍，在今后的学习中，我们更多要用到的是向量几何的方法。正如我们前面反复强调的，向量进入高中数学，是数学教育内容的一

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