《偏微分方程教程》第六章 椭圆型方程

1、1偏微分方程教程第六章 椭圆型方程2 2 Green2 Green函数函数 【知识点提示】 Green函数，Green函数的重要性质。【重、难点提示】 Green函数的定义和几个重要性质的证明。【教学目的】 掌握Green函数的定义，理解并掌握几个重要性质。3 2.1. Green2.1. Green函数的定义函数的定义内调和,且在上有连续的一阶偏导数, 则对区域内的任一点 由调和函数的性质6.2知0000()Mx y z0111()( )4uu MudSrnn r(2.1)设是以封闭曲面为边界的有界区域,而函数在()u x y z 其中r是点0M到动点 M 的距离.今后为了明确起见，0MMr

2、表示. 我们也用4公式(2.1)给出了区域内的调和函数的积分表达式，它将内任一点在处的值通过(2.1)用及其导数在边界于在表达式(2.1)中必须同时知道及表示出来.这自然使我们想到能否利用它来求解边值问题，但由在边界能求出在问题或Neumann问题.为了求解如下Dirichlet问题：内的值.(2.2)我们自然想到设法将公式(2.1)中的引出了Green函数的概念及相应的讨论. u这一项消去，un30, ()().ux y zuMM 0Muuunu因此，还不能直接应用它来求解Dirichlet这就上的值上的值，才5()g x y z ug0guugdSnn 给定一个函数,设它在区域内是调和的,

3、且在上有连续的一阶偏导数.对函数和应用第二(2.3)现在将(2.1)与(2.3)相加,就有011()44uu MgugdSrnnr(2.4)若在曲面上函数的值相等,即与g14r014MMgMr Green公式,得6那么(2.4)中含有 un的项就消去了, 这就是我们构造函数 ()g x y z 的目的. 为了讨论问题简洁，我们令 0001()()4MMG M Mg M Mr(2.5) 由(2.4)即得 00()()()MG M Mu Mu MdSn (2.6) 而Dirichlet问题(2.2)的解就可表示为 00()()().MG M Mu Mu MdSn(2.7) 0()G MM我们把由(

4、2.5)给出的函数 Dirichlet问题的GreenGreen函数函数. . 称为Laplace方程的7 这样一来，求解Laplace方程的Dirichlet问题的关键是决定0()G M M 由(2.5)知若函数 0()g M M在 内关于变量 M是调和的，且在边界 上取值 014M Mr, 则可以获得Green函数： 0001()()4MMG M Mg M Mr因此，具有一般边值 ()M可化为求解一个特殊边值的Dirichlet问题： 030 ()14M Mux y zuMr (2.8) 我们将把这种求解方法称为GreenGreen函数法函数法. . Green函数的Dirichlet问题

5、(2.2)的求解，8 对于一般区域, 要证明这种特殊的Dirichlet问题(2.8)解的存在性, 通常和证明在这区域上一般的Dirichlet问题(2.2)解的存在性有同样的困难, 因此Green函数法并不能有效地用来解决一般区域的Laplace方程第一边值问题. 但是, 我们并不因此就否定了Green函数法的意义. 因为Green函数仅依赖于区域, 而与边界条件无关. 关于Green函数法的意义, 我们概括如下: (i) 对于Laplace方程, 如果求得了某个区域上的Green函数, 则这个区域上具有任意连续边界条件的Dirichlet问题解的存在性也就得到了解决, 而且它的解可用积分表

6、达式(2.7)给出. (ii) 对于某些特殊的区域, 如球、半空间和第一卦限等, Green函数的确可以用初等方法求得,而这些特殊区域上的Dirichlet问题在偏微分方程的研究中起着重要的作用. (iii) 可以利用公式(2.7)讨论解的性质. 9 2.2. Green2.2. Green函数的几个重要性质函数的几个重要性质 性质性质 6.56.5 在区域 内的Green函数 0()G M M,除去 0M点外处处都是调和的,当 0MM时, 0()G M M趋于无穷大,且与 01M Mr同阶. 证明留作习题. 性质性质 6.66.6 在区域 的边界 上, 0() 0GMM 性质性质 6.76.

7、7 0()1MG M MdSn 证证 容易验证 1u 是如下边值问题 301.uMu 的解,在(2.7)中取 ()1M即可证明性质6.7. 10 性质性质 6.86.8 在区域 内的任一点 0MM,都有 0010()4MMG M Mr证证 任意固定 110MMM , 以 0M为中心、 1( 0)为半径作一球 1K, 使得 11MK因为 0()G M M在边界 上等于零, 由于当 0MM时, 0()G M M 故存在 210, 使得 0()G M M在以 0M为中心 2的球面上取正值. 在区域 20K 2K( 表示以 0M为中心 2为半径的球)上考虑 0()G M M,为半径11根据调和函数的强

8、极值原理, 在区域 0内的任一点,都有 0()0G M M 特别地, 110MK, 因此 10()0G MM由 1M的任意性即知对区域 内的任一点 0MM 有 0()0G M M又因为函数 0()g M M在区域 内调和,在边界 上取正值 014MMr由强极值原理，故在 上有 0g ,从而推得 001()4MMG MMr综上所述,在区域 内,成立不等式 00010()4MMG M MMMr12性质性质 6.9 (6.9 (对称性对称性) ) 设 1M和 2M是区域 内的任意两点,则有 1221()()G MMG MM证证 分别以 1M, 2M为心,以充分小的正数 为半径作球 1K, 2K,使得

9、它们彼此不相交,且都包含在 内,球的表面分别为 12, (如图6-1). 图图6-16-113记 为 中挖去球 1K1K, 后剩下的部分,它的边界为 12 其中 是 的边界在区域上对函数 1()G M M2()G M M和 应用第二Green公式并注意到 12()()0G M MG M M 于是得到 122112()() ()()0G M MG M MG M MG M MdSnn 即 12112()() ()()G M MG M MG M MG M MdSnn22112()() ()()0G M MG M MG M MG M MdSnn (2.9) ,14对(2.9)取0 的极限, 左端第一项

10、积分的极限为12()G M M 第二项积分的极限为21()G M M 事实上,曲面1上的积分 11111211122222()() ()()()11()()44()().MMMMG M MG M MIG M MG M MdSnnG M MG M MdSrnnrG M MggG M MdSnn由于在球 1K内, g和 2()G M M都是调和函数,且在1 连续的一阶偏导数,故由第二Green公式知,上式第二项积分为零.上具有于是 15111212()11()()44MMMMG M MIG M MdSrnnr(2.10) 因为 2()G M Mn在球 1K上有界,所以(2.10)式中第一项的极限为

11、零, 112()1004MMG M MdSrn 又因为函数 2()G M M在点 1M是连续的,所以 1121()()4MMG M MdSnr121221()()04G M MdSG M M 即16于是得到 1120lim()IG MM 对于曲面 2上的积分 221212()()()()GMMGMMIGMMGMMdSnn同理可得 2210lim()IG MM最后由(2.9)即可推出 1221()()G MMG MM性质6.9表明Green函数0()G M M 是关于动点()M x y z 与点0000()Mxy z 的对称函数. 17注注1 1 关于第二边值问题即Neumann问题的求解,我们

12、也可以像uLaplace方程的第二边值问题解的表达式.需要注意的是这里也同注注2 2 对于在区域内Poisson方程 3() ()uf x y zx y z (2.11)的各种边值问题,在知道方程(2.11)的一个特解的条件下,都可以化归为Laplace方程相应的边值问题.这里以第一边值问题为1u为了求解区域 上的定解问题 上面那样定义Green函数, 将(2.1)中含有样把问题归结为解一个特殊的Neumann边值问题. 的项消去,从而得到例加以说明.事实上,设 是Poisson方程(2.11)的一个特解,183() ()() ()ufx y zx y zux y zx y z (2.12)令1vuu , 则函数v满足Laplace方程的第一边值问题: 310 ()vx y zvu 另一方面, 对于Poisson方程的Dirichlet问题(2.12),亦可用Green函数法写出解的表达式.和推导(2.7)一样,由基本积分公式(1.9)知与(2.1)相对应的表达式为 01111()44ufu MudSdrnn rr(2.13)19由第二Green公式(1.5)知,与(2.3)相对应的表达式为 0guugdSgfdnn (2.14) 将(2.13)与(