第6章期权定价

1、 期权定价是所有衍生金融工具定价中最复杂的，它期权定价是所有衍生金融工具定价中最复杂的，它 涉及到随机过程等较为复杂的概念。而期权定价又是整涉及到随机过程等较为复杂的概念。而期权定价又是整个金融工程学科的重要基础。个金融工程学科的重要基础。 本章将从证券价格的运动规律讲起，逐步推导出本章将从证券价格的运动规律讲起，逐步推导出BSBS期权定价模型。期权定价模型。期权价格的影响因素期权价格的影响因素 n期权价格的影响因素主要有六个期权价格的影响因素主要有六个:n（一）（一）标的资产的市场价格标的资产的市场价格与期权的协议价格与期权的协议价格n（二）期权的有效期（二）期权的有效期n（三）（三）标的资

2、产价格标的资产价格的波动率的波动率n（四）无风险利率（四）无风险利率n（五）（五）标的资产的收益标的资产的收益n（六）（六）红利红利 期权是标的资产的衍生工具，其价格波动的来源主要期权是标的资产的衍生工具，其价格波动的来源主要就是标的资产价格的变化，期权价格受到标的资产价格的就是标的资产价格的变化，期权价格受到标的资产价格的影响。影响。( (相对定价法相对定价法) ) 期权的价值正是来源于签订合约时，未来标的资产价期权的价值正是来源于签订合约时，未来标的资产价格与合约执行价格之间的格与合约执行价格之间的预期差异变化预期差异变化。 证券价格的变化还要受到市场的影响，也就是说市场证券价格的变化还要

3、受到市场的影响，也就是说市场状况使所有证券价格发生变化的基础和环境。状况使所有证券价格发生变化的基础和环境。 19651965年，法玛（年，法玛（FamaFama）提出了著名的）提出了著名的效率市效率市场假说场假说。该假说认为，。该假说认为，1 1）投资者都力图利用可）投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报酬；获得的信息获得更高的报酬；2 2）证券价格对新）证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的，证券价格的市场信息的反应是迅速而准确的，证券价格能完全反应全部信息；能完全反应全部信息；3 3）市场竞争市场竞争使证券价格使证券价格从一个均衡水平过渡到另一个均衡水平，而从一个均衡水平过渡到另一

4、个均衡水平，而与与新信息相应的价格变动是相互独立的新信息相应的价格变动是相互独立的 1 1、弱式效率市场假说认为，证券价格、弱式效率市场假说认为，证券价格变动的历史变动的历史不包含任何对预不包含任何对预测证券价格未来变动有用的测证券价格未来变动有用的信息信息，也就是说不能通过技术分析获，也就是说不能通过技术分析获得超过平均收益率的收益。得超过平均收益率的收益。2 2、半强式效率市场假说认为，证券价格会迅速、准确地根据可获、半强式效率市场假说认为，证券价格会迅速、准确地根据可获得的得的所有公开信息所有公开信息调整，因此以往的价格和成交量等技术面信息调整，因此以往的价格和成交量等技术面信息以及已公

5、布的基本面信息都无助于挑选价格被高估或低估的证券。以及已公布的基本面信息都无助于挑选价格被高估或低估的证券。3 3、强式效率市场假说认为，不仅是已公布的信息，而且是、强式效率市场假说认为，不仅是已公布的信息，而且是可能获可能获得的有关信息得的有关信息都已反映在股价中，因此任何信息（包括都已反映在股价中，因此任何信息（包括“内幕信内幕信息息”）对挑选证券都没有用处。）对挑选证券都没有用处。从定性到定量从定性到定量 从规范到实证从规范到实证n效率市场假说是效率市场假说是从定性的从定性的角度研究证券市场的，为进一步的角度研究证券市场的，为进一步的研究提供了研究提供了基础和背景基础和背景，但是它并不能

6、告诉我们证券价格是，但是它并不能告诉我们证券价格是怎样变动的怎样变动的。为此，需要找到某种方法描述证券价格的运动，。为此，需要找到某种方法描述证券价格的运动，并从中找到证券价格变动的规律。并从中找到证券价格变动的规律。n人们在对证券的价格进行研究时发现，人们在对证券的价格进行研究时发现，随机过程随机过程能够很好地能够很好地反映证券价格的变化，从而实现了从定性研究到定量研究，反映证券价格的变化，从而实现了从定性研究到定量研究，从规范研究到实证研究的转变。从规范研究到实证研究的转变。 随机过程（随机过程（Stochastic ProcessStochastic Process）是指某变量的值）是指

7、某变量的值以某种以某种不确定的方式不确定的方式随时间变化的过程。根据时间是否随时间变化的过程。根据时间是否连续和变量取值范围是否连续，随机过程可以做如下的连续和变量取值范围是否连续，随机过程可以做如下的划分：划分： 从严格意义上说，证券价格的变化过程属于从严格意义上说，证券价格的变化过程属于离散变量的离散变量的离散时间随机过程离散时间随机过程，为了研究方便，可以把它近似为连续变，为了研究方便，可以把它近似为连续变量的连续时间的随机过程。量的连续时间的随机过程。 一般认为，弱式效率市场假说与马尔可夫随机过程一般认为，弱式效率市场假说与马尔可夫随机过程（Markov Stochastic Proc

8、essMarkov Stochastic Process）是内在一致的。）是内在一致的。 马尔可夫过程是一种特殊类型的随机过程。在这个过马尔可夫过程是一种特殊类型的随机过程。在这个过程中，程中，只有变量的当前值才与未来的预测有关只有变量的当前值才与未来的预测有关，变量过去的，变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式与未来的预测无关。历史和变量从过去到现在的演变方式与未来的预测无关。 如果证券价格遵循马尔可夫过程，则意味着其未来价格如果证券价格遵循马尔可夫过程，则意味着其未来价格的概率分布只取决于该证券现在的价格，这显然和弱式效率的概率分布只取决于该证券现在的价格，这显然和弱式效率市场假说是一

9、致的。市场假说是一致的。 布朗运动（布朗运动（Brownian MotionBrownian Motion）起源于）起源于物理学中物理学中对完对完全浸没于液体或气体中的小粒子运动的描述。全浸没于液体或气体中的小粒子运动的描述。 对于标准布朗运动来说：设对于标准布朗运动来说：设 代表一个小的代表一个小的时间间隔长度，时间间隔长度， 代表变量代表变量 z 在在 时间内的时间内的变化变化，遵循标准布朗运动的遵循标准布朗运动的 具有两种特征：具有两种特征：特征特征1： 和和 的关系满足：的关系满足： =其中，其中， 代表从标准正态分布（即均值为代表从标准正态分布（即均值为0、标准、标准差为差为1.0的

10、正态分布）中取的一个随机值。的正态分布）中取的一个随机值。特征特征2：对于任何两个不同时间间隔对于任何两个不同时间间隔 ， 的值的值相互独立相互独立。t tz z zttzzt当 0时，可以得到极限的标准布朗运动标准布朗运动：dtdzt1、为何定义 = 而非 ？ z 当需要考察任意时间长度间隔中的变量变化的情况时，当需要考察任意时间长度间隔中的变量变化的情况时，独立的正态分布，独立的正态分布，期望值和方差具有可加性期望值和方差具有可加性，而标准差不，而标准差不具有可加性。这样定义可以使方差与时间长度成比例，不具有可加性。这样定义可以使方差与时间长度成比例，不受时间划分方法的影响。受时间划分方法

11、的影响。相应的一个结果就是：标准差的单位变为相应的一个结果就是：标准差的单位变为 年t t2 2、符合、符合标准布朗运动标准布朗运动的变量的变量z z在一段较长时间在一段较长时间T T中的变化情形：中的变化情形：令令z z（T T）z(0)z(0)表示变量表示变量z z在在T T中的变化量，显然该变量又可中的变化量，显然该变量又可被看作是在被看作是在N N个长度为的小时间间隔中个长度为的小时间间隔中z z的变化总量，其中的变化总量，其中N=T/ N=T/ t t 。tzTzNii1)0()(很显然，这是很显然，这是 n n 个个相互独立相互独立的正态分布的和：的正态分布的和： 因此，因此，z

12、z（T T）- z- z（0 0）也具有正态分布特征，其均值为）也具有正态分布特征，其均值为0 0，方差为方差为N N t =Tt =T，标准差，标准差 。 T普通布朗运动普通布朗运动 若变量若变量x 遵循普通布朗运动：遵循普通布朗运动： 其中：其中：1、a和和b均为常数，均为常数，dz 遵循标准布朗运动遵循标准布朗运动。 2、a为漂移率（为漂移率（Drift Rate），是指单位时间内变量），是指单位时间内变量 z 均值的变化值。均值的变化值。 3、b2为方差率（为方差率（Variance Rate），是指单位时间的方差。），是指单位时间的方差。 bdzadtdx普通布朗运动的离差形式为普通

13、布朗运动的离差形式为 ，显然，显然，x也也具有正态分布特征，其均值为具有正态分布特征，其均值为 ，标准差为，标准差为 ，方差为，方差为tbtaxtatb tb 21 1、遵循普通布朗运动的变量、遵循普通布朗运动的变量 x x是关于时间和是关于时间和 dz dz 的动态过程，的动态过程，其中第一项其中第一项 adt adt 为确定项，它意味着为确定项，它意味着 x x 的期望漂移率是每的期望漂移率是每单位时间为单位时间为 a a。第二项。第二项 bdz bdz 是随机项，它表明对是随机项，它表明对 x x 的动态的动态过程添加的噪音。这种噪音是由过程添加的噪音。这种噪音是由维纳过程维纳过程的的

14、b b 倍给出的。倍给出的。2 2、在任意时间长度、在任意时间长度T T 后后 x x 值的变化也具有正态分布特征，值的变化也具有正态分布特征，其均值为其均值为 aT aT，标准差为，标准差为 ，方差为，方差为 b b2 2T T。3 3、标准布朗运动的漂移率、标准布朗运动的漂移率 a a 为为 0, 0,方差率为方差率为 1 1。 Tb 普通布朗运动假定普通布朗运动假定漂移率和方差率漂移率和方差率为常数，若把变为常数，若把变量量x x的的漂移率和方差率当作变量漂移率和方差率当作变量x x和时间和时间t t的函数的函数，就可以，就可以得到得到 ，这就是伊藤过程，这就是伊藤过程（Ito Proc

15、essIto Process） 其中，其中，dz dz 是一个标准布朗运动，是一个标准布朗运动，a a、b b是变量是变量 x x 和和 t t的函数，变量的函数，变量x x的漂移率为的漂移率为 a a ，方差率为，方差率为 b b2 2。 dztxbdttxadx),(),(16 随机分析学是概率论的一个重要分支随机分析学是概率论的一个重要分支,它诞生于它诞生于20世纪世纪40 年代年代,创始人创始人K.Ito获得获得1987年年Wolf数学奖数学奖.在对获奖工作的评价中写到在对获奖工作的评价中写到:“他的随机分析可以看作他的随机分析可以看作随机王国中的牛顿定律随机王国中的牛顿定律.它提供的

16、支配自然现它提供的支配自然现象的偏微分方程和隐藏着的概率机制之间的直接翻译过程。象的偏微分方程和隐藏着的概率机制之间的直接翻译过程。.。 其主要成分是其主要成分是Brown运动函数的微分和积分运算运动函数的微分和积分运算.由此产生的理论是由此产生的理论是近代近代纯粹与应用概率论的基石纯粹与应用概率论的基石.K.Ito(随机分析简介随机分析简介) 在伊藤过程的基础上，数学家伊藤（在伊藤过程的基础上，数学家伊藤（K.ItoK.Ito）进一步推）进一步推导出：若变量导出：若变量x x遵循伊藤过程，则变量遵循伊藤过程，则变量x x和和t t的函数的函数G G将遵循将遵循如下过程：如下过程： bdzxG

17、dtbxGtGaxGdG)21(222 其中，其中，dzdz是一个标准布朗运动。这就是著名的伊藤引理。是一个标准布朗运动。这就是著名的伊藤引理。 在研究证券价格变化过程的时候，目标是在研究证券价格变化过程的时候，目标是尽量尽量找到一个找到一个合适的合适的随机过程表达式随机过程表达式，来准确地描述证券价格的变动过程，来准确地描述证券价格的变动过程，同时尽量实现数学处理上的简单性。同时尽量实现数学处理上的简单性。一般来说，金融研究者认为一般来说，金融研究者认为证券价格的变化过程证券价格的变化过程可以用漂移可以用漂移率为率为SS、方差率为、方差率为 S S2 2 的的伊藤过程伊藤过程来表示：来表示：

18、 2dSSdtSdz两边同除以两边同除以S S得：得： dzdtSdS 该随机过程又可以称为几何布朗运动。其中该随机过程又可以称为几何布朗运动。其中 S S 表示证券价格，表示证券价格，表示证券在瞬间内以连续复利表示的期望收益率（又称预期收表示证券在瞬间内以连续复利表示的期望收益率（又称预期收益率），益率）， 表示证券收益率表示证券收益率瞬间瞬间的方差，的方差， 表示证券收益率表示证券收益率瞬间的标准差，简称证券价格的波动率（瞬间的标准差，简称证券价格的波动率（VolatilityVolatility），），dz dz 表示表示标准布朗运动。标准布朗运动。其中，其中，和和的时间度量单位一般都采

19、用年。几何布朗运动的离的时间度量单位一般都采用年。几何布朗运动的离散形式为：散形式为： 2ttSS为什么证券价格可以用几何布朗运动表示？为什么证券价格可以用几何布朗运动表示？ 1 1、市场一般认同股票市场符合、市场一般认同股票市场符合“弱式效率市场假说弱式效率市场假说”，而，而几几何布朗运动的随机项来源于标准布朗运动何布朗运动的随机项来源于标准布朗运动 dzdz，具有马尔可夫，具有马尔可夫性质，符合弱式效率的假说。性质，符合弱式效率的假说。 2 2、投资者感兴趣的不是股票价格、投资者感兴趣的不是股票价格S S，而是独立于价格的收益率。，而是独立于价格的收益率。投资者不是期望股票价格以一定的绝对

20、价格增长，而是期望股投资者不是期望股票价格以一定的绝对价格增长，而是期望股票价格以一定的票价格以一定的增长率在增长增长率在增长。3 3、几何布朗运动最终隐含的是：、几何布朗运动最终隐含的是：股票价格的连续复利收益率股票价格的连续复利收益率（而不是百分比收益率）为正态分布；股票价格为对数正态分布。（而不是百分比收益率）为正态分布；股票价格为对数正态分布。在短时间在短时间 后，证券价格比率的变化值后，证券价格比率的变化值 为：为： tSSttSS 可见，可见， 也具有正态分布特征，其均值为也具有正态分布特征，其均值为 ，标准，标准差为差为 ，方差为，方差为 。也就是说也就是说其中其中 表示均值为表

21、示均值为 m m ，标准差为，标准差为 s s 的正态分布。的正态分布。SStt),(ttSSt2),(sm1 1、几何布朗运动意味着股票价格服从对数正态分布。、几何布朗运动意味着股票价格服从对数正态分布。令令t t时刻时刻 G G 的值为的值为 lnSlnS，T T 时刻时刻G G的值为的值为 lnSlnST T，其中，其中 S S 表示表示t t 时刻（当前时刻）的证券价格，时刻（当前时刻）的证券价格，S ST T 表示表示 T T 时刻（将来时时刻（将来时刻）的证券价格，则在刻）的证券价格，则在 T Tt t 期间期间 G G 的变化为：的变化为： 从正态分布的性质可以得到：从正态分布的

22、性质可以得到：),)(lnln22tTtTSST),)(lnln22tTtTSST两点重要结论： 也就是说，证券价格对数服从正态分布。如果一个变量也就是说，证券价格对数服从正态分布。如果一个变量的自然对数服从正态分布，则称这个变量服从对数正态分布。的自然对数服从正态分布，则称这个变量服从对数正态分布。这表明这表明 S ST T 服从对数正态分布。根据对数正态分布的特性，服从对数正态分布。根据对数正态分布的特性，以及符号的定义，可以得到以及符号的定义，可以得到: : 和和)()(tTTSeSE 1)var()()(222tTtTTeeSS从正态分布的性质可以得到：从正态分布的性质可以得到：),)

23、(lnln22tTtTSST2 2、股票价格对数收益率服从正态分布、股票价格对数收益率服从正态分布 由于由于 dG dG 实际上就是实际上就是连续复利的对数收益率连续复利的对数收益率。因此几何。因此几何布朗运动实际上意味着布朗运动实际上意味着对数收益率遵循普通布朗运动，对数对数收益率遵循普通布朗运动，对数收益率的变化服从正态分布，对数收益率的标准差与时间的收益率的变化服从正态分布，对数收益率的标准差与时间的平方根成比例。平方根成比例。:1 1、几何布朗运动中的、几何布朗运动中的期望收益率期望收益率。 2 2、根据资本资产定价原理，、根据资本资产定价原理， 取决于该证券的系统性风险、无取决于该证

24、券的系统性风险、无风险利率水平、以及市场的风险利率水平、以及市场的风险收益偏好风险收益偏好。3 3 、较长时间段后的连续复利收益率的期望值等于、较长时间段后的连续复利收益率的期望值等于 ，小于小于 ，这是因为较长时间段后的连续复利收益率的期望值，这是因为较长时间段后的连续复利收益率的期望值是较短时间内收益率是较短时间内收益率几何平均几何平均的结果，而较短时间内的收益率的结果，而较短时间内的收益率则是算术平均的结果。则是算术平均的结果。 2/21 1、证券价格的年波动率，是股票价格对数收益率的年标准差、证券价格的年波动率，是股票价格对数收益率的年标准差 2 2、一般从历史的证券价格数据中计算出样

25、本对数收益率的标、一般从历史的证券价格数据中计算出样本对数收益率的标准差，再对时间标准化，得到年标准差，即为波动率的估计准差，再对时间标准化，得到年标准差，即为波动率的估计值。值。* * 一般来说时间距离计算时越近越好；时间窗口太长也不好；一般来说时间距离计算时越近越好；时间窗口太长也不好；一般来说采用一般来说采用交易天数交易天数计算波动率而不采用日历天数。计算波动率而不采用日历天数。 :假设：假设：1 1、证券价格遵循几何布朗运动，即、证券价格遵循几何布朗运动，即 和和 为常数；为常数；2 2、允许卖空标的证券；、允许卖空标的证券；3 3、没有交易费用和税收，所有证券都是、没有交易费用和税收

26、，所有证券都是完全可分完全可分的；的；4 4、衍生证券有效期内、衍生证券有效期内标的证券没有现金收益标的证券没有现金收益支付；支付；5 5、不存在无风险套利机会；、不存在无风险套利机会；6 6、证券交易是连续的，价格变动也是连续的；、证券交易是连续的，价格变动也是连续的；7 7、衍生证券有效期内，无风险利率、衍生证券有效期内，无风险利率r r为常数。为常数。 由于证券价格由于证券价格 S S 遵循几何布朗运动，有：遵循几何布朗运动，有：SdzSdtdS在一个小的时间间隔在一个小的时间间隔 中，中，S S 的变化值的变化值 为：为： 在一个小的时间间隔中，在一个小的时间间隔中，f f 的变化值的

27、变化值 为：为： （2）zStSStSSdzSfdtSSftfSSfdf)21(2222zSSftSSftfSSff)21(2222设设 f f 是依赖于是依赖于 S S 的衍生证券的价格，的衍生证券的价格，则则 f f 一定是一定是 S S 和和 t t 的函数，的函数，根据伊藤引理可得：根据伊藤引理可得： （1）f构建一个包括一单位衍生证券空头和构建一个包括一单位衍生证券空头和 单位标的证券多头单位标的证券多头的组合。令的组合。令 代表该投资组合的价值，则：代表该投资组合的价值，则： SfffSx (3)在在 时间后，该投资组合的价值变化时间后，该投资组合的价值变化 为：为：ffSS t(

28、4) 将式（将式（1 1）和（）和（2 2）代入式（）代入式（4 4），可得：），可得：tSSftf)21(2222（5）由于式（由于式（5 5）中不含有）中不含有 ，该组合的价值在一个，该组合的价值在一个小时间小时间间隔后间隔后 必定没有风险，因此该组合在必定没有风险，因此该组合在 中的瞬时收中的瞬时收益率一定等于益率一定等于 中的无风险收益率。中的无风险收益率。因此：因此： zttttr (6)把式（把式（3 3）和（）和（5 5）代入上式得：）代入上式得：tSSffrtSSftf)()21(2222化简为：化简为： rfSfSSfrStf222221（7） 这就是著名的布莱克这就是著名的

29、布莱克舒尔斯微分方程，适用于其价舒尔斯微分方程，适用于其价格取决于标的证券价格格取决于标的证券价格 S S 的所有衍生证券的定价。的所有衍生证券的定价。 受制于主观的风险收益偏好的标的证券预期收益率（受制于主观的风险收益偏好的标的证券预期收益率（ ）并未）并未包括在衍生证券的价值决定公式中。这意味着，无论风险收益偏包括在衍生证券的价值决定公式中。这意味着，无论风险收益偏好状态如何，都不会对好状态如何，都不会对 f f的值产生影响。的值产生影响。 因此，因此，可以可以假设：在对衍生证券定价时，所有投资者都是风假设：在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。险中性的。尽管这只是一个尽管这只是一

30、个人为的假定人为的假定，但通过这种假定所获得，但通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。险的所有情况。 风险中性定价原理风险中性定价原理: : 在风险中性的条件下，所有证券的预期在风险中性的条件下，所有证券的预期收益率都可以等于收益率都可以等于无风险利率无风险利率 r r，所有现金流量都可以通过无风，所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。险利率进行贴现求得现值。 风险中性定价原理风险中性定价原理 在风险中性的条件下，无收益资产欧式看涨期权到期时在风险中性的条件下，无收益资产欧式看

31、涨期权到期时（T T时刻）的期望值为：时刻）的期望值为：)0 ,max(XSET其中，其中， E 表示风险中性条件下的期望值。根据风险中性定价表示风险中性条件下的期望值。根据风险中性定价原理，欧原理，欧式看涨期权的价格式看涨期权的价格 c c 等于将此期望值按无风险利率进等于将此期望值按无风险利率进行贴现后的现值，即：行贴现后的现值，即： )0 ,max()(XSEecTtTr（8） 布莱克布莱克-舒尔斯期权定价方程的推导舒尔斯期权定价方程的推导对（对（8 8）右边求值是一种积分过程，结果为：）右边求值是一种积分过程，结果为：其中，其中，)()(2)(1dNXedSNctTr（9） tTdtT

32、tTrXSdtTtTrXSd12221)(2/()/ln()(2/()/ln( N N（x x）为标准正态分布变量的）为标准正态分布变量的累计概率分布函数累计概率分布函数（即（即这个变量小于这个变量小于x x的概率），根据标准正态分布函数特性，的概率），根据标准正态分布函数特性，有有 。 )(1)(xNxN 在在B-S公式中，公式中，1 1） N(d N(d2 2) )是在风险中性世界中是在风险中性世界中 S ST T 大于大于X X的概率，或者说的概率，或者说是欧式是欧式看涨期权被执行的概率看涨期权被执行的概率. .2 2） e e-r(T-t)-r(T-t)XN(dXN(d2 2) )是是

33、 X X 的风险中性期望值的现值。的风险中性期望值的现值。 3 3） SN(d SN(d1 1)= e)= e-r(T-t-r(T-t)S)ST T N(d N(d1 1) )是是 S ST T 的风险中性期望值的的风险中性期望值的现值现值 。 因此，这个公式因此，这个公式的实质的实质就是就是未来收益期望值的贴现未来收益期望值的贴现。对于布莱克舒尔斯期权定价公式的理解对于布莱克舒尔斯期权定价公式的理解无收益资产的欧式无收益资产的欧式看跌期权看跌期权的定价公式的定价公式 根据欧式看涨期权和看跌期权之间存在平价关系，根据欧式看涨期权和看跌期权之间存在平价关系，可以得到无收益资产欧式看跌期权的定价公

34、式：可以得到无收益资产欧式看跌期权的定价公式：(ppt54)(ppt54)()(12)(dSNdNXeptTr（10） 期权定价的二叉树模型期权定价的二叉树模型n布莱克舒尔斯期权定价公式可为一个欧式看涨、看跌期权，以布莱克舒尔斯期权定价公式可为一个欧式看涨、看跌期权，以及美式无收益看涨期权定价，但是布莱克舒尔斯期权定价公式及美式无收益看涨期权定价，但是布莱克舒尔斯期权定价公式并不是万能的，尤其是美式看跌期权，因为美式看跌期权有提前并不是万能的，尤其是美式看跌期权，因为美式看跌期权有提前执行的可能性。执行的可能性。n为股票期权定价的一个有用的和很常见的方法是构造所谓的二叉为股票期权定价的一个有用

35、的和很常见的方法是构造所谓的二叉树图（树图（binomial tree）。这个树图表示了在期权有效期内股票）。这个树图表示了在期权有效期内股票价格可能价格可能遵循的路径遵循的路径。单步二叉树模型单步二叉树模型n例子：假设一种股票当前价格为例子：假设一种股票当前价格为20美元，美元，3个月后的价格可能个月后的价格可能为为22美元或美元或18美元。美元。n假设：假设：1）股票不付红利，打算对）股票不付红利，打算对3个月后以个月后以21美元的执行价格美元的执行价格买入股票的欧式看涨期权进行定价。买入股票的欧式看涨期权进行定价。n 2）无风险利率为）无风险利率为12%。简单的二叉树模型Stockpri

36、ce=$20StockPrice=$22n当前股票价格为当前股票价格为 $20n三个月以后三个月以后 $22 or $18StockPrice=$18买 权StockPrice=$22OptionPrice=$1StockPrice=$18OptionPrice=$0Stockprice=$20OptionPrice=?一个三个月的股票看涨期权，执行价格为$21n考虑一个投资组合:long sharesshort 1 call optionnn投资组合什么时候是无风险的：n 22 1 = 18 or = 0.2522 118建立一个无风险投资组合对投资组合进行定价n无风险投资组合为: long

37、 0.25 shares short 1 call optionn三个月以后的价值： n22 x 0.25 1 = 4.50n投资组合今天的价值：n 4.5e 0.12 0.25 = 4.3670 x期 权 定 价n投资组合 long 0.25 shares short 1 option 组合当前价值 4.367n 其中股票的价值n 5.000 (= 0.25 20 )n 所以期权的价值为n 0.633 (= 5.000 4.367 )x20221824.219.816.2无收益资产美式看涨期权的定价公式 在标的资产无收益情况下，美式看涨期权提前执行是不合理的，因此C=c，无收益资产美式看涨期

38、权的定价公式同样是：()12()()r T tCSN dXeN d有收益资产的欧式期权的定价公式 对于有收益标的资产的欧式期权，在收益已知情况下，我们可以把标的证券价格分解成两部分：期权有效期内已知现金收益的现值部分和一个有风险部分。当期权到期时，这部分现值将由于标的资产支付现金收益而消失。因此，我们只要用S表示有风险部分的证券价格。表示风险部分遵循随机过程的波动率，就可直接套用公式（9）和（10）分别计算出有收益资产的欧式看涨期权和看跌期权的价值。 因此，当标的证券已知收益的现值为I时，我们只要用（SI）代替S即可求出固定收益证券欧式看涨和看跌期权的价格。 当标的证券的收益为按连续复利计算的

39、固定收益率q（单位为年）时，我们只要将 代替S就可求出支付连续复利收益率)(tTqSe证券的欧式看涨和看跌期权的价格。 一般来说，期货期权、股指期权和外汇期权都可以看作标的资产支付连续复利收益率的期权。其中，欧式期货期权可以看作一个支付连续红利率为r的资产的欧式期权；股指期权则是以市场平均股利支付率为收益率，外汇期权标的资产的连续红利率为该外汇在所在国的无风险利率。 对于欧式期货期权，可以将其当成一个支付连续红利率为 r 的资产的欧式期权。因此，此时布莱克舒尔斯期权定价模型为：)()(21)(dXNdFNectTr（11） )()(12)(dFNdXNeptTr （12） 其中，21ln(/)

40、(/2)()F XTtdTt221ln(/)(/2)()F XTtddTtTt 假设当前英镑的即期汇率为$1.5000，美国的无风险连续复利年利率为7%，英国的无风险连续复利年利率为10%，英镑汇率遵循几何布朗运动，其波动率为10%，求6个月期协议价格为$1.5000的英镑欧式看涨期权价格。 解：由于英镑会产生无风险收益，现在的1英镑等于6个月5 . 01 . 0 e英镑，而现在的 5 . 01 . 0 e英镑等于6个月后的1英镑，5 . 01 . 05000. 1eS ，并代入式（6.23）就可求出后的因此可令期权价格。2475. 05 . 01 . 01768. 01768. 00707.

41、 00375. 005. 05 . 01 . 05 . 0)2/01. 007. 0()5000. 1/5000. 1ln()(4484. 1)(4268. 1)(5000. 1)(5000. 1125 . 01 . 012125 . 007. 015 . 01 . 0tTddeddNdNdNedNec通过查累积正态分布函数N（x）的数据表，我们可以得出：c=1.42680.4298-1.44840.4023=0.0305=3.05美分因此,6个月期英镑欧式看涨期权价格为3.05美分。有收益资产的美式看涨期权的定价 当标的资产有收益时，美式看涨期权就有提前执行的可能，因此有收益资产美式期权的定

42、价较为复杂，布莱克提出了一种近 似处理方法。该方法是先确定提前执行美式看涨期权是否合理。若不合理，则按欧式期权处理；若在 nt提前执行有可能是合理nt价格，然后将二者之中的较大者作为美式期权的价格。在大多数情况下，这种近似效果都不错。 时刻到期的欧式看涨看涨期权的的，则要分别计算在T时刻和 假设一种1年期的美式股票看涨期权，标的股票在5个月和11个月后各有一个除权日，每个除权日的红利期望值为1.0元，标的股票当前的市价为50元，期权协议价格为50元，标的股票波动率为每年30%，无风险连续复利年利率为10%，求该期权的价值。 首先我们要看看该期权是否应提前执行。根据第5章的结论，美式看涨期权不能

43、提前执行的条件是： 1 )(1iittrieXD在本例中，D1=D2=1.0元，而第一次除权日前不等式右边为：4385. 2)1 (501 5 . 01 . 0)(12eeXttr由于2.43851.0元，因此在第一个除权日前期权不应当执行。4148. 0)1 (501 0833. 01 . 0)(2eeXtTr由于0.41481.0元，因此在第二个除权日前有可能提前执行。第二次除权日前不等右边为： 然后，要比较1年期和11个月期欧式看涨期权价格。对于1年期欧式看涨期权来说，由于红利的现值为：元8716. 10 . 10 . 19167. 01 . 04167. 01 . 0ee因此S=50-

44、1.8716=48.1284元 将S=48.1284，代入式（9）得：)(2419.45)(1284.48)(50)(1284.4821211 . 0112dNdNdNedNc其中， 0562. 013 . 03562. 03562. 013 . 01)2/09. 01 . 0()50/1284.48ln(21dd由于N（0.3562）=0.6392，N（0.0562）=0.5224，因此元1293. 75224. 02419.456392. 01284.4812c对于11个月期的欧式看涨期权来说，由于红利的现值为：元9592. 00 . 14167. 01 . 0e因此 S=50-0.9592=49.0408元 因此将S=49.0408元，代入式（9）得： )(6203.45)(0408.49)(50)(0408.492129167. 01 . 0111dNdNdNedNc其中， 3952. 09167. 03 . 09167.