(课件)24一元二次方程根与系数的关系

1、义务教育教科书（湘教版义务教育教科书（湘教版)九年级数学上册九年级数学上册1.1.一元二次方程的解法一元二次方程的解法2.2.求根公式求根公式 复习提问复习提问一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般形式：24bac 242bbacxa 方程的判别式：方程的判别式：当当时，方程才有解，可以用求根时，方程才有解，可以用求根公式写出它的根。公式写出它的根。求根公式为：求根公式为：200axbxca 我们已经知道，一元二次方程：我们已经知道，一元二次方程：axax2 2+bx+c=0+bx+c=0（a0a0）的根的值由方程的）的根的值由方程的系数系数a a、b b、c c来决定，除此之外，根与来决

2、定，除此之外，根与系数之间还有什么关系呢？系数之间还有什么关系呢？ 完成下面做一做。完成下面做一做。1.1.先解方程，再填表。先解方程，再填表。2 20 0-4-41 1-3-3-4-42 23 35 56 6由上表可得，方程由上表可得，方程x x2 2+bx+c=0+bx+c=0的两根为的两根为x x1 1、x x2 2，则，则x x1 1+x+x2 2=_,x=_,x1 1xx2= 2= _._.-b-bc c2 20 02.2.方程方程x x2 2-5x+6=0-5x+6=0的两个根为的两个根为: : x x1 1=_,x=_,x2 2=_.=_.得得x x2 2-5x+6=-5x+6=

3、（x-_)(x-_).x-_)(x-_).2 23 32 23 3 刚才我们列举了部分方程，发现两根和、两根积刚才我们列举了部分方程，发现两根和、两根积与系数有这样的关系，那是不是所有的一元二次方程与系数有这样的关系，那是不是所有的一元二次方程根与都有关系呢？根与都有关系呢？当当0 0时，设时，设axax2 2+bx+c=0+bx+c=0（aa）的两个根为）的两个根为x x1 1、x x2 2，则则 axax2 2+bx+c=a+bx+c=a（x x2 2+ x+ + x+ ）baca=a=a（x-xx-x1 1）（）（x-xx-x2 2）=a=ax x2 2- -（x x1 1+x+x2 2

4、）+x+x1 1x x2 2 于是，于是，x x2 2+ x+ =x+ x+ =x2 2- -（x x1 1+x+x2 2）+x+x1 1x x2 2bacacababaca由此可得，由此可得， =-=-（x x1 1+x+x2 2），）， =x=x1 1x x2.2.即即 x x1 1+x+x2 2=- =- ，x x1 1x x2 2= = 韦达定理韦达定理 这表明，当这表明，当0 0时，一元二次方程的根与时，一元二次方程的根与系数之间有如下的关系：系数之间有如下的关系： 两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数；相反数； 两根的积等于常数项与

5、二次项系数的比。两根的积等于常数项与二次项系数的比。caba 12xx12x x 此定理是法国数学家韦达此定理是法国数学家韦达首先发现的，也称为韦达定理首先发现的，也称为韦达定理 对任意的一元二次方程对任意的一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0（a a0 0），它的两根之和与两根之积与方程的系数都有它的两根之和与两根之积与方程的系数都有这样的关系存在，就是这样的关系存在，就是 例例1 1 根据一元二次方程根与系数的关系，求下列根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两根方程两根x x1 1、x x2 2的和与积。的和与积。（1 1）2x2x2 2-3x+1=0-3x+1=0

6、，（2 2）x x2 2-3x+2=10-3x+2=10，（3 3）7x7x2 2-5=x+8.-5=x+8.例例2 2 已知关于已知关于x x的方程的方程x x2 2+3x+q=0+3x+q=0的一个跟为的一个跟为-3,-3,求它的另一个根及求它的另一个根及q q的值。的值。解：设解：设x x2 2+3x+q=0+3x+q=0的另一个根为的另一个根为x x2 2，则，则-3+x-3+x2 2=-3=-3解得解得x x2 2=0=0有根与系数之间的关系得有根与系数之间的关系得 q=q=（-3-3）0=00=0因此，方程的另一个根为因此，方程的另一个根为0 0，q q的值为的值为0.0.你还能用

7、其它的方法解答此题吗？试试看。你还能用其它的方法解答此题吗？试试看。 1. 1. 利用根与系数的关系，求作一个一利用根与系数的关系，求作一个一元二次方程，使它的两根为元二次方程，使它的两根为2 2和和3.3.（此题答案唯一吗？）（此题答案唯一吗？）2.2.不解方程，求下列方程两根的和与两根的积不解方程，求下列方程两根的和与两根的积各是多少？各是多少？ （1 1）x x2 2 -3x+1=0 ( 2)3x -3x+1=0 ( 2)3x2 2-2x+2=0-2x+2=0 （3 3）2x2x2 2+3x=0 +3x=0 （4 4）3x3x2 2=1=1 3. 3.已知方程已知方程5x5x2 2+kx

8、-6=0+kx-6=0的一个根的一个根是是2 2，求方程的另一个根及，求方程的另一个根及K K的值的值. .变式练习：变式练习： 已知方程已知方程5x5x2 2-7x+k=0-7x+k=0的一个根是的一个根是2 2，求它的另一个根及求它的另一个根及K K的值；的值；)1)(1(21xx2112xxxx（2）（1）（）（） （x x1 1- x- x2 2）2 2 4.4.设设x x1 1，x x2 2是方程是方程2x2x2 2+4x-3=0+4x-3=0的两个根，的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值。利用根与系数的关系，求下列各式的值。 5.已知关于已知关于x x的一元二次方程的一元二

9、次方程 x x2 2 = 2 = 2（1 1m m）x xm m2 2 的两实数根为的两实数根为x x1 1、x x2 2 （1 1）求）求m m的取值范围；的取值范围； （2 2）设）设y = xy = x1 1 + x + x2 2，当，当y y取得最小值时，求取得最小值时，求相应相应m m的值，并求出的值，并求出y y的最小值的最小值ba ca12xx1 2xx一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系两根之和等于一次项系数与二次项系数两根之和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数的比的相反数, ,两根之积等于常数项与二次项两根之积等于常数项与二次项系数的比系数的比. . 即即 若若axax2 2+bx+c=