讲义直线与圆的位置关系

1、 Page 1 of 9考试要求考试要求板块板块A 级要求B 级要求C 级要求直线与圆的位置关系了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间关系；会过圆上一点画圆的切线能判定一条直线是否为圆的切线；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题能解决与切线有关的问题切线长了解切线长的概念会根据切线长知识解决简单问题一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定1 1、设O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表：位置关系图形定义性质及判定相离_ l_ O_ d_ r直线与圆没有公共点dr直线l与O相离相切_ l_ O_ d_

2、 r直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点dr直线l与O相切相交_ l_ O_ d_ r直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线dr直线l与O相交 从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：直线和圆的位置关系相交相切相离公共点个数210圆心到直线的距离d与半径r 的关系drdrdr公共点名称交点切点无直线名称割线切线无 Page 2 of 9二、切线的性质及判定二、切线的性质及判定 1 切线的性质：切线的性质： 定理：圆的切线垂直于过切点的半径 推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 2 切线的判定：切线的判定：

3、定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； 距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线； 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 3 切线长和切线长定理：切线长和切线长定理： 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角切线的判定定理切线的判定定理设 OA 为O 的半径，过半径外端 A 作lOA，则 O 到l的距离 d=r，l与O 相切因此，我们得到：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线注：定理的题设“经过半径外端”，

4、“垂直于半径”，两个条件缺一不可结论是“直线是圆的切线”举例说明：只满足题设的一个条件不是O 的切线 _ l_ A_ O_ A_ O_ l证明一直线是圆的切线有两个思路：（1）连接半径，证直线与此半径垂直；（2）作垂线，证垂足在圆上切线的性质定理及其推论切线的性质定理及其推论切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径我们分析：这个定理共有三个条件：一条直线满足：（1）垂直于切线（2）过切点 （3）过圆心_ T_ M_ O_ B_ A_ T_ O_ A定理：过圆心，过切点 垂直于切线 OA过圆心， OA过切点A，则OAAT经过圆心，垂直于切线过切点 12ABMABMT过圆心为切点 经过切点，垂直

5、于切线过圆心 12AMMTAMM过圆心为切点_ O_ A_ l Page 3 of 9三、三角形内切圆三、三角形内切圆1 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形2 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形3直角三角形的内切圆半径与三边关系 _ O_ F_ E_ D_ C_ B_ A_ C_ B_ A_ C_ B_ A_ c_ b_ a_ c_ b_ a（1） （2）图（1）中，设a b c，分别为ABC中ABC，的对边，面积为S则内切圆半径（1）srp，其中12pabc； 图（2）

6、中，90C，则12rabc四、典例分析：切线的性质及判定【例 1】 如图， AB 是O的直径，点 D 在 AB 的延长线上，过点 D 作O的切线，切点为C，若25A ，则D _ 例例 1 1 例例 2 2 巩固巩固【例 2】 如图，直线 AB 与O相切于点A，O的半径为2，若30OBA，则OB的长为( )A4 3B4C2 3D2【巩固】如图， AB 与O相切于点B，线段OA与弦BC垂直于点 D ，60AOB，4cmBC ，则切线AB cm 【例 3】 如图，若O的直径 AB 与弦AC的夹角为30，切线CD与 AB 的延长线交于点 D ，且O的半径为 2，则CD的长为（ ）OACBDOBAODC

7、BA_ A_ C_ D_ B_ OOEDCBA Page 4 of 9A2 3B4 3C2D4 例例 2 2 巩固巩固【巩固】如图， EB为半圆O的直径，点A在 EB的延长线上， AD 切半圆O于点 D ，BCAD于点C，2AB ，半圆O的半径为2，则BC的长为_【例 4】 如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD、下底BC以及腰 AB 均相切，切点分别是DCE，求证：以 AB 为直径的圆与CD相切 例 4 巩固【巩固】如图，已知以直角梯形ABCD中，以 AB 为直径的圆与CD相切，求证：以CD为直径的圆与AB 相切【例 5】 已知：如图，在ABC中，ABAC，以BC为

8、直径的半圆O与边 AB 相交于点 D ，切线DEAC，垂足为点E 求证：（1）ABC是等边三角形；（2）13AECE【巩固】如图，MP切O于点M，直线OP交O于点 AB、，弦ACMP，求证：MOBCMPOCBA【例 6】 如图，ABC中，ABAC，O是BC的中点，以O为圆心的圆与 AB 相切于点 D 。求证：AC是O的切线。 【例 7】 如图，已知 AB 是O的直径，BC为O的切线，切点为B，OC平行于弦 AD ， OAr。（1）求证：CD是O的切线；（2）求AD OC的值；_ O_ D_ C_ B_ A_ O_ D_ C_ B_ A_ E_ A_ C_ O_ BODCBAODCBA Page

9、 5 of 9MOADCB（3）若92ADOCr，求CD的长。【巩固巩固】如图，已知 AB 是O的直径，BC是和O相切于点B的切线，过O上A点的直线ADOC，若2OA 且6ADOC，则CD 。 【巩固巩固】如图，AB是半圆（圆心为O）的直径，OD是半径，BM 切半圆于B，OC与弦AD平行且交BM于C。（1）求证：CD是半圆的切线；（2）若AB长为 4，点D在半圆上运动，设AD长为 x，点A到直线CD的距离为 y ，试求出 y 与 x之间的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围。【例 8】 如图，AC为O的直径，B是O外一点， AB 交O于E点，过E点作O的切线，交BC于 D 点，DEDC，作E

10、FAC于 F 点，交 AD 于M点。（1）求证：BC是O的切线；（2）EMFM。 【例 9】 如图，割线ABC与O相交于B、C两点， D 为O上一点，E为BC 的中点，OE交BC于 F ，DE 交AC于G，ADGAGD 。（1）求证： AD 是O的切线；（2）如果242ABADEG，求O的半径。 【例 10】如图，已知点E在ABC的边 AB 上，以 AE 为直径的O与BC相切于点 D ，且 AD 平分BAC求证：ACBC【巩固】 AB 是圆的直径，BC是它的弦，过C作圆的切线CD，过B作BECD交CD于E，则ABCEBC CODBAMOFEDCBAOGFEDCBA_ O_ E_ D_ C_ B

11、_ A_ A_ O_ B_ C_ D_ E Page 6 of 9【例 11】如图，已知Rt ABC中，90ABC，以 AB 为直径作O交AC于 D ，过 D 作O的切线 DE 交BC于E求证：BECE【巩固】如图，已知O的弦 AB 垂直于直径CD，垂足为 F ，点E在 AB 上，且EAEC，延长EC到点P，连结 PB，若 PBPE，试判断 PB与O的位置关系，并说明理由【例 12】如图，点P在O的直径BA的延长线上，2ABPA，PC切O于点C，连结BC（1）求P 的正弦值；（2）若O的半径2cmr ，求BC的长度【巩固】在RtABC中，90ACB， D 是 AB 边上一点，以 BD为直径的O

12、与边AC相切于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点 F （1）求证：BDBF；（2）若64BCAD，求O的面积【例 13】如图所示，AB是O直径，OD弦BC于点 F ，且交O于点E，若AECODB（1）判断直线 BD和O的位置关系，并给出证明；（2）当108ABBC，时，求 BD的长【巩固】已知：如图，O 的直径 AB =8cm，P是 AB 延长线上的一点，过点P作O的切线，切点为C，连接AC（1）若120ACP，求阴影部分的面积；_ O_ P_ F_ E_ D_ C_ B_ ADOECBA_ P_ C_ O_ B_ AOFEDCBAFECODBA Page 7 of 9（2）若点P在

13、AB 的延长线上运动，CPA的平分线交AC于点4 tan604 3PC ，88 33OPCSSS阴影扇形BO C的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出12的度数【例 14】在平行四边形ABCD中，1060ABADmD，以 AB 为直径作O，（1）求圆心O到CD的距离(用含m的代数式来表示)；（2）当m取何值时，CD与O相切【例 15】已知：如图，O的直径 AB 与弦CD相交于E，BCBD，O的切线 BF 与弦AD的延长线相交于点 F （1）求证：CDBF（2）连结BC，若O的半径为4，3cos4BCD，求线段ADCD、的长【巩固】如图，在ABC中，90C，34ACBC，O为BC边

14、上一点，以O为圆心，OB为半径作半圆与BC边和 AB 边分别交于点DE，连结DE（1）当3BD 时，求线段DE的长；（2）过点E作半圆O的切线，当切线与AC边相交时，设交点为 F 求证：FAE是等腰三角形典例分析：切线长定理及切线性质的应用典例分析：切线长定理及切线性质的应用【例 16】在Rt ABC中，90A，点O在BC上，以O为圆心的O分别与 AB 、AC相切于E、F ，若ABa， ACb，则O的半径为（ ）OPBCAOABCD_ E_ O_ F_ D_ C_ B_ AOFEDCBACEOFBA Page 8 of 9A、ab B、abab C、abab D、2ab【例 17】如图，ABB

15、C，DCBC，BC与以 AD 为直径的O相切于点E，9AB ，4CD ，则四边形ABCD的面积为 。【例 18】如图，过O外一点P作O的两条切线 PA、 PB，切点分别为A、B，连结 AB ，在 AB 、PB、 PA上分别取一点 D 、E、 F ，使ADBE，BDAF，连结 DE 、 DF 、 EF ，则EDF（ ）A、90P B、1902P C、180P D、1452P-【例例 19】如图，已知ABC中，ACBC， CAB（定值） ，O的圆心O在 AB 上，并分别与AC、BC相切于点P、Q。（1）求POQ；（2）设 D 是CA延长线上的一个动点， DE 与O相切于点M，点E在CB的延长线上，

16、试判断DOE的大小是否保持不变，并说明理由。【例例 20】如图，O为Rt ABC的内切圆，点 D 、E、 F 为切点，若6AD ，4BD ，则ABC的面积为 。【例例 21】正方形ABCD中， AE 切以BC为直径的半圆于E，交CD于 F ，则:CF FD （ ）A、12 B、13 C、14 D、25【巩固巩固】如图，以正方形ABCD的边 AB 为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O，CG切半圆于E，交AD 于 F ，交 BA的延长线于G，8GA 。（1）求G的余弦值；（2）求 AE 的长。CEODBAPEOFDBANQPODCBACEOFDBAEOFDCBAGEOFDCBA Page 9 of 9【例例 22】如图， AB 是半O的直径，点M是半径OA的中点，点P在线段AM上运动（不与点M重合） ，点Q在半O上运动，且总保持PQPO，过点Q作O的切线交 BA的延长线于点C。（1）当60QPA时，请你对QCP的形状做出猜想