厚积薄发-高考数学四十一讲---第二十五讲直线与方程

1、第二十五讲 直线与方程一、引言（一）本讲的地位：直线与方程是解析几何的重要内容，也为我们继续学习圆及圆锥曲线奠定了思想和方法基础，对于解析几何的学习和研究具有重要意义，是高考的重要考点一（二）考纲要求：在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系；能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离(三)考情分析：高考对

2、本部分内容的考查侧重基本技能，以选择和填空题为主，主要考查倾斜角、斜率、直线方程、两条直线的平行与垂直、点到直线的距离等二、考点梳理1直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为可见，直线倾斜角的取值范围是2直线的斜率：倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即倾斜角是的直线没有斜率；倾斜角不是的直线都有斜率，其取值范围是3直线方程的五种形式点斜式：，斜截式：，两点式：，截距式：，一般式：（其中不同时为0）4两条直线平行对

3、于两条不重合的直线，其斜率分别为，有5两条直线垂直如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于；反之，如果它们的斜率之积等于，那么它们互相垂直即另外，要特别注意斜率不存在时的特殊情况6两条直线的交点坐标将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有惟唯一解，则两条直线相交，此解即是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行7点到直线距离公式：点到直线的距离为：8两平行线间的距离公式已知两条平行线直线和的一般式方程为：，：，则与的距离为 三、典型问题选讲例1 经过，两点的直线的斜率是_，倾斜角是_解：经过，两点的直线的斜率，故倾斜角为归纳小结：本题考查过已知两点的斜

4、率和倾斜角解题关键是准确应用过两点的斜率计算公式，并理解斜率和倾斜角之间的内在关系，例2 若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）A B C D解：直线恒过定点直线与轴和轴的交点设为，则两点的坐标分别为，直线的斜率为，对应的倾斜角为，直线与轴垂直，对应的倾斜角为故为正确选项归纳小结：本题考查直线的倾斜角与斜率，认识到直线是过定点的直线系是问题解决的关键 通过特殊位置的研究，得到问题的答案，充分体现了数形结合的思想方法，同时对计算能力和三角函数的基础知识也有一定要求例3 已知过点和点的直线与直线平行，则的值为（ ）A B C D解：过点和点的直线的斜率为直线可变形为，故其

5、斜率为过点和点的直线与直线平行， 解得 故为正确选项归纳小结：两条直线平行，是两条直线位置关系中的特殊情况，也是高考考查的重点本题要先由两点坐标表示出对应直线的斜率，再由两条直线平行，斜率相等，建立关于的方程，通过解方程得到问题的答案 本题的解题过程，充分体现了解析几何的本质：用代数方法研究图形的几何性质 要认真体会数形结合思想及方程思想例4（2009安徽卷）直线过点且与直线垂直，则的方程是（ ）A B C D解：直线的斜率为 因为所求直线与直线垂直，所以，所求直线的斜率为线过点，由点斜式得直线方程为，即归纳小结：两条直线垂直是两条直线位置关系中的特殊情况，也是高考的考察重点内容当两条直线垂直

6、且斜率存在时，其对应的斜率乘积等于本题先由直线的互相垂直关系，求出所求直线的斜率，再由点斜式求出了直线方程注意体会方程思想，同时，要注意，直线方程的确定要根据具体情况，选择合适的形式例5（2007年天津卷）“”是“直线平行于直线”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：当时，直线为，斜率为，直线的斜率亦为即当时，两条直线的斜率相等，故两条直线平行“”是“直线平行于直线”的充分条件直线的斜率为，当直线平行于直线时，斜率必存在且等于-1即，所以，“”是“直线平行于直线”的必要条件归纳小结：本题主要考查了两条直线的位置关系及充要条件的判定，关键是把握好充

7、要条件判定的方法及两条直线平行的条件例6（2009全国卷）若直线被两平行线与所截得的线段的长为，则的倾斜角可以是（ ） 其中正确答案的序号是 （写出所有正确答案的序号）解析：如下图 正确答案或归纳小结：本题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离等知识，具有一定的综合性，突出考查数形结合的思想方法，分类讨论的思想方法，特别要注意平面几何知识的应用例7 已知点，求的面积解：设边上的高为，则,边上的高为就是点到的距离边所在的直线方程为，即点到的距离因此，归纳小结：本题考查两点间的距离、直线方程及点到直线的距离等知识，有一定的综合性解题关键是确定一边长及对应的高由两点间的距离公式，我们不难求

8、出边长，由已知点的坐标，两点式易得直线方程，再用点到直线的距离公式，求出点到直线的距离，问题可解要注意体会，数形结合既是思想，也是方法例8 已知直线经过直线与的交点若点到的距离为3，求的方程解法一：由 得交点若直线的斜率不存在，则的方程为，显然满足题意若直线的斜率存在，设为，则直线的方程为由点到直线的距离公式得解得 所以，直线的方程为的方程为或解法二：经过两已知直线交点的直线系方程为，即，即，或的方程为或归纳小结：本题考查两直线的交点坐标及直线方程 已知直线过一点求直线方程一般采用点斜式，但如果对直线斜率概念理解不清，容易忘记验证斜率不存在的直线 本题也可用过两直线交点的直线系方程来解 两种方

9、法，都体现了先设后求的待定系数和方程思想要注意提高解简单绝对值方程及无理方程的能力另外，一题多解，既可拓展解题思路，提高灵活应变的能力，又可加深对所学知识的深刻理解，在平时的学习中应有意识地加以练习四、本专题总结直线与方程是解析几何的重要内容，学习时要特别注意理解解析几何的本质：用代数的方法研究几何图形的性质，突出数形结合思想，函数与方程思想及分类讨论思想，培养思维的严谨性，提高推理和计算能力本专题重点考查直线方程的基本概念、倾斜角和斜率、两条直线平行与垂直的判定、点到直线的距离及两条平行线间的距离本专题学习中需要注意的问题1求直线方程的主要方法是待定系数法在使用待定系数法求直线方程时，要注意方程形式的选择2在两条直线的位置关系中，讨论最多的还是平行与垂直，它们是两条直线的特殊位置关系另外，解题时，要认真画出图形，注意数形结合意识