椭圆综合专题整理

1、椭圆专题总结一、直线与椭圆问题的常规解题方法:1. 设直线与方程； （提醒：设直线时分斜率存在与不- 存在；设为 y=kx+b 与 x=my+n的区别）2. 设交点坐标；（提醒 : 之所以要设是因为不去求出它 , 即“设而不求” ）3. 联立方程组；4.消元韦达定理； （提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）5. 根据条件重转化； 常有以下类型：“以弦AB为直径的圆过点0”（ 提醒： 需讨论 K 是否存在）OAOBK1 ? K 21OA ? OB0x1 x 2y1 y20“点在圆内、圆上、圆外问题”“直角、锐角、钝角问题”“向量的数量积大于、等于、小于0 问题”x1 x2y1

2、y20 >0；“等角、角平分、角互补问题”斜率关系（K1K20 或 K1K2 ）；“共线问题”（如： AQQB数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）；（如 ： A、O、 B 三点共线直线 OA与 OB斜率相等）；“点、线对称问题”坐标与斜率关系；“弦长、面积问题”转化为坐标与弦长公式问题（提醒 ：注意两个面积公式的合理选择）；6. 化简与计算；7. 细节问题不忽略；判别式是否已经考虑；抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0.二、基本解题思想：1、“常规求值”问题：需要找等式， “求范围”问题需要找不等式；2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；3、证明定

3、值问题的方法：常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。4、处理定点问题的方法：常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明，5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法 （转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、 利用均值不等式的方法等再解决；6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；椭圆中的定值、定点问题一、常见基本题型：在几何问题 中，有些几何量和参数无关，

4、这就构成定值问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值 来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的。（ 1）直线恒过定点问题1、已知点 P(x0 , y0 ) 是椭圆 E : x2y21 上任意一点，直线 l 的方2程为 x0 xy0 y 1，直线 l0 过 P 点与直线 l 垂直，点 M（ -1 ， 0）关2于直线 l0 的对称点为 N，直线 PN恒过一定点 G，求点G的坐标。2、已知 椭圆两焦点 F1 、 F2 在 y 轴上，短轴长为 22，离心率为2 ， P 是椭圆在第一象2限弧上一点，且PF1 PF2 1，过 P 作关于直线 F1P 对称的两条直线

5、PA、 PB分别交椭圆于A、 B 两点。求：（ 1）求 P 点坐标；（ 2）求证直线 AB的斜率为定值；3、已知动直线 yk( x 1) 与椭圆 C : x2y2 1相交于 A 、B 两553点,已知点 M(7MB 为定值 .,0) ， 求证： MA34、 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C : x2y21.如图所3示，斜率为 k (k0) 且不过原点的直线l 交椭圆 C 于 A ， B 两点，线段 AB 的中点为 E ， 射线 OE 交椭圆 C 于点 G ，交直线 x 3于点 D( 3, m) . （）2OD? OE求证：直线 l 过定点；求 m2 k 2 的最小值；（）若 OG椭圆

6、中的取值范围问题一、常见基本题型：对于求曲线方程中参数范围问题，应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式，通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域来解 .(1) 从直线和二次曲线的位置关系出发，利用判别式的符号，确定参数的取值范围。5、已知直线l与y轴交于点P(0, m)，与椭圆22C : 2xy 1交于相异两点、 ，且A BAP3PB ，求 m 的取值范围(2) 利用题中其他变量的范围，借助于方程产生参变量的函数表达式, 确定参数的取值范围.6、已知点M (4, 0) ， N (1, 0) ， 若动点 P 满足 MNMP6| PN |（）求动点 P 的

7、轨迹 C 的方程；（）设过点 N 的直线 l 交轨迹 C 于 A ， B 两点，若1812 NA NB，求直线 l 的75斜率的取值范围.(3) 利用基本不等式求参数的取值范围7、已知点 Q 为椭圆 E ： x2y21上的 一动点，点 A 的坐标为(3,1)，求 AP AQ 的取值182范围8. 已知椭圆的一个顶点为 A(0,1) ，焦点在 x 轴上 . 若右焦点到直线xy 2 2 0 的距离为3. 求：（1）求椭圆的方程（ 2）设直线ykxm(k0) 与椭圆相交于不同的两点M , N . 当| AM | | AN | 时，求 m 的取值范围 .9. 如图所示，已知圆C : ( x1)2y 2

8、8,定点 A(1,0), M 为圆上一动点，点P 在 AM 上，点 N 在 CM 上，且满足AM2 AP, NP AM0,点N 的轨迹为曲线E .（ I ）求曲线 E 的方程；（ II ）若过定点 F（ 0， 2）的直线交曲线 E 于不同的两点G,H （点 G在点 F ,H 之间），且满足 FGFH ，求的取值范围 .10、 . 已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，两个焦点分别为A( 1,0) 、 B(1,0) ，一个顶点为H (2,0) . 求：（ 1）求椭圆 E 的标准方程；（ 2）对于 x 轴上的点 P(t ,0) ，椭圆 E 上存在点 M ，使得 MPMH 求 t 的取值范围 .11.

9、已知椭圆 C : x2y22 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴221 ( ab 0) 的离心率为ab2长为半径的圆与直线xy20 相切（）求椭圆C 的方程；（）若过点M (2 ， 0) 的直线与椭圆C 相交于两点A, B ，设 P 为椭圆上一点，且满足 OAOBtOP （O为坐标原点） ，当 PAPB 2 5 时，求实数 t 取值范围3椭圆中的最值问题一、常见基本题型：（1）利用基本不等式求最值，212、已知椭圆两焦点F1、 F2在 y 轴上，短轴长为2 2 ，离心率为， P 是椭圆在第一象限弧上一点，且PF1PF21 ，过 P 作关于直线2F1P 对称的两条直线PA、 PB 分别交 椭圆于 A、

10、 B两点，求面积的最大值。PAB（2）利用函数求最值，13. 如图， DPx 轴，点 M在 DP的延长线上， 且 | DM | 2 | DP | 当点 P 在圆 x2y21上 运动时。（I ）求点 M的轨迹 C 的方程；（）过点 T (0, t)作圆 x 2y21的切线 l 交曲线 C 于 A，B 两点，求 AOB面 积 S 的最大值和相应的点 T 的坐标。14、已知椭圆 G : x2y 21. 过点 ( m,0) 作圆4x2y21的切线 l 交椭圆 G于 A,B 两点 . 将 | AB| 表示为 m的函数，并求 |AB| 的最大值 .思维拓展训练1、已知 A、 B、 C 是椭圆 m : x2

11、y 21(a b 0) 上的三点，其中点A 的坐标为a 2b 2( 2 3,0) ， BC过椭圆 m的中心，且AC ? BC0,| BC |2 | AC | （1）求椭圆 m 的方程；（2）过点 M (0, t) 的直线 l （斜率存在时）与椭圆m交于两点 P， Q，设 D 为椭圆 m与 y轴负半轴的交点，且| DP | | DQ |. 求实数 t 的取值范围2. 已知圆 M ： ( x m)2( yn)2r 2及定点 N (1,0) ，点 P 是圆 M 上的动点，点Q在 NP上，点 G 在 MP 上，且满足 NP2 NQ，GQ · NP0（1）若 m1,n 0, r4 ，求点 G

12、的轨迹 C 的方程；21m, n,r，（）若动圆 M 和（ ）中所求轨迹 C 相交于不同两点 A, B ，是否存在一组正实数使得直线 MN 垂直平分线段AB ，若存在，求出这组正实数；若不存在，说明理由3、已知椭圆 C 的中心在坐标原 点，焦点在 x 轴上，椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为3 ，最小值为 1（）求椭圆C 的标准方程；（）若直线l : ykxm 与椭圆 C 相交于 A ， B 两点（ A， B 不是左右顶点） ，且以 AB为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标4. 如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，长轴长是短轴长的2 倍且经过点M（

13、 2，1），平行于 OM的直线 l 在 y 轴上的截距为m（ m 0）， l 交椭圆于A、 B 两个不同点。（ 1）求椭圆的方程；（ 2）求 m的取值范围；（3）求证直线MA、MB与 x 轴始终围成一个等腰三角形.参考答案1、解：直线 l0 的方程为 x0 ( yy0 )2 y0 (xx0 ) ，即 2 y0xx0 yx0 y0 0设 M (1,0) 关于直线 l0 的对称点N 的坐标为 N (m, n)nx0m2x0 33x0 24x04m 12 y0x024则，解得m 1x0 n2x044x0 34x028x00n2 y02x0 y02 y0 (4x02 )2ny0x044x32x28x0

14、8直线 PN 的斜率为 k00m x02y0 ( x03 3x024)从而直线 PN 的方程为：yy0x0 44x032x028x08(xx0 )2 y0 ( x033x024)即 x2 y0 ( x033x024)y1x0 44x032x028x08从而直线 PN 恒过定点 G (1,0)2、解：（1）设椭圆方程为y2x21，由题意可得a2b2a2,b2, c22 ，所以椭圆的方程为y2x2142则 F1 (0,2), F2 (0,2) ，设 P(x0 , y0 )( x00, y00)则 PF1 ( x0 , 2 y0 ), PF2( x0 ,2 y0 ),PF1 PF2 x02(2 y0

15、2 ) 1点 P( x0 , y0 ) 在曲线上，则x02y021.x024y02242从而4y0222(2y0 )1 ，得 y02 ，则点 P 的坐标为 (1,2) 。（ 2）由（ 1）知 PF1 / x 轴，直线PA、 PB斜率互为相反数，设 PB 斜率为 k(k0) ，则 PB 的直线方程为：y2k( x1)y2k( x1)由x2y2得 (2 k 2 ) x22k( 2 k) x ( 2 k)24 0124设 B( x ,y), 则xB2k (k2)1k22 2k2BB2k 22k 2同理可得 xAk 222k2 ，则 xAxB42k2k 22k 2yAyBk(xA 1) k( xB1)

16、8k2k 2所以直线 AB的斜率 kAByAyB2 为定值。xAxB3 、解:将 yk ( x 1) 代入 x2y21中553得 (1 3k 2 ) x26k2 x 3k 25 036k 44(3k 21)(3k25)48k 2200 ，x1x26k 2， x1 x23k253k 23k 211所以 MA MB (x17 , y1 )( x27 , y2 ) (x17)( x27) y1 y23333(x17)( x27) k2 ( x1 1)( x2 1)33(1 k2 ) x1 x2( 7k 2 )( x1x2 )49k 239(1 k 2 ) 3k 25( 7k 2 )(6k2)49k

17、23k 2133k 2193k 416k 2549k24。3k 21994 、 解：（）由题意 : 设直线 l : ykxn(n0),ykxn2222由xy2消 y 得 : (1 3k) x6knx3n30 ,1336k2n24(1 3k2 )× 3(n21)12(3 k21n2 )0设 A (x1, y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,AB 的中点 E(x0 , y0 ) , 则由韦达定理得 :x1 x2 =6kn, 即 x013kn, y0kx0n13knkn1n,13k 23k23k23k 2所以中点 E 的坐标为 (3kn2 ,1n2 ) ,13k3k因为 O、E、 D

18、 三点在同一直线上，所以 kOEKOD ，即1m13， 解得 m，3kk所以2212k122mk=2k2,当且仅当,即 mk的最小值为k时取等号2.（）证明 : 由题意知 :n>0,因为直线 OD的方程为 ym x ,3ymxm2所以由3得交点G的纵坐标为yG,x2y2m2313又因为 yEn,yDm2OD ?OE ，所以13k 2,且 OGm2mn,m233k 21又由（）知 :m1所以解得 kn , 所以直线 l 的方程为 l : ykxk ,k即有 l : yk (x1) , 令 x1 得 ,y=0,与实数 k 无关 ,5、 解：（ 1）当直线斜率不存在时：m122l 与椭圆 C交

19、点为A( x1 , y1), B( x2 , y2 )（ ）当直线斜率存在时：设ykxm得 (k 22) x22kmx m2102x2y21(2 km)24( k 22)( m21)4( k 22m22)0（ * ）x1x2k2km , x1 x2m2122k 22 AP3PB ，x13x2 ，x1x22x2.消去 x2 ，得 3(x1x2 ) 24x1x20 ，x1 x23x2222km ) 223(k4 m2102k2整理得 4k 2m22m2k 220m21时，上式不成立；m21时， k 222m2，444m 21 k222m 20 ，1m11m1212或4m2222m 2代入（ * ）

20、得1m111把 k4m22或m121m1 或 1m122综上 m的取值范围为1m11m1。或226 、解：（）设动点 P( x, y) ，则 MP(x4, y) ，MN(3, 0) ，PN(1 x, y) .由已知得3( x4)6(1x) 2( y) 2，化简得 3x24 y212 ，得 x2y21.43所以点 P 的轨迹 C 是椭圆 ， C 的方程为 x2y 21 .43（）由题意知，直线l 的斜率必存在，不妨设过 N 的直线 l 的方程 为 yk( x 1) ，设 A ， B 两点的坐标分别为A( x1 , y1)， B( x2 , y2 ) .yk ( x1),由 x2y21消去 y 得

21、 (4k 23) x28k 2 x4k 2 120 .43因为 N 在椭圆内，所以0 .x1x28k 22 ,34k所以4k 2122 .x1 x234k因为 NANB( x1)(x21)y y(1k 2 )( x1)(x1)11212(1 k 2 ) x1 x2(x1x2 ) 1(1k 2 ) 4k 2128k 234k 29(1k 2 ) ，3 4k 23 4k 2所以18 9(1k 2 ) 12 .解得 1 k 2 3 .73 4k257、 解：AP (1, 3) ，设（，y）， AQ(x3, y1) ，QxAPAQ ( x3)3( y1)x3 y6 x2y21 ，即 x2(3 y) 2

22、18 ，182而 x2(3 y) 2 2 | x | 3y |， 18 6xy 18则 ( x3y)2x2(3 y)26xy186 xy 的取值范围是 0 ， 36 x 3y 的取值范围是 6， 6 AP AQ x3 y6 的取值范围是 12， 0 x2228、解：（ 1）依题意可设椭圆方程为1 ，则右焦点 Fa1,0a2y由题设 |a 21 22 |3，解得 a 23 ，2故所求椭圆的方程为x2y21.3（ 2）设 P( xP , yP ) 、 M (xM , yM ) 、 N ( xN , yN ) ，ykxmP 为弦 MN 的中点，由2xy213得 (3k21)x26mkx3(m21)0

23、直线与椭圆相交，(6 mk)24(3k21)3(m21)0m23k 21, xPxMxN3mk，从而 yPkxP mm，23k2213k1kAPyP1m3k21APMN ,xP3mk，又 |AM | |AN|,则：m3k211 ，即 2m3k21，3mkk把代入得 m22m，解 0m2 ，由得 k 22m10 ，解得 m1.32综上求得 m 的取值范围是1m2 .29 、解：（） AM 2AP, NP AM0. NP为 AM的垂直平分线， |NA|=|NM|又|CN|NM |2 2, |CN|AN|222.动点 N 的轨迹是以点C（ 1， 0）， A（ 1， 0）为焦点的椭圆 .且椭圆长轴长为2a 22, 焦距 2c=2.a2, c1, b 21.曲线 E 的方程为 x 2y 21.2（）当直线 GH斜率存在时，设直线 GH方程为 ykx2, 代入椭圆方程x 2y21,2得 ( 1k 2 ) x24kx30.由0得k 23 .22设 G( x1 , y1 ), H ( x2 , y2 ),则x1x24k , x1 x231k 21k 222又 FGFH ,( x1 , y12)( x2 , y22)x1x2 ,x1x2(1) x2 , x1 x2x22 .( x1x2 ) 2x221(4k )