关于 三角形外角定理 的几点应用

1、关于“三角形外角定理”的几点应用泰州市民兴实验中学 程兵 “三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”这一性质在数学问题中有着广泛的应用，恰当地运用好外角，往往可以简化解题过程，起到事半功倍的效果。下面笔者结合题目予以分类剖析。一、求角的度数1.如图1，已知A=80°，B=10°，C=20°, 求BOC的度数.图1-1分析：要求BOC的度数，可设法让BOC成为某个三角形的外角，利用三角形的内角和与外角和来解.解法1：如图1-1，延长BO交AC于点D.BOC、CDO分别是CDO、ABD的外角，BOC=CDO + C， CDO =A+B .BOC= A+B +C

2、.BOC=80°+ 10°+ 20°=110° . 1 23 4图1-2 解法2：如图1-2，连接AO并延长到点D .3、4分别是ABO、ACO的外角，3=B+1，4=2+C，3+4=B +(1+2)+C，即BOC=BAC+B+C BOC=80°+ 10°+ 20°=110° . 图21 2方法归纳：通过添加辅助线将问题转化为三角形外角来解决是常用方法，本题两种辅助线作法的共同点是构造三角形，从而建立A、B 、C与BOC之间的等量关系。2.如图2是一个五角星,求A+B +C+D+E的度数.解：1=C+E，2=B+D

3、，A+B +C+D+E=A+（C +E）+（B+D）=A+1+21 2图2-1=180°.如图2-1，将点B向右移动到CAD内部时，上面的结论还成立吗？ 解：延长EF交AC于点G，则1=C+E，2=B+D，A+B +C+D+E=A+（C +E）+（B+D）=A+1+2=180°.1 2图2-2如图2-2，将点B、E移动到CAD内部时，上面的结论还成立吗？解：连接CD .BOC是BOE、COE的外角，BOC=1+2=B+C，A+B +ACO+ADO+E=A+(B +E) +ACO+ADO=A+1+2+ACO+ADO=A+ACD+ADC=180°.方法归纳：解决此类问

4、题要充分运用外角和，将多个角和的问题巧妙转化成一个三角形或一个多边形的内角和问题。二、证角的关系3.如图，点C为圆周上一点，点P为圆内一点，且C、P在AB同侧，试说明:APB >ACB分析：本题APB、ACB无直接联系，但可以添加辅助线使得APB为外角来解决问题。解：延长BP交O于点D，连接AD弧AB，ACB=ADB，APB是ABC外角，APB=ADB+DAP，APB=ACB+DAP，APB >ACB .若点P为圆外一点，其他条件不变，我们可以用同样的方法说明APB <ACB .4.如图，已知ABCD, 试说明: AEC=A+C.分析：本题添加辅助线的方法较多，但是延长CE交

5、AB于F这种方法较简单。解：延长CE交AB于FAEC是AEF的外角，AEC=A+AFE .ABCD，AFE=C，AEC=A+C .5.如图，把ABC沿着DE折叠，使顶点C落在四边形ABED的内部，C求证：1+2=2C。证明：连接C C，1是CCE的外角，1=EC C+E CC，同理2= DC C+D CC，1+2=EC C+E CC+DC C+D CC =DCE+D CE 又DCE=D CE 1+2=2DCE . 方法归纳： 本题连接 C C，构造两个三角形的外角进行说理，同时注意折叠前后，哪些量（角、边）是变化的，哪些量是不变化的。三、证明线

6、段相等6.如图， AD是ABC的角平分线， E是BC延长线上一点，1=B，说明：EA=ED分析：本题要说明边相等，也就是要说明角相等，然后把角转化成两角的和.AD是ABC的角平分线，BAD=CAD，又1=B，BAD+B =CAD+1，即EDA=EAD.EA=ED . 四、生产、生活中的应用BCAD7.一个零件的形状如图中阴影部分，按规定A应等于90°，B、C应分别等于29°和21 °，检验人员量得 BDC=141°，就断定这个零件不合格，你能说明理由吗？      

7、                  本题可以直接用1中的结论，得到 BDC=A+B+C =90°+29°+21 °=140°，而检验人员量得 BDC=141°，这个零件不合格.                      注：外角在实际生活中应用很广泛，它与其