相似三角形中等题

1、相似三角形中等题31-52一、选择题（共7小题）1. （2014?盘锦）如图，四边形 ABCD是矩形，点E和点F是矩形ABCD外两点，AE JCF于点H , AD=3 , DC=4 ,DE=卫，/EDF=90 ° 贝U DF 长是（）2相似三角形中等题31-52相似三角形中等题31-52A .乌B. Hc . 10D .乌233TA . 12. （2014?本溪）如图，已知 ZABC 和 KDE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点 F, AB=9 , BD=3 ,则CF等于（）相似三角形中等题31-52相似三角形中等题31-52（2014?遵义）如图，边长为 2的正方形AB

2、CD中，P是CD的中点，连接 AP并延长，交BC的延长线于点F, E,连接EF,贝U EF的长为（）相似三角形中等题31-52相似三角形中等题31-523. （2014?泸州）如图，在直角梯形 ABCD中，DC /AB , ZDAB=90 ° AC JBC, AC=BC , ZABC的平分线分别交相似三角形中等题31-524. （2014?南通）如图， KBC中，AB=AC=18 , BC=12，正方形 DEFG的顶点E, F在ZABC内，顶点 D, G分别 在AB，AC上，AD=AG，DG=6，则点F到BC的距离为（）相似三角形中等题31-52相似三角形中等题31-525. （20

3、14?广州）如图，四边形 ABCD、CEFG都是正方形，点 G在线段CD上，连接BG、DE , DE和FG相交于点 O,设 AB=a , CG=b （a> b）.下列结论：BCGDCE ; BG JDE ;=a- b） 2?SzEFO=b2?SzDGO.其 GC CE3个相似三角形中等题31-52相似三角形中等题31-526. （2014?铜仁）如图所示，在矩形 ABCD中，F是DC上一点，AE平分ZBAF交BC于点E，且DE A，垂足为 点 M , BE=3 , AE=2 ，贝U MF 的长是（）A .相似三角形中等题31-52相似三角形中等题31-52二、填空题（共9小题）（除非特别

4、说明，请填准确值）& （2014?邵阳）如图，在?ABCD中，F是BC上的一点，直线 DF与AB的延长线相交于点 E, BP /DF，且与AD 相交于点P,请从图中找出一组相似的三角形： .9. （2014?包头）如图，在平面直角坐标系中，RtKBO的顶点O与原点重合，顶点 B在x轴上，/ABO=90 ° OA与反比例函数 y 的图象交于点 D，且OD=2AD，过点D作x轴的垂线交x轴于点C.若S四边形abcd=10，则k的值为.10. （2014?湖州）如图，已知在RtZOAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y= （k旳）x在第一象限的图象经过 OA

5、的中点B，交AC于点D，连接OD 若SCD©ACO，则直线OA的解析式为相似三角形中等题31-52相似三角形中等题31-5211. （2014?泰州）如图，A、B、C、D依次为一直线上4个点，BC=2 ,BCE为等边三角形，O O过A、D、E3点,且ZAOD=120 °设AB=x , CD=y，则y与x的函数关系式为 .相似三角形中等题31-52相似三角形中等题31-5212. （2014?咸宁）如图，在 KBC中，AB=AC=10，点D是边BC上一动点（不与 B, C重合），厶DE= ZB= a, DE 交AC于点E,且cosa=.下列结论：5 ADE朋CD ; 当BD=

6、6时，ZABD 与A）CE全等； DCE为直角三角形时，BD为8或虫2 ）V CE 詬.4.其中正确的结论是 .（把你认为正确结论的序号都填上）相似三角形中等题31-52相似三角形中等题31-52（2014?攀枝花）如图，在梯形 ABCD中，AD伯C, BE平分/ABC交CD于E,且BE JCD, CE : ED=2 : 1.如 果ZBEC的面积为2,那么四边形 ABED的面积是 .相似三角形中等题31-52相似三角形中等题31-5214. （2014?荆州）如图，正方形 OABC与正方形ODEF是位似图形，点 O为位似中心，相似比为 坐标为（0，1），则点E的坐标是.1 :.，点A的15.

7、（2014?哈尔滨）如图，在 ZABC中，4AB=5AC , AD为ZABC的角平分线，点 E在BC的延长线上，EFJAD于点F,点G在AF上，FG=FD，连接EG交AC于点H .若点H是AC的中点，则丁值为.相似三角形中等题31-52相似三角形中等题31-5216. （2014?抚顺）如图，已知 CO1是 虫BC的中线，过点 O1作O1E1/AC交BC于点E1，连接AE1交CO1于点。2；过点O2作O2E2/AC交BC于点E2，连接AE2交CO1于点O3；过点O3作O3E3/AC交BC于点E3,，如此继续，可以依次得到点。4,。5,，On和点E4,E5,，En.则OnEn=AC .（用含n的

8、代数式表示）三、解答题（共6小题）（选答题，不自动判卷）17. （2014?上海）已知：如图，梯形 ABCD中，AD伯C , AB=DC，对角线 AC、BD相交于点F,点E是边BC延 长线上一点，且/ CDE=厶BD .（1）求证：四边形 ACED是平行四边形；（2）连接AE,交BD于点G,求证：上-=.Gd DB18. (2014?柳州)如图，正方形 ABCD的边长为1, AB边上有一动点P,连接PD,线段PD绕点P顺时针旋转90° 后，得到线段 PE,且PE交BC于F,连接DF，过点E作EQ1AB的延长线于点 Q .(1) 求线段PQ的长；(2) 问：点P在何处时，ZPFD4BF

9、P，并说明理由.A刁PB19. (2014?眉山)如图，在 RtZABC 中，/C=90°, RtZBAP 中，/BAP=90 °,已知ZCBO= zABP , BP 交 AC 于点 O,E为AC上一点，且 AE=OC .(1) 求证：AP=AO ;(2)求证：PE1AO;20. (2014?绍兴)课本中有一道作业题：有一块三角形余料 ABC ,它的边BC=120mm ,高AD=80mm .要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上,其余两个顶点分别在 AB , AC上.问加工成的正方形零件的边长是多少mm?小颖解得此题的答案为 48mm，小颖善于反思，她又提出了如

10、下的问题.(1) 如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm?请你计算.(2) 如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2,这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面 积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长.B21. (2014?南通)如图，点 E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形 AEFG ,且菱形AEFG 浚形ABCD，连接EC，GD .(1) 求证：EB=GD ;(2) 若ZDAB=60 ° AB=2 , AG=価，求 GD 的长.相似三角形

11、中等题31-52相似三角形中等题31-5222. (2014?义乌市)等边三角形 ABC的边长为6，在AC , BC边上各取一点 E, F，连接AF , BE相交于点P.(1) 若 AE=CF ; 求证：AF=BE，并求ZAPB的度数； 若AE=2，试求AP?AF的值；(2) 若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长.【章节训练】第27章相似-2参考答案与试题解析一、选择题（共7小题）1.（2014?盘锦）如图，四边形 ABCD是矩形，点E和点F是矩形ABCD外两点，AE JCF于点H , AD=3 , DC=4 , DE=§，/EDF=90 ° 贝U

12、DF 长是（）2相似三角形中等题31-52相似三角形中等题31-52A .B. -iC. 一D . -s1忖| 3T相似三角形的判定与性质；矩形的性质.几何综合题.设DF和AE相交于O点，由矩形的性质和已知条件可证明/ E= zF, zADE= ZFDC ,进而可得到ZADE辺CDF由相似三角形的性质：对应边的比值相等即可求出DF的长.解：设DF和AE相交于O点， 四边形ABCD是矩形,zADC=90 °zEDF=90 °ZADC+ zFDA= ZEDF+ zFDA , 即 ZFDC= zADE,AE _LCF 于点 H ,zF+zFOH=90 °zE+ zEOD

13、=90 ° ZFOH= zEOD ,zF=zE,ZADE 血DF,AD : CD=DE : DF,5AD=3 , DC=4 , DE= ,2DF=10y相似三角形中等题31-52故选：C.相似三角形中等题31-52点评：本题考查了矩形的性质、相似三角形的判断和性质以及等角的余角相等的性质，题目的综合性加强，难度 中等.2. （2014?本溪）如图，已知 ZABC 和 KDE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点 F, AB=9 , BD=3 ,则CF等于（）A . 1相似三角形中等题31-52相似三角形中等题31-52考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质. 专题：几

14、何图形问题.分析：解答：BD=AE : EF.ZCDF 证AF ,CF=AE : EF, BD=CD : CF, 3= (9 - 3) : CF,5利用两对相似三角形，线段成比例：AB : BD=AE : EF, CD : CF=AE : EF，可得CF=2 .解：如图， ZABC和KDE均为等边三角形，zB= zBAC=60 ° /E=ZEAD=60 °zB= ZE,ZBAD= ZEAF ,ZABD 朋EF,AB :同理：CD:AB : 即9: CF=2 . 故选：B.相似三角形中等题31-52相似三角形中等题31-52两角法”证得两个三角形相似.点评：本题考查了相似三角

15、形的判定与性质和等边三角形的性质此题利用了3. （2014?遵义）如图，边长为 2的正方形ABCD中，P是CD的中点，连接 AP并延长，交BC的延长线于点F, 作:PF的外接圆OO,连接BP并延长交OO于点E,连接EF,则EF的长为（）A . _2B.53C.D .考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质；圆周角定理.分析：先求出CP、BF长，根据勾股定理求出 BP，根据相似得出比例式，即可求出答案. 解答： 解：四边形ABCD是正方形，zABC= zPCF=90° CD A ,F 为 CD 的中点，CD=AB=BC=2 ,CP=1 ,PC A ,/FCP春BA ,CF_ CP_1

16、BF AB 2BF=4 , CF=4 - 2=2,由勾股定理得：BP=,J尹 =_,四边形ABCD是正方形,zBCP= ZPCF=90 °PF是直径，zE=90 ° ZBCP,zPBC= ZEBF,ZBCP网EF,= ' 11丽 BF， - =.：丽4，EF=匸，5故选：D.点评：本题考查了正方形的性质，圆周角定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力和计 算能力，题目比较好，难度适中.4. （2014?泸州）如图，在直角梯形 ABCD中，DC /AB ,ZDAB=90 ° AC JBC, AC=BC , ZABC的平分线分别交 考点：平行

17、线分线段成比例；角平分线的性质；等腰直角三角形.2+V2专题：计算题.分析： 作FG1AB于点G,由AE /FG,得出 二二，求出 Rt组GF细tZBCF，再由AB=BC求解.EF GA解答：解：作FG1AB于点G ,JDAB=90 °AE /FG, BF =BG丽 GA，AC JBC ,zACB=90 °又IBE是ZABC的平分线，FG=FC ,在 RtZBGF 和 Rt ZBCF 中，BF二BFCF=GFRt组GF 职ZBCF ( HL ),CB=GB ,AC=BC ,zCBA=45 °AB= VBC,.理=更_BC =1 g + 1 .EF GA _ BC

18、V2 _ 1点评：本题主要考查了平行线分线段成比例，全等三角形及角平分线的知识，解题的关键是找出线段之间的关系, CB=GB , AB2BC再利用比例式求解.5. （2014?南通）如图， KBC中，AB=AC=18 , BC=12，正方形 DEFG的顶点E, F在ZABC内，顶点 D, G分别 在AB , AC上，AD=AG , DG=6，则点F到BC的距离为（）考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的性质.专题：几何图形问题.分析： 首先过点A作AM JBC于点M ,交DG于点N，延长GF交BC于点H，易证得KDG SABC，然后根据相 似三角形的性质以及正方形的

19、性质求解即可求得答案.解答： 解：过点 A作AM JBC于点M，交DG于点N，延长GF交BC于点H ,AB=AC , AD=AG ,AD : AB=AG : AC,''zBAC= zDAG ,ZADG 心BC ,zADG= zB,DG /BC,四边形DEFG是正方形，TGIDG,TH JBC , AN IDG ,AB=AC=18 , BC=12,BM= _BC=6 ,2.AM=_ - j I. -12 】，H-，二 12近 F，AN=6 匚， MN=AM - AN=6 二FH=MN - GF=6 匚-6.故选：D.点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、等腰三角形

20、的性质以及勾股定理此题难度适中,注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用.6. (2014?广州)如图，四边形 ABCD、CEFG都是正方形，点 G在线段CD上，连接BG、DE , DE和FG相交于 点 O,设 AB=a , CG=b (a> b).下列结论： BCGDCE ; BG JDE ；型=0；(a- b) 2?SzEFo=b2?SZDGo.其3个考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质. 分析:由四边形 ABCD和四边形 CEFG是正方形，根据正方形的性质,即可得BC=DC , CG=CE , ZBCD= zECG=90 ° 则可根据

21、SAS证得ZBCG空DCE ;然后延长BG交DE于点H，根据全等三角形的对应角相等，求得ZCDE+ ZDGH=90 °则可得BH IDE .由A5GF与ZDCE相似即可判定错误，由A3OD与OE相似即可求 得解答： 证明：四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，BC=DC , CG=CE , ZBCD= ZECG=90 °'zBCG= zDCE,在ZBCG和ZDCE中，rBC=DC ZBCG=ZDCE ,CG=CEZBCG 室DCE ( SAS),故正确； 延长BG交DE于点H,/ZBCG BCE,zCBG= zCDE,又/CBG+ zBGC=90 °zC

22、DE+ zDGH=90 °SHG=90 °BH JDE ;BG JDE .故正确； 四边形GCEF是正方形，GF/CE, DG_ GO'DC 市，=£2是错误的.GC CE故错误； .DC IEF,zGDO= zOEF,zGOD= ZFOE,ZOGD 吨FE,.-I2 二-二 2 i 一 V)= F = ，22(a b) ?S/EFO=b ?Szdgo故正确；故选：B.相似三角形中等题31-52点评：此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性 质.BE(A.应B 皿IFC.1D .烦IT7. （2014?铜

23、仁）如图所示，在矩形 ABCD中，F是DC上一点，AE平分/BAF交BC于点E，且DE 1AF，垂足为 点 M , BE=3 , AE=2 ，贝U MF 的长是（）A考点：相似三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；矩形的性质.相似三角形中等题31-52相似三角形中等题31-52分析：设MD=a，心，利用mDM ®M，得到二，.，利用E BCE， U卡+.得到a与x的关系式，化简可得 x的值，得到D选项答案.解答： 解：TAE平分ZBAF交BC于点E,且DE 1AF，/B=90 ° AB=AM , BE=EM=3 ,又AE=6,fZADC=ZDHF 七皿二4DF &#

24、39;- EH'二寸24 9 二寸 15，设 MD=a , MF=x，在KDM 和 ZDFM 中，ZADM BFM，'丄M DM2'DM =AM ?MF ,: -，在ZDMF和eCE中，rZDMF=ZCZHDF=ZMDF，ZDMF BCE ,"(3+a )- 1571&二自yj (+a ) 2 - 15a=l解之得：* 715，故答案选：D .点评：本题考查了角平分线的性质以及三角形相似的判定方法，解题的关键在于利用三角形相似构造方程求得对 应边的长度.二、填空题（共9小题）（除非特别说明，请填准确值）8 （2014?邵阳）如图，在？ABCD中，F是B

25、C上的一点，直线 DF与AB的延长线相交于点 E, BP DF，且与AD 相交于点P,请从图中找出一组相似的三角形：KBP dAED （答案不唯一）相似三角形中等题31-52相似三角形中等题31-52考点：相似三角形的判定；平行四边形的性质.专题：开放型.分析：可利用平仃于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似判断XBP dAED .解答：解：TBP /DF ,ZABP dAED .故答案为：XBP dAED （答案不唯一）.点评：本题考查了相似三角形的判疋与性质：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原 三角形相似；9. （2014?包头）如图，在平

26、面直角坐标系中，RtKBO的顶点0与原点重合，顶点 B在x轴上，/ABO=90 ° OA与反比例函数y=的图象交于点 D，且OD=2AD，过点D作x轴的垂线交x轴于点C.若S四边形abcd=10，则k的相似三角形中等题31-52相似三角形中等题31-52:相似三角形的判定与性质；反比例函数系数k的几何意义.:几何图形问题.证ZDCO dABO，推出一=二，求出=（=）2=，求出S/odc=8，根据三角形面积公式得出Ad Od OA 3 Aoab 39-0C >CD=8，求出 OC >CD=16 即可.解答:解：OD=2AD ,.理=2'0门，zABO=90

27、76; DC JOB ,AB /DC ,ZDCO 朋B0 ,.匹=匹迎兰AB OB 0A Saqdc =（2）2=里AOAB 3 G'S 四边形 ABCD =10 ,'szodc=8, OCXCD=8 ,2OC >CD=16 ,k= - 16,故答案为：-16.点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出 A）DC的面积.10. （ 2014?湖州）如图，已知在RtZOAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y= （k旳）y=2x在第一象限的图象经过 OA的中点B，交AC于点D，连接OD .若OCDdA

28、CO ,则直线OA的解析式为相似三角形中等题31-52相似三角形中等题31-52考点：相似三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征. 专题：数形结合.分析：设OC=a，根据点D在反比例函数图象上表示出 CD，再根据相似三角形对应边成比例列式求出 AC,然后 根据中点的定义表示出点 B的坐标，再根据点B在反比例函数图象上表示出 a、k的关系，然后用a表示出 点B的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答.解答：解：设OC=a,点 D 在 y=上, 8=二,)CD dACO ,OC ACCD 0C'AC=一 ,CD k3点 A (a, ), 点B是OA的中点，3),点B的坐标为（一，&

29、#39;2 2k点B在反比例函数图象上, k ,J 2k2解得，a2=2k,点B的坐标为（二a）,2设直线OA的解析式为y=mx，则 m? d=a，2解得m=2，所以，直线OA的解析式为y=2x .故答案为：y=2x .点评：本题考查了相似三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，用0C的长度表示出点 B的坐标是解题的关键，也是本题的难点.11. （2014?泰州）如图，A、B、C、D依次为一直线上 4个点，BC2 ,组CE为等边三角形，O O过A、D、E3点, 且ZAOD120 °设AB=x , CD=y，则y与x的函数关系式为 _ " （x> 0）.考点：相似三

30、角形的判定与性质；等边三角形的性质；圆周角定理.专题：数形结合.分析： 连接AE , DE ,根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，求得/AED120 °然后求得ZABE NECD 根据相似三角形的对应边对应成比例即可表示出x与y的关系，从而不难求解.解答：解：连接AE , DE,zAOD=120 °zAED=120 °ZBCE为等边三角形，zBEC=60 °zAEB+ zCED60 °又ZEAB+ zAEB= ZEBC60 °zEAB= zCED,zABE= zECD=120 °ZABE 咗CD,Ik cd，即j :,2

31、y4：= （x > 0）.X点评：此题主要考查学生圆周角定理以及对相似三角形的判定与性质及反比例函数的实际运用能力.12. （2014?咸宁）如图，在 KBC中，AB=AC=10，点D是边BC上一动点（不与 B, C重合），厶DE= ZB= a, DE 交AC于点E,且cosa=.下列结论：5 ADE朋CD ; 当BD=6时，ZABD 与 eCE全等； DCE为直角三角形时，BD为8或_-2 ）V CE 詬.4.其中正确的结论是.（把你认为正确结论的序号都填上）考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质.专题：:推理填空题.分析：（ 根据有两组对应角相等的三角形相似即可证明.

32、由BD=6，则DC=10，然后根据有两组对应角相等且夹边也相等的三角形全等，即可证得. 分两种情况讨论，通过三角形相似即可求得. 依据相似三角形对应边成比例即可求得.解答：解：.AB=AC ,zB= JC,又MDE= BzADE= zC,/ADE 朋CD ;故正确，AB=AC=10 , ZADE= ZB= a, cos a=,5BC=2ABcosB=2 XI0 吕=16 ,5BD=6 ,DC=10 ,AB=DC ,在ZABD与eCE中，rZBAD=ZCDE-ZBZC,AB=DCZABD 去CE ( ASA ).故正确， 当ZAED=90。时，由可知： 虫DE ©ACD ,zADC=

33、zAED ,zAED=90 °zADC=90 °即 AD JBC,AB=AC ,BD=CD ,-zADE= zB= a且 cos炉,AB=10 ,5BD=8 .当ZCDE=90。时，易 ZCDE辺BAD ,zCDE=90 °zBAD=90 °AzB= a 且 cos a= '. AB=10 ,5cosZB= _ I =BD 5BD=''.2故正确. 易证得:DE GBAD，由可知BC=16 ,设 BD=y , CE=x,.AB但x，2整理得：y2- 16y+64=64 - 10x,即(y - 8)=64 - 10x,.'0

34、< x<6.4.故正确.故答案为：点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及利用三角函数求边长等.ED=2 : 1 .女口13. （2014?攀枝花）如图，在梯形 ABCD中，AD伯C, BE平分/ABC交CD于E,且BE JCD, CE : 果ZBEC的面积为2,那么四边形ABED的面积是相似三角形中等题31-52相似三角形中等题31-52考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；梯形. 专题：几何图形问题.相似三角形中等题31-52分析： 首先延长BA , CD交于点F,易证得ZBEF室BEC,则可得DF: FC=1 : 4，又由KDF sB

35、CF，根据相似三 角形的面积比等于相似比的平方，可求得KDF的面积，根据S四边形abed=Szbef SDf继而求得答案.解答：解：延长BA , CD交于点F,BE 平分/ABC ,zEBF=左BC,BE JCD ,zBEF= ZBEC=9O °在ZBEF和ZBEC中，rZEBP=ZEBCBE二BE,I. ZBEF=ZBECZBEF 去EC (ASA ), EC=EF, S/bef=Szbec=2,'Szbcf=Szbef+Szbec=4 ,CE: ED=2: 1DF: FC=1 : 4,AD /BC,ZADF KCF,【厂T= Zi?) 2: =( )= ,Abcf CF

36、161 7s 四边形 ABED=SZBEF S/ADF=2 =4 4故答案为：.4点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及梯形的性质此题难度适中，注意掌 握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用.14. （2014?荆州）如图，正方形 OABC与正方形 ODEF是位似图形，点 O为位似中心，相似比为 1 :，点A的 坐标为（0, 1）,则点E的坐标是百.DAEBOC F *考点：位似变换；坐标与图形性质. 专题：常规题型.分析：由题意可得OA : OD=1 :心2,又由点A的坐标为（1, 0）,即可求得 0D的长，又由正方形的性质，即可 求得E点的坐标.解答：解：正

37、方形OABC与正方形ODEF是位似图形，0为位似中心，相似比为 1 :匚，0A: 0D=1 :心点A的坐标为（0, 1）,即 0A=1 ,0D=二四边形0DEF是正方形，DE=0D=匚.E点的坐标为：（二 ）. 故答案为：（逅，近）.点评：此题考查了位似变换的性质与正方形的性质.此题比较简单，注意理解位似变换与相似比的定义是解此题 的关键.15. （2014?哈尔滨）如图，在 ZABC中，4AB=5AC , AD为ZABC的角平分线，点 E在BC的延长线上，EFJAD于 点F,点G在AF上，FG=FD，连接EG交AC于点H .若点H是AC的中点，则二的值为-.FD _ 3考点：相似三角形的判定

38、与性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；平行 四边形的判定与性质.专题：几何图形问题.分析：解题关键是作出辅助线，如解答图所示：第1步：利用角平分线的性质，得到BD=§CD ；4第2步：延长 AC,构造一对全等三角形 ZABD AMD ；第3步：过点M作MN IIAD，构造平行四边形 DMNG .由MD=BD=KD= CD，得到等腰ZDMK ;然后利用4角之间关系证明 DM /GN，从而推出四边形 DMNG为平行四边形； 第4步：由MN /AD，列出比例式，求出聲的值.解答：解：已知AD为角平分线，则点 D到AB、AC的距离相等，设为 h.理=2 h二

39、桩=5CD 做叫忆刁M5BD=±CD .4如右图，延长 AC,在AC的延长线上截取 AM=AB，则有AC=4CM .连接DM .在ZABD与ZMD中，ZBAT=Z11ADAE=AEZABD 另MD ( SAS) MD=BD= 'CD.4过点M作MN /AD，交EG于点N，交DE于点K.MN /AD ,= fr='CD AC 4，CK= CD ,4KD=_ICD .4 MD=KD，即A)MK为等腰三角形，SMK= zDKM .由题意，易知EDG为等腰三角形，且/仁Z2;MN /AD ,.23=企 / = /2,又ZDKM= 23 (对顶角)SMK= 24,DM /GN

40、,四边形DMNG为平行四边形，MN=DG=2FD .点 H 为 AC 中点，AC=4CM ,:”；.MN /AD ,22=世即m hhAG =22FD3 -.-=FD 3故答案为:相似三角形中等题31-52本题是几何综合题，难度较大，正确作出辅助线是解题关键在解题过程中，需要综合利用各种几何知识, 例如相似、全等、平行四边形、等腰三角形、角平分线性质等，对考生能力要求较高.相似三角形中等题31-5216. （2014?抚顺）如图，已知 CO1是 虫BC的中线，过点 Oi作O1E1/AC交BC于点Ei，连接AEi交COi于点。2； 过点O2作O2E2/AC交BC于点E2，连接AE2交COi于点O

41、3；过点O3作O3E3/AC交BC于点E3,，如此继续，可以依次得到点 。4,。5,，On和点E4, E5,，En.则OnEn=_' _AC .（用含n的代数式表示）n+1考点：相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理. 专题：规律型.分析：BOi 0冋=i OjEi 迢 1由COi是沁的中线，OWAC,可证得以此类推得到答案解答：解：OiEi/AC , .ZBOiEiBAC ,BO】BA _ ACCOi是KBC的中线, -I _ -：=' 页-AC 2， 'OiEi /AC , )2OiEidACO2,由 O2E2/AC,可得：OnEn=AC .n+1故答案为：.n+

42、1相似三角形中等题31-52点评：本题主要考查平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的理解和掌握，能得出规律是解此题的 关键.相似三角形中等题31-52三、解答题(共6小题)(选答题，不自动判卷)17. (2014?上海)已知：如图，梯形 ABCD中，AD伯C , AB=DC，对角线 AC、BD相交于点F,点E是边BC延 长线上一点，且/ CDE= /ABD .(1) 求证：四边形 ACED是平行四边形；(2) 连接AE,交BD于点G,求证：=二.GB DB考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定.专题：证明题.分析：(1) 证 &BAD 室CDA

43、，推出/ABD= JACD= ZCDE，推出 AC /DE 即可；(2) 根据平行得出比例式，再根据比例式的性质进行变形，即可得出答案.解答：证明：(1) 梯形 ABCD , AD /BC, AB=CD ,zBAD= zCDA ,在 ZBAD 和 ZCDA 中rAD=AD' ZBAD=ZCDA.AB 二 CDBAD 丝CDA ( SAS),ZABD= JACD ,zCDE= ZABD ,zACD= zCDE,AC /DE ,AD /CE,四边形ACED是平行四边形；(2)TAD /BC , AD = DG BC_ BF豆 GB，AD 丽，BC+AD_BF+DF ADDF ，平行四边形A

44、CED , AD=CE ,BC+CE_BF+DFADDF ，血 _BD瓦-丽，AE_DF呢市，.DG _DFW = D/点评：本题考查了比例的性质，平行四边形的判定，平行线的判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能 力，题目比较好，难度适中.18. (2014?柳州)如图，正方形 ABCD的边长为1, AB边上有一动点P,连接PD,线段PD绕点P顺时针旋转90° 后，得到线段 PE,且PE交BC于F,连接DF，过点E作EQ1AB的延长线于点 Q .(1) 求线段PQ的长；(2) 问：点P在何处时，ZPFD4BFP，并说明理由.考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；

45、正方形的性质.分析： (1)由题意得：PD=PE,/DPE=90 °,又由正方形 ABCD的边长为1，易证得ZADP室QPE，然后由全等三 角形的性质，求得线段 PQ的长；(2)易证得ZDAP辺PBF，又由AFD4BFP，根据相似三角形的对应边成比例，可得证得PA=PB ,则可求得答案.解答： 解：(1)根据题意得：PD=PE,/DPE=90 °zAPD+ zQPE=90 °,四边形ABCD是正方形，zA=90 °ZADP+ ZAPD=90 °zADP= zQPE,-EQ1AB ,'zA= zQ=90 °,在 ZADP 禾和

46、AQPE 中，rZA=ZQ' ZADP=ZQPE ,LPD=PE ZADP KPE (AAS ),PQ=AD=1 ；(2)：ZPFD 网FP,.PB_PDzADP= zEPB，/CBP= A ,ZDAP *BF, PD_AP丽丽，PA=PB,PA= AB=2 2当 PA=_L时，ZPFD4BFP .2点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及全等三角形的判定与性质此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.19. (2014?眉山)如图，在 RtZABC 中，/C=90° RtZBAP 中，/BAP=90 ° 已知/CBO= zABP , BP 交 AC

47、 于点 O,E为AC上一点，且 AE=OC .(1) 求证：AP=AO ;(2) 求证：PE1AO;考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质.专题：几何综合题.分析：(1) 根据等角的余角相等证明即可；(2) 过点O作OD1AB于D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CO=DO用用SAS”证明ZAPE和 )AD全等，根据全等三角形对应角相等可得/AEP= zADO=90 °从而得证；(3) 设C0-3k , AC-8k ,表示出AE-CO-3k , AO-AP-5k ,然后利用勾股定理列式求出PE-4k, BC-BD-10-

48、4k，再根据相似三角形对应边成比例列式求出k-1然后在RtZBDO中，利用勾股定理列式求解即可.解答：(1) 证明：T ZC-90 °, ZBAP-90 °zCBO+ zBOC-90 ° ° ZABP+ ZAPB-90 °又/CBO- zABP ,zBOC- zAPB ,/BOC- zAOP ,zAOP- ZAPB ,AP-AO ；(2) 证明：如图，过点 O作OD 1AB于D,/CBO- zABP ,.'CO-DO ,AE-OC ,AE-OD ,7A0D+ zOAD=90 ° ZPAE+ zOAD=90 °zAOD

49、= zPAE,在ZAOD和汙AE中，rAE=0D- ZA0D=ZPAE，Ilap=aoZAOD 裁AE ( SAS),zAEP=厶DO=90 °PEIAO ;(3) 解：设 AE=OC=3k ,AE=5aC ,AC=8k ,8OE=AC - AE - OC=2k ,OA=OE+AE=5k .由(1)可知，AP=AO=5k .如图，过点O作OD 1AB于点D ,zCBO= zABP , /-OD=OC=3k .在 Rt ZAOD 中，AD= "=4k.BD=AB - AD=10 - 4k.OD /AP,' 1即.両花5k= IO-解得k=1 ,AB=10, PE=AD

50、 ,PE=AD=4K , BD=AB - AD=10 - 4k=6 , OD=3在RtZBDO中，由勾股定理得：BO='=4訂=3 '.点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，勾股定理，相似三 角形的判定与性质，（2）作辅助线构造出过渡线段DO并得到全等三角形是解题的关键，（3）利用相似三角形对应边成比例求出 k=1是解题的关键.20. （2014?绍兴）课本中有一道作业题：有一块三角形余料 ABC ,它的边BC=120mm,高AD=80mm .要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC上,其余两个顶点分别在 AB , AC上.问加

51、工成的正方形零件的边长是多少mm?小颖解得此题的答案为 48mm ,小颖善于反思，她又提出了如下的问题.（1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1,此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm?请你计算.（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图 2,这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面 积有最大值,求达到这个最大值时矩形零件的两条边长.相似三角形中等题31-52相似三角形中等题31-52考点：相似三角形的应用；二次函数的最值. 专题：几何综合题.分析：(1) 设PN=2y ( mm),则PQ=y ( mm),然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式求出即可；(2) 设PN=x ,用PQ表示出AE的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式并用x表 示出PN ,然后根据矩形的面积公式列式计算，再根据二次函数的最值问题解答.解答： 解：(1)设矩形的边长 PN=2y ( mm),贝U PQ=y (mm),由条件可得 虫PN sABC ,.PN AEBC皿即120 80解得y=-7.PN= ： 乂='(mm),77答：这个矩形零件的两条边长分别为(2)设PN=x ( mm),由条件可得.:"L Ll：'i，x 80-PQZAPN 刊BC