双曲线、抛物线的参数方程

1、二、圆锥曲线的参数方程二、圆锥曲线的参数方程2、双曲线的参数方程baoxy)MBABAOBBy在中，( , )M x y设| | tanBBOBtan .bOAAx在中，|cosOAOAsec()tanxaMyb所以的轨迹方程是为参数所以的轨迹方程是为参数2a22222 2xyxy消去参数后，得-=1,消去参数后，得-=1,b b这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。双曲线的参数方程双曲线的参数方程|cosOAOAcosasec,acosacosasec,acosasec,acosasecacosa 双曲线的参数方程双曲线的参数方程 baoxy)MBABA

2、sec()tanxayb为参数2a222xy-=1(a0,b0)的参数方程为：b3 ,2 )22o通 常 规 定且，。 双曲线的参数方程可以由方程双曲线的参数方程可以由方程 与三角恒等式与三角恒等式22221xyab22sec1tan 相比较而得到，所以双曲线的参数方程相比较而得到，所以双曲线的参数方程 的实质是三角代换的实质是三角代换.说明：说明： 这里参数这里参数 叫做双曲线的离心角与直线叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同的倾斜角不同.例例2、2222100(,)xyMabOabMABMAOB 如如图图，设设为为双双曲曲线线任任意意一一点点，为为原原点点，过过点点作作双双曲曲线线两两

3、渐渐近近线线的的平平行行线线，分分别别与与两两渐渐近近线线交交于于 ， 两两点点。探探求求平平行行四四边边形形的的面面积积，由由此此可可以以发发现现什什么么结结论论？OBMAxy.byxa 双曲线的渐近线方程为：解：解：tan(sec ).MbybxaaA 不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为,则直线的方程为（asec ,btan ）： b将y=x代入，解得点A的横坐标为aAax = （sectan ）2.Bax = （se同理可得，点B的横坐cta2标n为）.ba设 AOx= ,则tan.MAOB所以的面积为MAOBS=|OA|OB|sin2 =ABxxsin2coscos2222a (se

4、c-tan)=sin24costan.2baba22aa=22MAOB由此可见，平行四边形的面积恒为定值，与点M在双曲线上的位置无关。练习练习:1.已知参数方程11xttytt(t 是参数是参数, t 0)化为普通方程化为普通方程,画出方程的曲线画出方程的曲线.2.参数方程sectanxayb(,)22是 参 数表示什么曲线表示什么曲线?画出图形画出图形.二、圆锥曲线的参数方程二、圆锥曲线的参数方程3、抛物线的参数方程复习回顾复习回顾:2.焦点在焦点在x轴上的轴上的双曲线参数方程双曲线参数方程1. 焦点在焦点在x轴上的轴上的椭圆的参数方程椭圆的参数方程)(sincos为为参参数数 byax 对

5、应的普通对应的普通方程为方程为:)0( 12222 babyax)23,2(tansec 为参数，为参数，byax对应的普通对应的普通方程为方程为:)0, 0( 12222 babyaxxyoAMB(x,y) cosbx sinay 焦点在焦点在y轴上的椭圆的参数方程轴上的椭圆的参数方程baoxy)MBABA焦点在焦点在y轴上的双曲线的参数方程轴上的双曲线的参数方程 cottan1bbx cscsin1aay ._tansec. 2._022,1416. 122的离心率是的离心率是双曲线双曲线的最大距离为的最大距离为到直线到直线则点则点上一个动点上一个动点是椭圆是椭圆若点若点 yxyxPyxP

6、练习练习:1、参数方程的概念：、参数方程的概念：探究探究P21 如图，一架救援飞机在离灾区地面如图，一架救援飞机在离灾区地面500m高处以高处以100m/s的速度的速度作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面（不记空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？（不记空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？xy500o物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：（1）沿）沿ox作初速为作初速为100m/x的匀速直线运动；的匀速直线运动；（2）沿）沿oy反方向作自由落体运动。反方向作自由落体运

7、动。txy解：物资出舱后，设在时刻 ，水平位移为 ， 垂直高度为 ，所以2100 ,)1500.2xtygt2（g=9.8m/s思考：思考： 对于一般的抛物线，怎样对于一般的抛物线，怎样建立相应的参数方程呢？建立相应的参数方程呢？抛物线的参数方程抛物线的参数方程oyx)HM(x，y)M设 （x,y）为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线OM为终边的角记作 。tan .My因为点 （x,y）在 的终边上，根据三角函数定义可得x.2又设抛物线普通方程为y =2px,().y22px=tan解出x,y得到抛物线（不包括顶点）的参数方程：为参数2ptan1如果设t=,t (- ,0) (0,+ ),则有

8、tan,().ty2x=2pt为参数2pt0t 当时，参数方程表示的点正好就是抛物线的顶点（0，0）。,().ttRy2x=2pt所以，为参数，表示整条抛物线。2pt思考：思考：参数参数t的几何意义是什么？的几何意义是什么？抛物线的参数方程抛物线的参数方程oyx)HM(x，y)2抛物线y =2px(p0)的参数方程为:1其中参数t=(0),当 =0时，t=0.tan几何意义为：,().ttRy2x=2pt为参数，2pt抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。思考：思考：P21 怎样根据抛物线的定义选取参数，建立抛物线怎样根据抛物线的定义选取参数，建立抛物线x2=2py(p0)的的参数

9、方程？参数方程？.x即P(x,y)为抛物线上任意一点,则有t=y的轨迹方程。的轨迹方程。，求点，求点相交于点相交于点并于并于且且上异于顶点的两动点，上异于顶点的两动点，是抛物线是抛物线是直角坐标原点，是直角坐标原点，、如图、如图例例MMABABOMOBOAppxyBAO ,)0(2,12xyoBAM)8.(.1, 0)2()2(, 0,)(2),(2()2 ,2(),2 ,2(),()0,)(2 ,2(),2 ,2(),(,212122211221222221212121222121 ttttptptOBOAOBOAttpttpABptptOBptptOAyxOMttttptptptptyxB

10、AM所以所以即即所以所以因为因为则则且且的坐标分别为的坐标分别为解：根据条件，设点解：根据条件，设点三点共线，三点共线，且且因为因为即即所以所以即即所以所以因为因为BMAyptxptMBptyptxAMxxyttyttxttpyttpxOBOMABOM,)2 ,2(),2,2()9.(.).0(, 0)(0)(2)(2, 0,2221212121122122 的轨迹方程的轨迹方程这就是点这就是点即即得到得到代入代入将将化简，得化简，得所以所以Mxpxyxxpxyyxtptttyptyxptyptptx)0(0202)(),10()9(),8()10.(.02)()2)(2()2)(2(222121122221 ?,3最小？最小值是多少最小？最小值是多少的面积的面积在什么位置时，在什么位置时，中，点中，点探究：在例探究：在例AOBBA .4,44)(222)1()1(212)2()2(12)2()2(3221222122221222212122222222221121221pAOBxBAttpttpttpttttpSAOBttpptptOBttpp