四川大学线性代数课件第二章第四节 n阶矩阵乘积的行列式

1、引理引理 设设A=(aij)n B=(bij)mm C=(cij)mn 则则 A 0 C B d=AB证明：对证明：对n作归纳法：当作归纳法：当n=1时，即按第一行展开，显然成时，即按第一行展开，显然成立。设结论对立。设结论对n-1阶阶 矩阵成立。矩阵成立。当当A为为n阶矩阵时：阶矩阵时：.000000111111111221111mmmmnmmnnnnnnbbccbbccaaaaaad按第按第一行一行展开展开将将d 按照第一行展开：按照第一行展开：.000000111111111221111mmmmnmmnnnnnnbbccbbccaaaaaad设设a1j在在A中的余子式为中的余子式为M1j

2、 ，代数余子式为代数余子式为A1ja1j在在d 中的余子式为中的余子式为 之形。之形。 BCMnmj) 1(10由归纳假设知它在由归纳假设知它在d 中的余子式及代数余子式分别为：中的余子式及代数余子式分别为：BMj1BAj1BAadjnjj111ABAaBjnjj111同理：同理：BABDA0BABAFmn) 1(0BAMBAmn) 1(0一共作nm次相邻对换化成引理中的形式定理定理5 （矩阵乘积的行列式定理）（矩阵乘积的行列式定理） 设设A，B是是n阶矩阵，则阶矩阵，则 AB=AB证明：证明：将将B作行分块：作行分块：nBBBB21构造构造行列行列式式BEABA0nnnnnnnBBBaaaa

3、aaaaa10001000100021212222111211nnnnnnnBBBBaaaBaaaBaaa10001000100021112121222111112第n+1行的ai1 倍加到第i 行，i=1，2，nnnnnnnnBBBBaBaaBaBaaBaBaaa1000100010000002122112221212212111112nininiiiniiiniBBBBaBaBa1000100010000000002112111ABBBABaBaBaBaBaBannnnnnnn122111212111BEABBA0EABnn) 1(nnAB) 1() 1(2AB例例1：计算行列式的值：计算

4、行列式的值3002543120037215300220035431721532002300513475123223341210)49)(46(课后思考：证明奇数阶反对称行列式的值为0可以拆成矩阵之积的行列式计算方法可以拆成矩阵之积的行列式计算方法例例2证明证明. 02sin)sin()sin()sin(2sin)sin()sin()sin(2sin 证证. 0000sinsinsincoscoscos0cossin0cossin0cossin 左边左边.:)2(;)1(.,111BACDADCBAXYZEOBAEZDCBAYEACOEXnEAnDCBA 证明证明求乘积求乘积并且并且阶单位阵阶单位阵是是是非奇异的是非奇异的阶方阵阶方阵都是都是设设例例3:3:解解:（）根据分块矩阵的乘法，得（）根据分块矩阵的乘法，得 EOBAEDCBAEACOEXYZ11 EOBAEBACDOBA11.1 BACD