2018年安徽数学竞赛初赛试题及答案版

1、2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷(考试时间：2018年6月30日上午9:0011:30)题号一二总分9101112得分评卷人 复核人注意：1 .本试卷共12小题，满分150分； 2.请用钢笔、签字笔或圆珠笔作答;3.书写不要超过装订线；4.不得使用计算器.一、填空题(每题8分，共64分，结果须化简)1 .设三个复数l,i,z在复平面上对应的三点共线，且|z|=5,则z=.2 .设n是正整数，且满足 05=438427732293,则n=.3 .函数 f(x)=|sin(2x)+sin(3x)+sin(4x)|的最小正周期=.4 .设点P,Q分别在函数丫=2、和y=log2x的图象上，则|

2、PQ|的最小值=.5 .从1,2,/。中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差s2&l的概率=6 .在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1内部有一小球，该小球与正方体的对角线段 AC1相切，则小球半径的最大值=.7 .设 H 是4ABC 的垂心，且 3HA+4HB+5HC=0, WJ cos/ AHB=.8 .把1,2，,n2按照顺时针螺旋方式排成n行n列的表格Tn,第一行是1,2,n.'1 2 3"例如：T3= 8 9 4 .设2018在T100的第i行第 "I，则(i,j尸._7 6 5一二、解答题(第9-10题每题21分，第11-12题每题22分

3、，共86分)9 .如图所示，设ABCD是矩形，点E,F分别是线段AD,BC的中点，点G在线段EF 上，点D,H关于线段AG的垂直平分线1对称.求证：2210 .设O是坐标原点，双曲线 C: x2- %= 1上动点M处的切线交C的两条渐近线a2 b2于A,B两点：求证：4AOB的面积S是定值.(2)求4AOB的外心P的轨迹方程。11 .求证：对于任意实数x,y,z者B有x2 + 2y2 + 3z2 >点(xy+ yz+ zx).(2)是否存在实数k>V3,使得对于任意实数x,y,z下式成立？x2+ 2y2 + 3z2 > V3(xy + yz+ zx)试证明你的结论.12.在正

4、2018边形的每两个顶点之间均连一条线段，并把每条线段染成红色或蓝色求 此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数.参考答案和评分标准一、填空题（每题8分，共64分）123456784-3i 或-3 + 4i2132兀1 + ln(ln 2)In 21154-76_V66(34,95)5二、解答题（第9一10题每题21分，第1112题每题22分，共86分）(39,由分别是Q8C的中点，得EFH AB上AD .设?是E关于f的对称点，则EP/HGl/,故四边形EPG是等腰梯形.ZPAG = ZEGA = ZGAB , ZAPG = ZGEA ,从而以尸 _HG. 再由"尸= OE= E月

5、= PG ,得/H.4P = NPAG = /G48 .因此，NHAR=3NGAB .10. （1）%）处的切线方程誓-等=1.（3分）与渐近线方程联立.得力Qqj/G.鼻1 8HM）= 3,工（6分） O h £1 b J b 43 fez从而，§ =小为-/凹=|。可是定值.（9分）（2）由（1）可设力（上出无）,讥丸-8P（x7y）.，为非零常数.（12分）由I叫=闸匚叫得（X-九02 + U-Ab）2 =犬/二（工_4十（y +疗，（15分）从而有以+ 8y =亨（/+/）, ax - by = （a2 + b2） .（18 分）上述两式相乘，得户的轨迹方程为QI分

6、）lh (1)由均值不等式，yx2 + |y2 >3xy>+ |z2 > a/Sxz, yj2 + 1z2i73z,故x2 + 2y2 + 3z > V3(.rv + yz+zx) .(8 分)(2) j?+2y-3后(切+户+”)二(、一"一十 Q-与)J一(3?)d + (4 - kyw (14 分) 上式20恒成立当且仅当2-号之0且(与-外吆4(2-号)(3-9).(18分)化简得冏0271且F - 66+24之0,显然，£ = 2>内满足要求,(22分)12.设N是此图形中三边颜色都相同的三角形数目，例是此图形中三边颜色不全相同 的三角形数目，为是以第i个顶点为端点的红色线段数FL则有20ISM+N = C,e，£中2017-$）=2加.（10 分）当且仅当每个_r产1008或1009时