2020年全国统一高考数学试卷文科新课标Ⅲ解析版

1、2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标出）一、选择题（共12小题）.1 .已知集合 A = 1, 2, 3, 5, 7, 11, B = x|3vxv 15,则 APB 中元素的个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 52 .若/（1 + i）=1 i,则 z=（）A. 1-iB. 1 + iC, - iD. i3 .设一组样本数据 X1, X2,，Xn的方差为0.01,则数据10X1, 10X2,，10Xn的方差为（ ）A. 0.01B, 0.1C. 1D. 104 . Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数

2、I （t） （t的单位：天）的 Logistic模型：I （t）=K7r5拓二奇，其中K为最大确诊病例数.当 I （t*） =0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（）（ln19=3）A. 60B. 63C. 66D. 695 .已知 sin 0+sin （日十三一）=1,则 sin （日十二）=（）C的轨迹为（1V32A万B-VC百6 .在平面内，A, B是两个定点，C是动点.若元筋=1,则点A.圆B.椭圆C.抛物线D.直线7 .设O为坐标原点，直线 x = 2与抛物线C: y2=2px （p>0）交于D, E两点，若OD，OE,则C的焦点坐标为（）,1、，1、八，、，、A.（

3、瓦，0）B.L，0）C. （1,0）D. （2, 0）8 .点（0, - 1）到直线y=k （x+1）距离的最大值为（）A. 1B,V2C, V3D. 29 .如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（b= log 53,C. 6+271D.4+2 ,二10 .设 a= 10g32,A . a< c< bB.a< b< cC. bvcvaD.c< a< b11 .在 ABC 中,cosC菖，AC = 4, BC=3,则 tanB=(D.8. 112 .已知函数f (x) = sinx+二二sinxA.f (x)的最小值为2B.f (x)的图象关于y轴对称

4、C.f (x)的图象关于直线 x =兀对称D.f (x)的图象关于直线 x=7T2对称二、填空题：本题共 4小题，每小题5分,共20分。13 .若 x,y满足约束条件 2x-y>0s则z= 3x+2y的最大值为214 .设双曲线 C:三亏ab2=1 （a>0, b>0）的一条渐近线为y=V2x,则C的离心率，则a =15 .设函数 f (x) =-,若 f' ( 1)16 .已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题

5、，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60分。17 .设等比数列an满足 ai+a2=4, a3-ai=8.(1)求an的通项公式；(2)记Sn为数列log 3an的前n项和.若Sm+Sm+1-Sm+3,求m.18 .某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)：锻炼人次0, 200(200, 400(400, 600空气质量等级1 (优)216252 (良)510123 (轻度污染)6784 (中度污染)720(1)分别借计该市=一天的空气质量等级为1, 2, 3, 4的概率；(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一

6、组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(3)若某天的空气质量等级为 1或2,则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4,则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下面的2X2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次400人次W 400空气质量好空气质量不好附：K2=n(ad-bc)(a+b) (c+d) (a+c) (b+d)P (K2>k)0.0500.0100.0013.8416.63510.82819 .如图，在长方体ABCD - A1B1C1D1中，点E, F分别在棱DDi, BBi上，且2DE = EDi

7、,BF = 2FBi.证明：(1)当 AB = BC 时，EFLAC；(2)点C1在平面AEF内.20 .已知函数 f (x) = x3- kx+k2.(1)讨论f (x)的单调性；(2)若f (x)有三个零点，求 k的取值范围.右皿厂32l y2.»、，八 i、，21 .已知椭圆C: +2-7= 1 (0vm<5)的离心率为一旦，A, B分别为C的左、右顶点.251rl*4 I(1)求C的方程；(2)若点P在C上，点Q在直线x=6上，且|BP|=|BQ|, BPXBQ,求 APQ的面积.(二)选考题：共 10分。请考生在第 22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一

8、题计分。选彳4-4 :坐标系与参数方程 -2萨2 -1 一 t ,22 .在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数且tw1) , C与:y=2-3t+t坐标轴交于A, B两点.(1)求 |AB|；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 AB的极坐标方程.选彳4-5:不等式选讲23.设 a, b, cCR, a+b+c=0, abc= 1.(1)证明：ab+bc+cav0;(2)用maxa, b, c表示a, b, c的最大值，证明： maxa, b c>Q.、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中,一项是符合题目要求的。A

9、. 2B. 3C. 4D. 5只有( )1 .已知集合 A = 1, 2, 3, 5, 7, 11, B = x|3vxv 15,则APB中元素的个数为【分析】求出集合 A, B,由此能求出 A n B,进而能求出 An B中元素的个数.解：.集合 A = 1, 2, 3, 5, 7, 11, B=x|3vx<15),AA B = 5 , 7, 11, An B中元素的个数为3.故选：B.2 .若工(1 + i) = 1 i,则 z=()A. 1-iB. 1 + iC. - iD. i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轲复数的概念得答案.解：由工(1+i)

10、=1 - i,得1+i (1+i)(1-1)z= i.故选：D.的方差为3 .设一组样本数据 x1, x2 ,，xn的方差为0.01,则数据10x1, 10x2,，10xn( )A. 0.01B, 0.1C. 1D. 10【分析】根据任何一组数据同时扩大几倍方差将变为平方倍增长，求出新数据的方差即可.解：二.样本数据Xi, x2,，xn的方差为0.01,根据任何一组数据同时扩大几倍方差将变为平方倍增长，数据 10X1, 10X2,，10Xn 的方差为：100X0.01=1, 故选：C.4 . Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累

11、计确诊病例数I (t) (t的单位：天)的 Logistic模型：I (t)=十0疫情，则t*约为()(ln19=3)A. 60B. 63C. 66D. 69【分析】根据所给材料的公式列出方程= 0.95K,解出t即可.解：由已知可得1+g-a 23fB53)= 0.95K,解得 e 0.23(t-53)两边取对数有-0.23 Ct-53) =一ln19,其中K为最大确诊病例数.当I (t*) =0.95K时，标志着已初步遏制解得t=66,故选：C.5.已知 sin 0+sin=1,则sin ( 1 B.C.|D.【分析】利用两角和差的三角公式，进行转化，利用辅助角公式进行化简即可.解：sin

12、 Osin ( 9 4 o)=1,/. sin Q+sin 伊cose= 1,2即gsin 什 Jcos 0= 1,22得右(7j-cos e哼sin 0)=1,rr Ln 兀即 xfssin ( 00)=1,人 兀得 sin (日-r66.在平面内，A,B是两个定点，C是动点.若AC-BC=1,则点C的轨迹为(A.圆B,椭圆C.抛物线D,直线【分析】设出A、B、C的坐标，利用已知条件，转化求解C的轨迹方程，推出结果即可.解：在平面内,A, B是两个定点，C是动点,不妨设A ( - a, 0),B (a, 0),设 C (x, y),所以（x+a, y） ? （x a, y） = 1,解得 x

13、2+y2= a2+i,所以点C的轨迹为圆.故选：A.7 .设O为坐标原点，直线x = 2与抛物线C： y2=2px （p>0）交于D, E两点，若OD，OE,则C的焦点坐标为（）/ 1 、 , 1 、 、 , 、A.（瓦，0）B. E 0）C. （1, 0）D. （2, 0）【分析】利用已知条件转化求解E、D坐标，通过koD? kOE=- 1,求解抛物线方程，即可得到抛物线的焦点坐标.解：将 x= 2 代入抛物线 y2= 2px,可得 y=±2，, OD _LOE,可得 kOD? kOE= - 1,所以抛物线方程为：y2=2x,它的焦点坐标（停，0）.故选：B.8 .点（0,

14、- 1）到直线y=k （x+1）距离的最大值为（）A. 1B.eC. V3D. 2【分析】直接代入点到直线的距离公式，结合基本不等式即可求解结论.足 jk2+2k+l| L , 2k解：因为点（0, -1）到直线y=k（x+1）距离d=要求距离的最大值，故需k。；可得d<9.如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（几何体的表面积为：3X二” 一，二11A. 6+4、匹B. 4+46C. 6+26D. 4+地【分析】先由三视图画出几何体的直观图，利用三视图的数据，利用三棱锥的表面积公 式计算即可.解：由三视图可知几何体的直观图如图：几何体是正方体的一个角,PA=AB=AC = 2,

15、PA、AB、AC 两两垂直,故 PB = BC= PC=2匹gx（2也产=6+2代，则（）10.设 a=log32, b= log53, c=A . a< c< bB. avbvcC. bvcvaD. c< a< b【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解.解：: a= 10g32= I|- -1 -b= 10g53 =L君5与赤1 口町轲=c=a< c< b.11.在 ABC 中,cosC,AC = 4, BC= 3,则 tanB=(D. 8.二B. 2 丁【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求tanC的值，利用余弦定理可求 AB的值，可得A=

16、C,利用三角形的内角和定理可求B=兀-2C,利用诱导公式，二倍角的正切函数公式即可求解 tan B的值.-2 斛：. cosC 2 , AC = 4, BC = 3,tanC=J冬V CD S C EAB =VAC2tBC2-2AC-BC-coSC =42+32-2X4X3X-=3,可得 A = C,则 tan B = tan (兀-2C) = tan2 C =-2t-anC= 4/5故选：C.12.已知函数 f (x) = sinx+ 一,贝U ()sinzA. f (x)的最小值为2B. f (x)的图象关于y轴对称C. f (x)的图象关于直线 x =兀对称71D. f (x)的图象关于

17、直线 x=-对称【分析】设sinx=t,则y=f (x) = t+, t - 1, 1,由双勾函数的图象和性质可得,>2或yw - 2,故可判断A;根据奇偶性定义可以判断B正误；根据对称性的定义可以判断C, D的正误.解：由sinx w 0可得函数的定义域为x|xwkjt, k Z,故定义域关于原点对称;设sinx= t,则y=f (x) =t-, tq-1, 1,由双勾函数的图象和性质得，y> 2或y<-2,故A错误；又有 f ( x) = sin ( x) +7-r-= ( sinx好一)=-f (x),故 f (x)是奇函sink-K)sinx数，且定义域关于原点对称，

18、故图象关于原点中心对称；故 B错误;1_. f(兀+x) =s1n (兀+x) +gbsinx -； f( LX) =sin( LX)京河-心= sinx+ . ,故f (武x) wf (兀-x) , f (x)的图象不关于直线 x=兀对称，C错误;冗、.又 f (-+x) = sin,冗、三1 一五 、,(二T+x) + , 冗 、=cosx+; f (-T- - x) = sin2 sinC-cosz 21cosz7T,故 f (-+x) = f ('-x),定义域为x|xwk' kCZ,f (x)的图象关于直线 x = 对称；D正确;二、填空题：本题共 4小题，每小题5分

19、，共20分。13 .若x, y满足约束条件& 2x-y>0,则z= 3x+2y的最大值为 7 . 泮43【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z= 3x+2y表示直线在y轴上的截距的一半，只需求出可行域内直线在y轴上的截距最大值即可.Ifk1解：先根据约束条件画出可行域，由 解得A (1, 2),(2x'y=0如图，当直线z= 3x+2y过点A (1, 2)时，目标函数在 y轴上的截距取得最大值时，此 时z取得最大值，即当 x=1, y=2 时，zmax =3X1+2 X 2 = 7.故答案为：7.14 .设双曲线 C:三9-。*=1 (a>0,

20、b>0)的一条渐近线为 y=V2x,则C的离心率为 a b【分析】由双曲线的方程求出渐近线的方程，再由题意求出 a, b的关系，再由离心率的公式及a, b, c之间的关系求出双曲线的离心率.故答案为：恒15.设函数f (x)=,若f'（ 1）弋【分析】先求出函数的导数，再根据f' ( 1)=,求得a的值.解：:函数f （x）=fz若 f' (1)=e4(x+a)2故答案为：1.16 .已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为【分析】由条件易知该圆锥内半径最大的球为该圆锥的内接球，作图，数形结合即可解：当球为该圆锥内切球时，半径最大,如图：

21、BS=3, BC=1,则圆锥高SC=VeS2-BC2 =2 2/2，设内切球与圆锥相切与点 D,半径为r,则SODssCB,soBS故有,即所以该球的体积为兀.=V2Ttr34故答案为：.3OPBC三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60分。17 .设等比数列an满足 a+a2=4, a3-a1=8.(1)求an的通项公式；(2)记Sn为数列log3an的前n项和.若Sm+Sm+1 Sm+3,求m.【分析】(1)设其公比为q,则由已知可得 11 ，解得ai=i,

22、q=3,可求其一避-a产通项公式.Sn =(2)由(1)可得10g3an=n-1,是一个以0为首项，1为公差的等差数列，可求n(n-1) 4 日 m(nr 1)(m+3) (m+2)、什田加白钻/击-,由已知可彳导 -+-=,进而解得 m的值.(a j +a q=4-a £=3可得 a1 = 1, q = 3,所以 an=3n 1.(2)由(1)有10g3an=n-1,是一个以0为首项，1为公差的等差数列,所以Sn=%R,所以m 庙一口 (m* Dm飞+2(m+3) (m+2)m2- 5m 6= 0,解得m=6,或m= - 1 (舍去)，所以m= 6.18.某学生兴趣小组随机调查了某

23、市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)：锻炼人次0, 200(200, 400(400, 600空气质量等级1 (优)216252 (良)510123 (轻度污染)6784 (中度污染)720(1)分别借计该市=一天的空气质量等级为1, 2, 3, 4的概率；(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(3)若某天的空气质量等级为 1或2,则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等2X2列联表，并级为3或4,则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下面的根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该

24、公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次400人次W 400空气质量好空气质量不好附：K2=n(ad-bc)z(a+b) (c+d) (a+c) (b+d)P (K2>k)0.0500.0100.0013.8416.63510.828【分析】(1)用频率估计概率，从而得到估计该市一天的空气质量等级为1 2, 3, 4的概率;(2)采用频率分布直方图估计样本平均值的方法可得得答案;(3)解:该市(a +b) (c+d) ta+c5 (bi+d)(1)该市一天的空气质量等级为1天的空气质量等级为该市一天的空气质量等级为该市一天的空气质量等级为计算k的值，从而查表即可,2+16+25100

25、一的概率为:2的概率为:3的概率为:4的概率为:x = 100 x 0.20+300 x(2)由题意可得：一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为:0.35+500 X 0.45= 350;由表中数据可得:K2=n(ad-bc)2ta+bi (a+c)(b+d)100 X (33X 8- 37X 22j270X30X 55X 45 5.802(3)根据所给数据，可得下面的 2 X 2列联表,人次 400人次> 400总计仝气质里好333770仝气质里不好22830总计5545100>3.841,所以有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.19.如图，在长方

26、体 ABCD - AiBiCiDi中，点E, F分别在棱 DDi, BBi上，且2DE = EDi,BF = 2FBi.证明:(i)当 AB = BC 时，EF ± AC ；(2)点Ci在平面AEF内.AB=BC,可得 AC，平面 BBiDiD,【分析】(i)因为ABCD - AiBiCiDi是长方体，且因为EF?平面BBiDiD,所以EF XAC.(2)取AAi上靠近Ai的三等分点 M,连接DM, CiF, MF ,根据已知条件可得四边形AEDiM为平行四边形，得 DiM / AE,再推得四边形 CiDiMF为平行四边形，所以 DiM /CiF,根据直线平行的性质可得 AE/CiF

27、,所以A, E, F, Ci四点共面，即点 Ci在平面AEF内.解：(i)因为ABCD - AiBiCiDi是长方体，所以BBi，平面 ABCD ,而AC?平面ABCD ,所以AC±BBb因为ABCD -AiBiCiDi是长方体，且 AB = BC ,所以ABCD是正方形，所以 AC XBD , 又 BD n BBi=B.所以AC，平面BBiDiD,又因为点E,F分别在棱DDi,BBi上，所以EF ?平面BB iDiD , 所以EF XAC.(2)取AAi上靠近Ai的三等分点 M,连接DiM , CiF, MF .因为点 E 在 DD i,且 2DE = EDi,所以 ED / AM

28、 ,且 ED = AM ,所以四边形 AEDiM为平行四边形，所以 DiM /AE,且DiM = AE,又因为 F 在 BBi 上，且 BF = 2FBi,所以 AiM / FBi,且 AiM=FBi,所以AiBiFM为平行四边形，所以 FM / A1B1 , FM =AiBi,即 FM / C1D1, FM =CiDi,所以C1D1MF为平行四边形，所以 D1M / C1F,所以ae / C1F,所以a, e, f, C1四点共面.所以点C1在平面aef内.20.已知函数 f (x) =x3-kx + k2.(1)讨论f (x)的单调性；(2)若f (x)有三个零点，求 k的取值范围.【分析

29、】(1)求出函数的导数，通过讨论k的范围，求出函数的单调区间即可;(2)根据函数的单调性，求出函数的极值，得到关于k的不等式组，解出即可解：(1) f(x)=x3-kx+k2,f'(x)=3x2-k,k< 0 时，f' ( x) > 0, f (x)在k>0 时，令 f' ( x) > 0,解得:< x令 f' (x) V 0,解得：-，f (x)在(8,R递增,x< 一递减，在(全)递增，在(-,+°0)递增,综上，kW0时，f (x)在R递增,k>0 时，f(x)在(一递增，在(-)递减，在(,+°

30、;0)递增;(2)由(1)得：k>0, f (x)极小值=f (得,f (x)极大值=f (若f (x)有三个零点,r k>o只需<0，4、故 a C (0,工-),解得：0vkv二27，21.已知椭圆C:，一V15=1 (0vmv5)的离心率为 ,A, B分力1J为C的左、右顶点.(1)求C的方程;(2)若点P在C上，点Q在直线x=6上，且|BP|=|BQ|, BP±BQ,求 APQ的面积.【分析】(1)根据e=y, a2=25, b2=m2,代入计算m2的值，求出C的方程即可;(2)设出P, Q的坐标，得到关于 s, t, n的方程组,求出 AP (8, 1)

31、, AQ (11, 2),从而求出 APQ的面积.e2= 1 解：(1)由e=b22516，故C的方程是:2,+ k2525(2)由(1) A ( 5, 0),设 P (s, t)，点Q (6, n),根据对称性，只需考虑 n > 0的情况,5此时-5<s< 5, 0<t< ,4.|BP|=|BQ|, .有(s- 5) 2+t2=n2+1 ,又 BPXBQ, s- 5+nt= 0,25+ ：25联立1 5=3t二1或、n=2s=-3< t=l,n=8s-24 t=l、n=2时,AP (8, 1) , AQ (11, 2),.Sapq = #怔2.阳2TAp.研g|8X2 11X 1号,s=-3同理可得当，t = l时，Saapq=1-, ,n=8综上， APQ的面积是.2（二）选考题：共 10分。请考生在第 22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选彳