可分离变量的微分方程

1、一、可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程dxxfdyyg)()( 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程. .5422yxdxdy 例如例如,2254dxxdyy 解法解法设设函函数数)(yg和和)(xf是是连连续续的的, dxxfdyyg)()(设设函函数数)(yG和和)(xF是是依依次次为为)(yg和和)(xf的的原原函函数数,CxFyG )()(为微分方程的解为微分方程的解.分离变量法分离变量法第二章第二章 一阶微分方程初等解法一阶微分方程初等解法例例1 1 求解微分方程求解微分方程.122的通解的通解及及xxydxdyxydxdy 解解分离变量分离变量,2xdxydy 两端积

2、分两端积分,2 xdxydy21ln yxC.2为所求通解为所求通解xcey 又又,12xxdxydy 两端积分两端积分,12 xxdxydy21lnln(1)ln2yxC 21.ycx 为为所所求求通通解解)(xyfdxdy 形如形如的微分方程称为的微分方程称为齐次方程齐次方程. .2.解法解法,xyu 作变量代换作变量代换,xuy 即即代入原式代入原式,dxduxudxdy ),(ufdxduxu .)(xuufdxdu 即即可分离变量的方程可分离变量的方程1.1.定义定义二、齐次方程二、齐次方程,0)(时时当当 uuf,ln)(1xCuufdu 得得,)(uCex 即即 ）（uufduu

3、)()( ,代入代入将将xyu ,)(xyCex 得通解得通解,0u 当当, 0)(00 uuf使使,0是新方程的解是新方程的解则则uu ,代回原方程代回原方程.0 xuy 得齐次方程的解得齐次方程的解2222yxyxxyydxdy ,1222 xyxyxyxy,xyu 令令,udxxdudy 则则,1222uuuuuxu .2222xyydyyxyxdx 例例 2 2 求解微分方程求解微分方程解解,lnlnln21)2ln(23)1ln(Cxuuu .)2(123Cxuuu 微分方程的解为微分方程的解为.)2()(32xyCyxy ,1122)121(21xdxduuuuu 三、可化为齐次方

4、程的方程三、可化为齐次方程的方程的微分方程的微分方程形如形如)(111cybxacbyaxfdxdy 为齐次方程为齐次方程. .,01时时当当 cc否则为非齐次方程否则为非齐次方程. .1.1.定义定义1.3dyxydxxy 例例3 3求求的的通通解解解解, 021111 1030,xyxy 方方程程组组1,2,xy . 2, 1 YyXx令令,YXYXdXdY 代入原方程得代入原方程得，令令XYu ,11uudXduXu 分离变量法得分离变量法得,)12(22cuuX ,222CXXYY 即即代回，代回，将将2, 1 yYxX得原方程的通解得原方程的通解,)1()2)(1(2)2(22Cxy

5、xy .622122Cyxyxyx 或或方程变为方程变为利用变量代换求微分方程的解利用变量代换求微分方程的解2().dyxydx例例4 4 求求的的通通解解解解,uyx 令令1 dxdudxdy代入原方程代入原方程21udxdy ,arctanCxu 解得解得得得代回代回, yxu ,)arctan(Cxyx 原方程的通解为原方程的通解为.)tan(xCxy .()()0.fxy ydxg xy xdy 例例5 5求求方方程程通通解解,xyu 令令,ydxxdydu 则则, 0)()( xydxduxugydxuf, 0)()()( duugdxxuuguf, 0)()()( duugufuu

6、gxdx.)()()(|lnCduugufuugx 通解为通解为解解)()(xQyxPdxdy 一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式:, 0)( xQ当当上方程称为上方程称为齐次的齐次的.上方程称为上方程称为非齐次的非齐次的., 0)( xQ当当1、线性方程、线性方程例如例如,2xydxdy ,sin2ttxdtdx , 32 xyyy, 1cos yy线性的线性的;非线性的非线性的.四、四、 一阶线性微分方程一阶线性微分方程 . 0)( yxPdxdy,)(dxxPydy ,)( dxxPydy,ln)(lnCdxxPy 齐次方程的通解为齐次方程的通解为.)( dxxPCey

7、(1). 线性齐次方程线性齐次方程一阶线性微分方程的一阶线性微分方程的解法解法(使用分离变量法使用分离变量法)(2). 线性非齐次方程线性非齐次方程).()(xQyxPdxdy 讨论讨论,)()(dxxPyxQydy 两边积分两边积分,)()(ln dxxPdxyxQy),()(xvdxyxQ为为设设 ,)()(ln dxxPxvy.)()( dxxPxveey即即非齐次方程通解形式非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比与齐次方程通解相比:)(xuC 常数变易法常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. .实质实质: : 未知函数的变量代换未

8、知函数的变量代换.),()(xyxu原未知函数原未知函数新未知函数新未知函数作变换作变换 dxxPexuy)()(,)()()()()( dxxPdxxPexPxuexuy代代入入原原方方程程得得和和将将yy ,)()()(CdxexQxudxxP ),()()(xQexudxxP 积分得积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为: dxxPdxxPeCdxexQy)()()(dxexQeCedxxPdxxPdxxP )()()()(对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解20( )( )( )ln2( ).2xf xtf xfdtf x 例例6 6

9、、若若连连续续函函数数满满足足关关系系式式，求求2)()( xfxf解：解：yy2 02 yy dxcexfy2)(xce2 2ln)0( f2ln cxexf22ln)( 则则.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy ,1)(xxP ,sin)(xxxQ Cdxexxeydxxdxx11sin Cdxexxexxlnlnsin Cxdxxsin1 .cos1Cxx 解解例例7 7伯努利伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程的标准形式nyxQyxPdxdy)()( )1 , 0( n方程为方程为线性微分方程线性微分方程. 方程为方程为非线性微分方程非线性微分方程.2、伯努利方程、伯

10、努利方程时时，当当1 , 0 n时时，当当1 , 0 n解法解法: : 需经过变量代换化为线性微分方程需经过变量代换化为线性微分方程.,1 nyz 令令，则则dxdyyndxdzn )1(),()(1xQyxPdxdyynn ),()1()()1(xQnzxPndxdz 求出通解后，将求出通解后，将 代入即得代入即得nyz 1，得，得两端除以两端除以ny代入上式代入上式. )1)()()1()()1(1 CdxenxQezydxxPndxxPnn.42的通解的通解求方程求方程yxyxdxdy ,412xyxdxdyy ,yz 令令,422xzxdxdz ,22 Cxxz解得解得.224 Cxx

11、y即即解解，得，得两端除以两端除以ny例例 81、全微分方程及其求法、全微分方程及其求法（1 1）. .定义定义: :0),(),( dyyxQdxyxP则则dyyxQdxyxPyxdu),(),(),( 若有全微分形式若有全微分形式例如例如, 0 ydyxdx),(21),(22yxyxu 全微分方程全微分方程或恰当方程或恰当方程,),(ydyxdxyxdu 所以是全微分方程所以是全微分方程.xQyP 全微分方程全微分方程五、五、 全微分方程全微分方程 （2 2）. .解法解法: :0),(),( dyyxQdxyxP应用曲线积分与路径无关应用曲线积分与路径无关.xQyP 通解为通解为 yy

12、xxdyyxQxdyxPyxu00),(),(),(0,),(),(000 xdyxPdyyxQxxyy ;),(Cyxu 用直接凑用直接凑全微分的方法全微分的方法.全微分方程全微分方程.0)3()3(2323的通解的通解求方程求方程 dyyxydxxyx解解,6xQxyyP 是全微分方程是全微分方程, yxdyyxdxyxyxu03023)3(),(.42344224Cyyxx 原方程的通解为原方程的通解为,42344224yyxx 例例9 9.0324223的通解的通解求方程求方程 dyyxydxyx解解,64xQyxyP 是全微分方程是全微分方程,将左端重新组合将左端重新组合)32(14

13、232dyyxdxyxdyy )()1(32yxdyd .132Cyxy 原方程的通解为原方程的通解为),1(32yxyd 例例102、积分因子法、积分因子法定义定义: : 0),( yx 连续可微函数，使方程连续可微函数，使方程0),(),(),(),( dyyxQyxdxyxPyx成为全成为全微分方程微分方程. .则称则称),(yx 为方程的为方程的积分因子积分因子. .问题问题: 如何求方程的积分因子如何求方程的积分因子?1.1.公式法公式法: :,)()(xQyP xQxQyPyP ，两边同除两边同除 xQyPyPxQ lnln求解不容易求解不容易特殊地特殊地:;.有关时有关时只与只与

14、当当xa , 0 y ,dxdx ;.有关时有关时只与只与当当yb )(1lnxQyPQdxd )(xf .)()( dxxfex , 0 x ,dydy )(1lnyPxQPdyd )(yg .)()( dyygey 2.2.观察法观察法: :凭观察凑微分得到凭观察凑微分得到),(yx 常见的全微分表达式常见的全微分表达式 222yxdydyxdx xydxydxxdy2 xydyxydxxdyarctan22 xydxyydxxdyln )ln(212222yxdyxydyxdx yxyxdyxydxxdyln2122.0)()3(22的通解的通解求微分方程求微分方程 dyxyxdxyxy

15、解解,1)(1xxQyPQ dxxex1)( .x 例例11则原方程为则原方程为, 0)()3(2322 dyyxxdxxyyx, 0)()3(2322 dyyxxdxxyyx)(332xdyydxxydyxydxx )(21(23xyyxd , 0 原方程的通解为原方程的通解为.)(2123Cxyyx (公式法公式法)可积组合法可积组合法.0)1(222的通解的通解 dyyxdxyxx解解将方程左端重新组合将方程左端重新组合,有有例例12 求微分方程求微分方程, 02222 dyyxdxyxxxdx, 0)()(2222 dyyxxdyxxd, 0)()(222 yxdyxxd原方程的通解为

16、原方程的通解为.)(322322Cyxx .0)1(ln2222的通解的通解 dyyyxydxxy解解将方程左端重新组合将方程左端重新组合,有有, 01)ln2222 dyyydyxydxxy（,1),(yyx 易知易知, 01)ln2(22 dyyydyyxydxx则则. 0)1(31)ln(2322 ydyxd即即原方程的通解为原方程的通解为.)1(31ln2322Cyyx 可积组合法可积组合法例例13 求微分方程求微分方程六、六、 一阶隐方程与参数表示一阶隐方程与参数表示 1.参参数数形形式式的的解解2.xy可可以以解解 或或 的的方方程程3.xy不不显显含含 或或 的的方方程程1.dy

17、yf(x,)dx :,dypxdx 解解法法令令然然后后两两边边对对 求求导导得得: :ff dppxp dx,.xp这这是是一一个个关关于于 与与 的的一一阶阶微微分分方方程程 且且它它的的导导数数已已解解出出 于于是是可可用用前前面面的的方方法法进进行行求求解解2.( ,)dyxf ydx :,dypdx 解解法法令令然然后后两两边边对对y y求求导导得得: :1ff dppyp dy,.p这这是是一一个个关关于于y y与与 的的一一阶阶微微分分方方程程 且且它它的的导导数数已已解解出出 于于是是可可用用前前面面的的方方法法进进行行求求解解3.( ,)0F x y :( ),( ),( ,)0pyxtptF x P 解解法法 令令并并寻寻求求恰恰当当的的参参数数表表示示使使其其满满足足再再利利用用dttttdtpdxdy)()()()( 两两边边积积分分便便得得( )( )ytt dtc 于于是是得得参参数数形形式式的的通通解解为为),(,)()(),(为任意常数为任意常数为参数为参数 ctcdtttytx 4.( ,)0F y y :( ),( ),( ,)0pyytptF y P 解解法法 令令并并寻寻求求恰恰当当的的参参数数表表示示使使其其满满足足再再利利用用111( )( )( )( )dxdydtt dtptt 两两边边积积分分便便得得(