专题直角三角形存在性问题

1、直角三角形存在性问题方法提炼: 找点已知“两个定点，求作直角三角形”，可借用“两线一圆法”找到第三个顶点的位置；直角三角形存在性问题探讨1 .先假设结论成立，根据直角顶点的不确定性，分情况讨论2 .方法一：画出具体图形，依托直角，作“横平竖直”辅助线，造“一线三直角”，利用相似列方程解方法二：引入一个字母，用它表示出三角形的三边，再分类谈论，利用勾股定理列方程求解；例1:如图在菱形 ABC邛，/ ABC=60 , AB=2,点P是菱形外部的一点，若以点P、A C为顶点的三角形是直角三角形，则 P、D两点间的最短距离为.例2.如图，抛物线？y 3x2 3X 3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左

2、侧)，与y轴交于点C.(1)求点A、B的坐标；(2)若直线l过点E (4, 0), M为直线l上的动点，当以 A、R M为顶点所作的直角三角形有且只有三个 时，求直线l的解析式.2例3.如图，二次函数？y = x +bx+c图像经过原点和点 A (2, 0),直线？AB与抛物线交于点 B,且/ BAQ=45 .(1)求二次函数解析式及其顶点C的坐标；(2)在直线？AB上是否存在点D,使彳BCD?直角三角形.若存在，求出点 D的坐标，若不存在，说明 理由.例4. (2017年.娄底)如图，抛物线 y=ax2+bx+c与x轴交于两点 A ( - 4, 0)和B (1, 0),与y轴交于 点C (0

3、, 2),动点D沿 ABC的边AB以每秒2个单位长度的速度由起点 A向终点B运动，过点D作x轴 的垂线，交 ABC的另一边于点E,将4ADE沿DE折叠，使点A落在点F处，设点D的运动时间为t秒.(1)求抛物线的解析式和对称轴；(2)是否存在某一时刻t ,使得 EFC为直角三角形？若存在，求出 t的值；若不存在，请说明理由；针对性演练:1、如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A, B两点，与y轴交于点 巳 顶点为C (1,-2).(1)求此函数的关系式；(2)作点C关于x轴的对称点D,顺次连接A, C, B, D,若在抛物线上存在点 E,使直线PE将四边形ABCD 分成面积相等的

4、两个四边形，求点E的坐标；(3)在(2)的条件下，抛物线上是否存在一点F,使彳PEF是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点F的坐标及 PEF的面积；若不存在，请说明理由.2、如图，直线y=-x+3与x轴，y轴分别相交于点 B,点C,经过B, C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为A,顶点为P,且对称轴是直线 x=2o(1)求点A的坐标；(2)求该抛物线的函数表达式；(3)请问在抛物线上是否存在点Q,使得以点B、C Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.3、如图，在 ABC中，AB=AC ADL BC于点 D,3cm的速度向点C匀速运动

5、，与此同时，垂直于BC=10cm AD=8cm点P从点B出发，在线段 BC上以每秒AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向 匀速平移，分别交 AR AG AD于E、F、H,当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间 为 t 秒(t 0).(1)当t=2时，连接DE DF,求证：四边形 AEDF为菱形；(2)在整个运动过程中，所形成的PEF的面积存在最大值，当 PEF的面积最大时，求线段 BP的长;(3)是否存在某一时刻t ,使 PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理答案：例1, PC的最小值为1例2, (1) A(-4,0)、B (2,0

6、 )(2)方法一、作CF! L1, CF*, CE=9, AC: y ：x 3 ,平移AC可得L1L2,再根据D的横坐标为x=-1 , 可求D点坐标。方法二：设AC与对称轴交于点 G, G( 1,，设D的坐标可设为(-1 , y),则D1G=9 y, DG=y J由S；A ACD=S ABC可求出y的值，继而求出 D点坐标。D的坐标为1, 9、1,2744(3)如答图2,以AB为直径作。F,圆心为F.要想以A、B、M为顶点所作的三角形有且只有3个时，过点E的直线与。F相切。过E点作。F的切线，这样的切线有2条.连接FM过M作MWx轴于点N. M在第一象限，M(，匕)，y : x 3; 5 54

7、4M在第三象限，M(： 口，y ；x 3 5 54例 3。(1) y x2 2X , C (1, -1 )(2)方法一；AB: y x 2,设 D (x,-x+2 ) ,B (-1,3 ), C (1,-1),可求出 BCD三边长，分两类通 7 1过勾股定理计算可求出 D点坐标；/ BCD=90时，dJ 1/ BDC=90时，x=2,x=-1 (舍去)，D (2,0)3 3方法二：直线 AB： y x 2 ,直线BC: y 2x 1若/ BCD=90时，CD y ：x将CM AB关系式联立，可求出点D的坐标/BDC=90时，CD: y x 2 ,将CD与AB关系式联立，可求出点D的坐标例4答案

8、：(1) y1x2 3x 2,对称轴x 21(2) AD=DF=2t, OF=4-4t, D (2t-4,0 ), AC : y 2 , E ( 2t-4 , t )/ EFC=90 , DE降 OFC列比例式，可求出t=3;/ FEC=90 , AEF为等腰直角三角形，DE=： AF,t=2t , t=0 (舍去)/ ACF=90 ,针对性演练2c答案：1、(1)将顶点(1,2)代入 y x2 bx c得 y x 12,得 y x2 2x 1(2)可证四边形 ACB型菱形，所以 PE必过对称中心 M P (0,-1), M (1,0),可求PE: y x 1,与2y x2 2x 1联立可求E点坐标(3,2)(3)方法一：作 FGJy轴于G,证 FG咤 POM OM=O尸可得PG=GF即X=0 (舍去),x=1 , F (1, -2)方法二：P (0,-1), E(3,2), F三点坐标，可表示出 PE PF、EF长，利用勾股定理可求2、(1) y x2 4x 3(3) BC: y x 3,过B与BC垂直的直线表达式为y x 3,与y x2 4x 3联立，x=0,y=3 (舍去)X=5,y=8, Q(5,8) oc22